不等式的概念和基本性質(zhì)

1、不等式的概念和基本性質(zhì)重點 ：不等式的基本性質(zhì)難點 ：不等式基本性質(zhì)的應用主要內(nèi)容：不等式的基本性質(zhì)（） a>bb<a（） a>b,b>ca>c（） a+b<ca<c-ba>ba+c>b+c（） a>b不等式的運算性質(zhì)（）加法法則：a>b,c>da+c>b+d（）減法法則：a>b,c>da-d>b-c（）乘法法則：a>b>0,c>d>0ac>bd>0（）除法法則：a>b>0,c>d>0>>0（）乘方法則：a>b>0,

2、an>bn>0 (n N, n 2)（）開方法則：a>b>0,>>0(n N, n 2)基本不等式（）（）a R,a2 0（當且僅當a=0 時取等號）22a,b R,a +b 2ab（當且僅當a=b 時取等號）（）a,b R+,（當且僅當a=b 時取等號）（）a,b,c R+,a3+b3+c3 3abc（當且僅當a=b=c時取等號）（） a,b,c R+,（當且僅當 a=b=c 時取等號）（） |a|-|b| |a±b| |a|+|b|不等式的概念和性質(zhì)是進行不等式的變換， 證明不等式和解不等式的依據(jù)， 應正確理解和運用不等式的性質(zhì)，弄清每條性質(zhì)的

3、條件與結(jié)論，注意條件與結(jié)論之間的關系?；静坏仁娇梢栽诮忸}時直接應用。例對于實數(shù)a,b,c 判斷以下命題的真假（）若 a>b,則 ac<bc;（）若22,則 a>b;ac >bc（）若 a<b<0,則 a2>ab>b2;（）若 a<b<0,則 |a|>|b|;（）若a>b,>, 則 a>0, b<0解： （）因為c 的符號不定，所以無法判定ac 和 bc 的大小，故原命題為假命題。（）因為222，故原命題為真命題。ac>bc , 所以 c 0,從而 c >0（）因為所以 a2>ab又所以

4、 ab>b2綜合得22a >ab>b故原命題為真命題（）兩個負實數(shù)，絕對值大的反而小故原命題為真命題（）因為所以所以從而 ab<0又因 a>b所以 a>0, b<0故原命題為真命題例已知f(x)=ax 2-c 且 -4 f(1) -1， -1 f(2) 5, 求 f(3)的范圍解：由題意可知： f(3)=9a-c=f(2)-f(1)運算可知-1 f(3) 20錯解：依題設有消元，得 f(3)=9a-c -7 f(3) 26錯因： 根源在于不等式組與不等式組并不等價，不等式組擴大了不等式組的解的范圍，同向不等式在多次相加時要謹慎，一定要檢查其同解性例設a

5、,b 是不相等的正數(shù)：A=, G=, H=, Q=, 試比較、的大小解：由于 a,b 為不相等的正數(shù)所以： G-H=-=-=>0從而H<GA-G=-=>0 從而 G<AQ-A=從而 A<Q綜上所述，當a, b 為不相等的正實數(shù)時，H<G<A<Q 評述：本題直接比較G、 H； A 、 G；、的原因在于由特殊值可對四者排序，令a=1, b=3 則 A=2, G=,H=, Q=，這為我們解題指明了方向例設a, b N+ s（）求證：在與之間；（）問與哪一個更接近？證明： （）由于 ()()=() a b所以（）式的值小于從而在與之間解（）由于 |-|=

6、|a-b|=|a-b|a-b|>|a-b| 故而更接近例船在流水中在甲地和乙地間來回駛一次平均速度和船在靜水中的速度是否相等，為什么？解：設甲、乙兩地的距離為，船在靜水中的速度為u，水流速度為v（ u>v>0 ）則船在甲、乙兩地行駛的時間 t 為：t=+=平均速度=-u=-u=<0<u從而船在流水中來回一次的平均速度小于船在靜水中的速度練習若 a,b,c 為實數(shù)，判斷下列命題的真假（）若a>b, 則 ac2>bc2；（）若a<b<0，則<；（）若a<b<0，則>；（）若a<b<0，則<1；（）若c&

7、gt;a>b>0，則設 x,y R，判定下列兩題中，命題甲與命題乙的充分必要條件（）命題甲命題乙（）命題甲命題乙 a R，試比較3(1+a2+a4)與 (1+a+a2)2 的大小 a>1, m>n>0 ，比較 am+和 an+的大小已知函數(shù)y=f(x), x R 滿足（）對x R，都有 f(x) 2；（）對x1 R，x2R, 都有 f(x 1+x 2) f(x 1)f(x 2)求證：對任意實數(shù)x1, x2，都有： lgf(x 1+x 2) lgf(x 1)+lgf(x 2)參考答案解（）222故原命題為假命題c0，當 c=0 時 ac =bc =0（）舉特例-2<-1<0 但 ->-1 故原命題為假命題（）由于a<b<0所以所以故原命題為假命題（） a<b<0 |a|>|b|>0故原命題為真命題（） c>a>b>0 c-b>c-a>0 0又 a>b>0 故原命題為真命題解（）當x>0, y>0 時，很明顯x+y>0, xy>0當 xy>0 時， x,y 同號；又 x+y>0 ，可知 x, y 同正，即 x>0, y>0 因此：命題甲是命題乙的充要