七年級(jí)下十字相乘法分解因式教案

1、蘇州新希望教育個(gè)性化教案教師姓名陸戰(zhàn)學(xué)生姓名年級(jí)七年級(jí)輔導(dǎo)科目數(shù)學(xué)上課時(shí)間課時(shí)2課題名稱因式分解十字相乘法教學(xué)及輔導(dǎo)過(guò)程【基礎(chǔ)知識(shí)精講】（ 1）理解二次三項(xiàng)式的意義；（ 2）理解十字相乘法的根據(jù)；（ 3）能用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式；（ 4）重點(diǎn)是掌握十字相乘法，難點(diǎn)是首項(xiàng)系數(shù)不為 1 的二次三項(xiàng)式的十字相乘法【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1二次三項(xiàng)式多項(xiàng)式 ax2bxc ，稱為字母 x 的二次三項(xiàng)式， 其中 ax 2 稱為二次項(xiàng)， bx 為一次項(xiàng)，c 為常數(shù)項(xiàng)例如， x22x3 和 x25x6 都是關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式在多項(xiàng)式 x26 xy8 y2 中，如果把 y 看作常數(shù)，就是關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式；

2、如果把x 看作常數(shù)，就是關(guān)于y 的二次三項(xiàng)式在多項(xiàng)式22b273中，把 ab 看作一個(gè)整體，即 2(ab)27( ab) 3 ，就是關(guān)于aabab 的二次三項(xiàng)式同樣，多項(xiàng)式 ( xy) 27( x y) 12，把 xy 看作一個(gè)整體，就是關(guān)于 x y 的二次三項(xiàng)式十字相乘法是適用于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法2十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容利用十字相乘法分解因式，實(shí)質(zhì)上是逆用(axb)(cxd)豎式乘法法則它的一般規(guī)律是：（ 1）對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1 的二次三項(xiàng)式 x2pxq ，如果能把常數(shù)項(xiàng)q 分解成兩個(gè)因數(shù)a，b 的積，并且 a b 為一次項(xiàng)系數(shù) p，那么它就可以運(yùn)用公式x2(ab) xab( x

3、a)( xb)分解因式這種方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)”公式中的x 可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同（ 2）對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是 1 的二次三項(xiàng)式 ax2bxc (a， b，c 都是整數(shù)且 a0)來(lái)說(shuō)，如果存在四個(gè)整數(shù) a1, a2 , c1 ,c2 ，使 a1a2 a ， c1c2c ，且 a1c2a2 c1 b ，那么 ax2bx c a1a2 x2(a1c2a2c1 )x c1c2( a1 x c1 )(a2 x

4、c2 ) 它的特征是“拆兩頭，湊中間”，這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1 的情況復(fù)雜，因此，一般要借助“畫(huà)十字交叉線”的辦法來(lái)確定學(xué)習(xí)時(shí)要注意符號(hào)的規(guī)律為了減少嘗試次數(shù)，使符號(hào)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先提出負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)；常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯(cuò)誤出現(xiàn)：一是沒(méi)有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫(xiě)出的因式漏寫(xiě)字母如：5x26xy

5、8y 2(x2)(5x4)3因式分解一般要遵循的步驟多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運(yùn)用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法對(duì)于一個(gè)還能繼續(xù)分解的多項(xiàng)式因式仍然用這一步驟反復(fù)進(jìn)行以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復(fù)試，結(jié)果應(yīng)是乘積式”【典型熱點(diǎn)考題】例 1把下列各式分解因式：（ 1）x22x15；（ ）x2225xy 6 y點(diǎn)悟：（ 1）常數(shù)項(xiàng) 15 可分為 3 ×(5)，且 3(5) 2 恰為一次項(xiàng)系數(shù)；（ 2）將 y 看作常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式， 常數(shù)項(xiàng) 6 y2 可分為 (

6、2y)(3y)，而(2y)( 3y) ( 5y)恰為一次項(xiàng)系數(shù)解：（1） x22x 15 (x3)( x 5) ；（ 2） x25xy6 y2(x2 y)( x 3 y) 例 2 把下列各式分解因式：（ 1） 2x25x3；（ 2） 3x28x 3 點(diǎn)悟：我們要把多項(xiàng)式 ax2bx c 分解成形如 (ax1 c1 )( ax2c2 ) 的形式，這里 a1 a2a ，c1c2 c 而 a1c2a2c1b解：（1） 2x25x 3 (2x 1)( x 3) ；（ 2） 3x28x 3 ( 3x 1 )( x 3 ) 點(diǎn)撥：二次項(xiàng)系數(shù)不等于 1 的二次三項(xiàng)式應(yīng)用十字相乘法分解時(shí)， 二次項(xiàng)系數(shù)的分解和

7、常數(shù)項(xiàng)的分解隨機(jī)性較大，往往要試驗(yàn)多次，這是用十字相乘法分解的難點(diǎn)，要適當(dāng)增加練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)，才能提高速度和準(zhǔn)確性例 3 把下列各式分解因式：（ 1） x4 10 x2 9 ；（ 2） 7(xy)35( x y) 22( x y) ；（ 3） (a28a) 222(a 28a) 120 點(diǎn)悟：（ 1）把 x2 看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于x2 的二次三項(xiàng)式；（ 2）提取公因式 (x y)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于 (xy)的二次三項(xiàng)式；（ 3）以 (a2 8a) 為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 (a2 8a) 的二次三項(xiàng)式解：（1） x4 10 x2 9 ( x2 1)( x2 9) (x1)(x1)(x3)(x

8、3)（ 2）7( xy) 35( xy) 22( xy)(x y) 7( x y)25( x y) 2 (xy)(x y)17( x y)2 (xy)(xy1)(7x7y2)（ 3）(a28a)222(a28a)120(a28a12)( a28a10)(a2)(a6)( a28a10)點(diǎn)撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時(shí)、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式中究竟把哪一個(gè)看成整體，才能構(gòu)成二次三項(xiàng)式，以順利地進(jìn)行分解同時(shí)要注意已分解的兩個(gè)因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止例 4分解因式： ( x22x3)( x22x24)90 點(diǎn)悟：把 x22 x 看作一個(gè)變量，利用換元法解之解：設(shè)

9、x22xy ，則原式 (y 3)(y24)90y227 y162 (y18)(y9)(x22 x18)( x22 x9) 點(diǎn)撥：本題中將 x22x 視為一個(gè)整體大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，體現(xiàn)了換元法化簡(jiǎn)求解的良好效果此外， y227 y162( y18)( y9) 一步，我們用了“十字相乘法”進(jìn)行分解例 5分解因式 6x 45x338 x25x6點(diǎn)悟：可考慮換元法及變形降次來(lái)解之解：原式2 6( x211xx2 ) 5(x) 38xx2 6( x1) 25(x1) 50，xx1令 xy ，則x原式 x2 ( 6 y25 y 50)x2(2y5)(3y 10)x2(2x25)(3x310)xx(2x25x 2)(3x2 10 x 3)( x2)(2x1)( x3)(3x1) 點(diǎn)撥：本題連續(xù)應(yīng)用了“十字相乘法”分解因式的同時(shí)，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂但是，品味之余應(yīng)想到對(duì)換元后得出的結(jié)論一定要“還原”，這是一個(gè)重要環(huán)節(jié)例 6 分解因式 x 22xy y 25x5 y 6 點(diǎn)悟：方法 1：依次按三項(xiàng)，兩項(xiàng)，一項(xiàng)分為三組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于(xy)的二次三項(xiàng)式方法 2：把字母 y 看作是常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x 的