最新基本不等式練習題及答案

1、精品文檔雙基自測1，1.(人教A版教材習題改編)函數(shù)y=x+ -(x>0)的值域為().x精品文檔A.( 8, - 2 U 2, + 8)B. (0, + 8)C.2, + 勺D . (2, + 8)2.a2 + 1 >2a；=b<2；x2 + 日>1,其中正確的個數(shù)是()A.C. 23. 若a>0, b>0,且a + 2b 2 = 0,則ab的最大值為().1A.2 B. 1 C. 2 D. 414. (2011重慶)若函數(shù)f(x) = x+-(x>2)在x= a處取最小值，WJ a=().x 2A. 1 + 處 B . 1 + V3C. 3 D.

2、42. t 4t+ 1 , 一 , _5. 已知t>0,則函數(shù)y= t的取小值為.考向一 利用基本不等式求最值1 1 , 【例1】？(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,貝匚+ 了的最小值為;x V 2x當x>0時，貝U f(x) = x1的取大值為.1 ,【訓練1】(1)已知x> 1,貝U f(x) = x+ 的最小值為 x 1.2 2 ,(2)已知0< xE，則y= 2x- 5x的最大值為. 5若 x, y (0, + 8)且 2x+ 8y-xy= 0, WJ x+ y 的最小值為.考向二利用基本不等式證明不等式【例2】？已知a>0, b&

3、gt;0, c>°,求證：管+冒+井a(chǎn)+ b+ c.【訓練2】 已知a>0, b>0, c>0,且a+ b+ c= 1.一 1 1 1求證：-+r+-> 9.a b c考向三 利用基本不等式解決包成立問題x【例3】?(2010山東)若對任意x>0, x+ 3乂+ 1 v a包成立，WJ a的取值范圍是4. 解析 當 x>2 時，x 2>0, f(x)= (x-2) + x12 + 2>2 .(x 2)x1+ 21一 .一 一 一. 一 一一.=4,當且僅當x-2 = (x>2),即x= 3時取等號，即當f(x)取得最小值時，

4、x x 2=3,即a = 3.答案 C，一4t +11,一,一5. 解析 ">0,.v=t = t+- 4>2-4= 2,當且僅當t= 1時取等 號.答案 一2【例 1】解析(1) : x>0, y>0,且 2x + y= 1,1 1 2x+ y 2x+ y - y 2xy 2xn,= + = 3 + - + >3+ 2山.當且僅當時，取等號.x y x y x yx y(2廣x>0, /.f(x) = 岑=|= 1,當且僅當x= 1即x= 1時取等號.答x 十 1 x+1 2xx案(1)3+ 2 2 (2)11【訓練 1】.解析(1) x>

5、 1, f(x)= (x- 1) + + 1>2+ 1 = 3 當且僅當 x、，、 、，x12_12_ _=2 時取等虧.(2)y = 2x 5x = x(2 5x)= 5 5x (2 5x),0<x<5,5x<2,2釵+ 2-5x1 .一 .5x> 0, , 5x(2 5x) v 21,* g,當且僅當 5x = 2 5x,即 x=e時，ymax= £(3)由 2x+ 8y xy= 0,得 2x+ 8y=xy, . '+'= 1, 55y xx+y= (x+ y) £+ y = 10+ 8y+ 號=10 + 2 牛+；卜 10

6、+ 2X 2X .4 ； = 18,當且僅當%;，即x= 2y時取等號，又2x+ 8y-xy=。，12, y= 6,.當x= 12, y= 6時，x+ y取最小值18.答案(1)3 5 (3)18【例 2】證明. a>0, b>0, c>0, .區(qū)+ Ca>2、伊早=2c；區(qū)+ ab>2 a b ； a b ' a cbc ab2b;. a c bca ab c"一 > 2b cca絲=2a.以上三式相加得：2 b ccab + b+c),即區(qū)+¥+豈a+ b+ c.7 a b c【訓練2】、口口cic c 口 .111 a+ b

7、+ c a+ b+ ca c a c b-b+c.J證明. a>0, b>0, o°,且 a+ b+ c= L - + +- =- + - +a+ b+ c c b c a c a b c ib 二 一* .- 一c=3+a+a+b+b+c+c=3+ 扃+b *+c 尸 If+I 一， I1->3+ 2+ 2+ 2= 9,當且僅當a= b= c=1時，取等號.3解析若對任意xx>0，Txnv就旦成立，只需求得y=«1的最大值即可，因為x>0,1所以 y = x2 + 3x+ 1 =x+ ；+ 3 2+ oo )x1；1 i 一， i,5.且僅少

8、x=1時取等號，所以a的取值范圍是|5,案 R,【訓練3】解析由 x>0,y>0, xy= x+ 2y» 2 寸云y,得 xy» 8, 丁是由 m- 2< xy包成立，得m-2<8, m< 10,故m的最大值為10.答案 10【例 3.解 由題意可得，造價 y= 3(2xX 150+ 株 400)+ 5 800= 900? + 1X6 j+ 5xX 1X6+ 5 800= 13 000(元),16800(0< xV 5), WJ y= 900 !+ 5 800A900X 2當且僅當x=套，即x=4時取等號.故當側(cè)面的長度為4米時，總造價最

9、低.【訓練3】解第n次投入后，產(chǎn)量為(10+ n)萬件，銷售價格為100元，固80 正成本為柘兀，科技成本投入為100n萬兀.所以，年利潤為啊=(1°+n) 100一80聲卜1"*N ).由(1)知 f(n) = (10+ n) 100一80EJ- 100n=1 000 80n/nn +卜 520(萬元).當且僅當 VnT1 =,即n = 8時，利潤最高，最高利潤為520萬元.所以，從今年算起第8年利潤最高，最高利潤為520萬元.【示例】.正解a>0, b>0,且a+ b= 1,4+2=a b1 2_+z , a ba+ b=1,當且僅當b 2aa= «

10、;，a = V2 1, 12,，山，r-即 廠 時，+r的取小值為3 + 2也.、b= 2-也a b1111【試一試】公試解谷a + 雨+aa二b)=a -ab+ab+ab+aa二b)=a(ab)+ ab+土2、/a(a b)+ 2、/ab4= 2+ 2= 4.當且僅當 a(a a(a b)ab y、，a(a b) ab、【訓練3】(2011宿州模擬)已知x>0, y>0, xy= x+ 2y,若xy>m-2包成立， 則實數(shù)m的最大值是.考向三利用基本不等式解實際問題【例3】？某單位建造一間地面面積為12 m* 1 2 * * * *的背面靠墻的矩形小房，由丁地理位 置的限制

11、，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m.房屋正面的造價為400元/m2,房 屋側(cè)面的造價為150元/m2,屋頂和地面的造價費用合計為 5 800元，如果墻高 為3 m,且不計房屋背面的費用.當側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？【訓練3】(2011廣東六校第二次聯(lián)考)東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件， 每件水晶產(chǎn)品的銷售價格為100元，固定成本為80元.從今年起，工廠投入100 萬元科技成本.并計劃以后每年比上一年多投入 100萬元科技成本.預計產(chǎn)量每 年遞增1萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本g(n)與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是80g(n)=r.石水晶廣品的銷售價格不變，第 n次投入后的年利潤為f(n)萬兀. n+ 1(1)求出f(n)的表達式；(2)求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？【試一試】(2010四川)設(shè)a>b>0,則a2+*+ a(a1b)的最小值是().A. 1 B. 2 C. 3 D. 4雙基自測D. (2