弦振動分析王文璞

1、遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院振動力學(xué)綜合訓(xùn)練（三）題 目 樂器弦振動問題分析 班 級 工力12級2班 姓 名李大為 劉怡 李鳳飛 王文璞 王先明 指導(dǎo)教師 張智慧 成 績 遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院制 目錄第一章 綜合訓(xùn)練要求1第二章 模型的建立及振動方程的求解2第三章 影響弦振動物理量分析63.1.弦的長度對其振動的影響63.2.弦的張力對其振動的影響73.3 弦的粗細對其振動的影響9第四章 結(jié)論與分析11參考文獻 .12遼寧工程技術(shù)大學(xué)振動力學(xué)綜合訓(xùn)練（三）第一章 綜合訓(xùn)練要求進行以下規(guī)定內(nèi)容的建模、計算與分析工作,具體思考如下問題:1. 為什么吉它上的六根弦在弦長一致的情況下所發(fā)出

2、的音調(diào)（聲音的頻率）不同？ 2. 在演奏時依靠什么來改變弦的音調(diào)？3.為什么僅通過調(diào)整弦的張力就能進行校音？教學(xué)過程：教師布置任務(wù)，學(xué)生課外查資料、計算、分析，形成材料，集中討論、答辯、教師總結(jié)。成果形式：撰寫計算分析報告并進行分組匯報。 吉他弦圖片第二章 模型的建立與振動方程的求解 1.橫波運動分析 由于弦樂器是靠弦的振動發(fā)聲的，而弦振動產(chǎn)生的聲波屬于橫波，因而，要了解弦振動規(guī)律應(yīng)從橫波模型的運動分析入手。設(shè)弦上有一向右傳播的橫波，如圖1所示.現(xiàn)具體分析弦上各點的運動規(guī)律。當(dāng)波沿工軸方向前進時，弦上各質(zhì)點沿y軸上下振動，其位移可表示為 圖1 橫波及其質(zhì)點的運動示意圖其中A為振動的振幅,k為波

3、矢量，為圓頻率,為初位相。弦上各質(zhì)點振動的速度為 式表明,各質(zhì)點上下振動的速度在隨位置、時間不斷變化。圖1標(biāo)出了部分質(zhì)點振動的速度,其中A、C、E處質(zhì)點振動的速度最大（A),而B、D處質(zhì)點振動速度最小(0).顯然,弦上各質(zhì)點的振動方向并非波的傳播方向。為得到波動沿弦傳播時波速的表達式,現(xiàn)取波峰處一小段長度的弦作研究對象分析其受力情況,如圖2所示.相對于弦內(nèi)張力Tl,弦的重力可以忽略.此時,兩個張力合力的方向豎直向下成為使弦回到平衡位置的回復(fù)力F,.由牛頓第二定律得 圖2 波峰附近繩子的受力分析式中產(chǎn)為弦的線密度(即單位長度弦的質(zhì)量),這段弦的加速度a,可由下式得到 由于波矢量 ,波速 ,所以故

4、這段弦在波峰D處對應(yīng)的加速度為 進而由牛頓第二定律可得弦的回復(fù)力為 現(xiàn)從受力角度討論弦的回復(fù)力 .因兩張力豎直向下的分力合成弦的回復(fù)力,故 由于 ,角度應(yīng)非常小.按照小角近似條件應(yīng)有,代換(7)得,由于可表示弦在處的斜率,而這段弦的振動方程為,故按斜率公式可得 由于口很小,按照小角近似理論,，于是式變?yōu)?，代入回?fù)力的表達式即得 現(xiàn)比較、兩式可得于是弦上傳播的橫波的波速表達式為 2.弦模型中的駐波以上討論了正弦波的振動與傳播規(guī)律.對于實際的弦樂器,因弦的兩端固定,當(dāng)弦被撥動時振動傳播到弦兩端會產(chǎn)生反射,而反射波和入射波在一定條件下疊加會形成駐波。駐波振動的位移,由兩個振幅相等、圓頻率相同的反向傳

5、播正弦波疊加,則 考慮到駐波特點弦的兩端(即)弦振動位移為零,因而上式必須滿足，或，(n=1,2,3,.為波腹數(shù))。所以 由于頻率f與波長又以及波速v滿足關(guān)系式,所以有 對于 其振動頻率很低，叫做基頻或基音,此時對應(yīng)當(dāng)時，頻率表達式形如式,對應(yīng)頻率較高,叫做泛音,其對應(yīng)的頻率別為基頻的n倍.基音與泛音統(tǒng)稱諧音。上述結(jié)果表明,對于弦長、張力、線密度、材料性質(zhì)一定的弦,兩端固定時其自由振動頻率不止一個,而是n個,并且僅與弦的固有力學(xué)參量有關(guān),所以該頻率也稱為固有頻率.每一個n對應(yīng)于一種駐波,圖3表示弦的三個駐波模式。 圖3 一維橫駐波中的基頻與泛頻第三章 影響弦振動物理量分析3.1.弦的長度對其振

6、動的影響 根據(jù)以上建立的力學(xué)振動模型，令弦的張力T0=40N，令弦為鋼絲這一材料，故密度，分別取弦的直徑為:d=0.30inch，弦的長度L=0.5m、0.6m、0.7m、0.8m、0.9m、1.0m，針對不同長度的弦振動，利用MATLAB求解，編寫程序如下：format longL=0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0; % L表示弦長，單位mTo=input('To='); % To表示弦張力，單位Np=input('p='); % p表示鋼絲的密度，單位Kg/m3d1=input('d1='); % d1表示弦的直徑，單位inch

7、d=d1*2.54/100;for i=1:6w1(i)=3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);w2(i)=2*3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);w3(i)=3*3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);endplot(L,w1,'o-')grid onxlabel('L弦的長度/m'),ylabel('第一階固有頻率/(rad/s)')title('不同弦長度時的第一階固有頻率')plot(L,w2,'o-')grid on

8、xlabel('L弦的長度/m'),ylabel('第二階固有頻率/(rad/s)')title('不同弦長度時的第二階固有頻率')plot(L,w3,'o-')grid onxlabel('L弦的長度/m'),ylabel('第三階固有頻率/(rad/s)')title('不同弦長度時的第三階固有頻率')輸入以上程序得到不同長度時共振頻率如下圖所示： 圖3-1 弦不同長度時共振頻率3.2.弦的張力對其振動的影響 根據(jù)以上建立的力學(xué)振動模型，令弦為鋼絲這一材料，故密度，分別取弦的直徑

9、為:d=0.30inch，弦的長度L=0.6m，弦的張力To=10N、20N、30N、40N、50N、60N，針對不同張力的弦振動，利用MATLAB求解，編寫程序如下：format longL=input('L='); % L表示弦長，單位md1=input('d1='); % d1表示弦的直徑，單位inchd=d1*2.54/100;To=10,20,30,40,50,60; % To表示弦張力，單位Np=input('p='); % p表示鋼絲的密度，單位Kg/m3for i=1:6w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3

10、.14/4*d*d);w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);endplot(To,w1,'o-')grid onxlabel('To弦的張力/N'),ylabel('第一階固有頻率/(rad/s)')title('不同弦張力時的第一階固有頻率')plot(To,w2,'o-')grid onxlabel('To弦的張力/N'),ylabel('第二階固有頻率/

11、(rad/s)')title('不同弦張力時的第二階固有頻率')plot(To,w3,'o-')grid onxlabel('To弦的張力/N'),ylabel('第三階固有頻率/(rad/s)')title('不同弦張力時的第三階固有頻率')輸入以上程序得到不同張力時共振頻率如下圖所示： 圖3-2 弦不同張力時共振頻率3.3 弦的粗細對其振動的影響 根據(jù)以上建立的力學(xué)振動模型，令弦長L=0.6m，弦的張力F=40N，令弦為鋼絲這一材料，故密度，分別取弦的直徑為:d=0.10inch、0.14inch、0.

12、22inch、0.30inch、0.39inch、0.47inch，針對不同粗細的弦振動，利用MATLAB求解，編寫程序如下：format longL=input('L='); % L表示弦長，單位mTo=input('To='); % To表示弦張力，單位Np=input('p='); % p表示鋼絲的密度，單位Kg/m3d1=0.10,0.14,0.22,0.30,0.39,0.47; % d1表示弦的直徑，單位inchd=d1*2.54/100;for i=1:6w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d

13、(i);w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);endplot(d1,w1,'o-')grid onxlabel('d1弦的直徑/(inch)'),ylabel('第一階固有頻率/(rad/s)')title('不同弦直徑時的第一階固有頻率')plot(d1,w2,'o-')grid onxlabel('d1弦的直徑/(inch)'),ylabel('第

14、二階固有頻率/(rad/s)')title('不同弦直徑時的第二階固有頻率')plot(d1,w3,'o-')grid onxlabel('d1弦的直徑/(inch)'),ylabel('第三階固有頻率/(rad/s)')title('不同弦直徑時的第三階固有頻率'）輸入以上程序得到不同粗細時共振頻率如下圖所示： 圖3-3 弦不同粗細時共振頻率第四章 結(jié)論與分析 通過對弦樂器振動規(guī)律的理論推導(dǎo)和分析,可得到如下結(jié)論:1.弦上各質(zhì)點的振動方向不等于波動的傳播方向。2.增大弦振動的振幅只能增大弦上各質(zhì)點的振動速度,并不改變波動的傳播速度。也就是說,弦振動振幅的改變,改變不了樂曲的音調(diào)。3.決定弦振動頻率的物理參量為L、To、,因而弦樂曲的音調(diào)就由這三個參量決定。亦即弦長越短(L小),弦繃得越緊(To大),弦的線密度越小（小),音調(diào)也就越高(f高)。4.在其他條件(如弦長,松緊程度)相同的情況下,使用不同性質(zhì)、不同粗細的琴弦材料(即產(chǎn)不同),樂器音調(diào)也有差別。實際中的弦樂器,這些物理參數(shù)都能根據(jù)需要改變,特別是弦的緊張程度最容易改變。理論分析與實驗證明:弦樂器的音調(diào)與弦的長短、粗細、松緊程度以及弦材料的結(jié)構(gòu)性質(zhì)有關(guān)。在相同條件下,弦長越短、弦越緊（弦張力越大