三角函數(shù)、極限、等價無窮小公式名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、三角函數(shù)公式整合：兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A= （ 2tanA

2、） / （ 1-tanA2）和差化積sin +sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin -sin =2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos=2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos=-2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差sin sin = - 1/2*cos(+)-cos( -)coscos = 1/2*cos(+)+cos( -)sin cos = 1

3、/2*sin(+)+sin( -)cos sin = 1/2*sin(-+sin()- )誘導(dǎo)公式sin(- ) = - sin cos(- ) =cossin( /2-) = coscos( /2-) =sin sin( /2+ ) =coscos( /2+ ) = -sin sin( -) = sin cos( -) =-cossin( +) =-sin cos( +) =-costanA=sinA/cosAtan （ /2 ） cot tan （ /2 ） cot tan （ ） tan tan （ ） tan 誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限萬能公式1. 極限的概念10，N （

4、正整數(shù)），當(dāng) nN時，恒有xnA（ ）數(shù)列的極限：lim xnA或 xnA(n)n幾何意義：在 ( A, A) 之外， xn至多有有限個點x1 , x2, xN（ 2）函數(shù)的極限x的極限：0 ， X0 ，當(dāng) xX 時，恒有f ( x)Alimf (x)A或f (x)A( x)x幾何意義：在（XxX ) 之外， f ( x) 的值總在 ( A, A) 之間。xx0 的極限：0，0，當(dāng) 0x x0時，恒有f ( x) Alimf ( x)A或f (x)A(xx0 )x x0幾何意義：在 x ( x0, x0 )( x0 , x0) 鄰域內(nèi)， f (x) 的值總在 ( A, A )之間。（ 3） 左

5、右極限左極限：0，0 ，當(dāng) x0xx0 時，恒有f ( x)Alimf ( x)A或f(x0 )f (x00)Axx0右極限：0 ，0 ，當(dāng) x0xx0時，恒有f ( x)Alimf ( x)A或f(x0 )f (x00)Axx0極限存在的充要條件： limf ( x)Alim f ( x)xx0x x0（ 4）極限的性質(zhì)唯一性：若 limf (x)A，則 A唯一x x0保號性：若 limf (x)A ，則在 x0 的某鄰域內(nèi)x x0A 0(A0)f (x) 0 ( f ( x) 0) ； f (x) 0 ( f ( x) 0)A 0(A 0)有界性：若limf (x)A ，則在 x0 的某鄰

6、域內(nèi)，f ( x) 有界x x02. 無窮小與無窮大（ 1）定義：以0 為極限的變量稱無窮小量；以為極限的變量稱無窮大量；同一極限過程中，無窮?。ǔ? 外）的倒數(shù)為無窮大；無窮大的倒數(shù)為無窮小。注意： 0 是無窮小量；無窮大量必是無界變量，但無界變量未必是無窮大量。例如當(dāng)x 時， xsin x 是無界變量，但不是無窮大量。（ 2）性質(zhì)：有限個無窮小的和、積仍為無窮??；無窮小與有界量的積仍為無窮小；lim f ( x)A 成立的充要條件是f ( x) A（ x ( x0, x0) ， lim0 ）x x0（ 3）無窮小的比較（設(shè)lim0 ， lim0 ）：若 lim0 ，則稱是比高階的無窮小，

7、記為 o() ；特別稱為o( )的主部若 lim，則稱是比低階的無窮?。蝗?limC ，則稱與是同階無窮??；若 lim1，則稱與是等價無窮小，記為；若 lim kC，（C0, k 0 ）則稱為的 k 階無窮小；（ 4）無窮大的比較：若 lim u， lim v，且 lim u，則稱 u 是比 v 高階的v無窮大，記為 o1 (v) ；特別 u 稱為 u vo1 (v)v 的主部3. 等價無窮小的替換若同一極限過程的無窮小量， ，且 lim存在，則limf ( x)f (x)g( x)limg( x)sin 1tan1cos2arcsin211常用等價無窮小1arctan2(lim0)11 1l

8、n(1)(1) ne1na1 ln a11注意：（ 1）無論極限過程，只要極限過程中方框內(nèi)是相同的無窮小就可替換；（ 2）無窮小的替換一般只用在乘除情形，不用在加減情形；（ 3）等價無窮小的替換對復(fù)合函數(shù)的情形仍實用，即若 limf ()f (0) ， ，則f ( ) f ()4. 極限運算法則 （設(shè)lim f ( x) A ， lim g ( x)B ）（ ）lim f ( x)g( x)lim f ( x)lim g( x)A B1（ 2） lim f ( x)g( x)limf (x)lim g (x)AB特別地， lim Cf (x)C limf (x) ， limf (x) nlim

9、 f (x) nAn（ 3） lim f ( x)lim f ( x)A (B0 )g ( x)lim g ( x)B5. 準則與公式 （ lim0 ， lim0 ）準則 1：（夾逼定理）若( x) f ( x)( x) ，則lim( x) lim ( x)Alim f (x)A準則 2：（單調(diào)有界數(shù)列必有極限）若 xn單調(diào)，且xnM （M0），則 lim xn 存在（x收斂）nn準則 3：（主部原則）limo()lim；lim1o1 ( 1 )limo1 ( 1 )o( )2o1 ( 2 )o1 ( 2 )公式 1： limsin x1s i n1xl i mx 011lim(1x) xl i m ( 1)公式 2：x0ee1l i m ( 1 1lim(1) n)nn公式 3： lim(1)elim，一般地， lim(1) felim f0nman xnan 1 xn 1a0an xnannm公式 4： limmm 1limmxbm xbm 1 xb0xbm xbmnm6. 幾個常用極限 ( a0, a1)（ 1） lim