第三章連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析

1、第三章.連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析一、任意信號在完備正交函數(shù)系中的表示法（§6.3-6.4）信號分解的目的：l 將任意信號分解為單元信號之和，從而考查信號的特性。l 簡化電路分析與運算，總響應=單元響應之和。1正交函數(shù)集 任意信號可表示為n維正交函數(shù)之和： 原函數(shù) 相互正交：稱為完備正交函數(shù)集的基底。一個信號可用完備的正交函數(shù)集表示,.正弦函數(shù)集有許多方便之處,如易實現(xiàn)等，我們主要討論如何用正弦函數(shù)集表示信號。2能量信號和功率和信號（§6.6一）設(shè)為流過電阻R的電流，瞬時功率為 一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比。 令R = 1，則在整時間域內(nèi)，實信號的能量，平均功率為

2、：討論上述兩個式子，只可能出現(xiàn)兩種情況：(有限值) (有限值) 滿足式的稱為能量信號，滿足式稱功率信號。3帕斯瓦爾定理設(shè)為完備的正交函數(shù)集，即信號的能量 基底信號的能量 各分量此式稱為帕斯瓦爾定理 P331 式（6-81） (P93, P350)左邊是信號能量，右邊是各正交函數(shù)的能量。物理意義：一個信號所含有的能量（功率）恒等于此信號在完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率）之和。二、周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù)(1) 周期信號傅里葉級數(shù)有兩種形式三角形式： = 指數(shù)形式：(2) 周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)收斂性諧波性：(離散性)譜線只出現(xiàn)在處，唯一性：的譜線唯一(3) 兩種頻譜圖的關(guān)系l 三

3、角形式：， 單邊頻譜l 指數(shù)形式：, 雙邊頻譜兩者幅度關(guān)系 = l 指數(shù)形式的幅度譜為偶函數(shù)l 指數(shù)形式的相位譜為奇函數(shù)(4) 引入負頻率對于雙邊頻譜，負頻率，只有數(shù)學意義，而無物理意義。為什么引入負頻率? 是實函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對與 ，才能保證實函數(shù)性質(zhì)不變。(5) 對特殊信號不一定滿足上述三個性質(zhì)例如：沖激序列的付里葉級數(shù)分析：狄氏條件是傅里葉級數(shù)存在的充分條件。根據(jù)沖激信號的定義和特性，其積分有確定值，傅里葉級數(shù)存在。即 的頻譜，有離散性，諧波性， 無收斂性，頻帶無限寬周期信號的功率1 描述周期信號的平均功率=各正交分量的平均功率之和(帕斯瓦爾定理)平均功率: 是三角形式傅里

4、葉級數(shù)的余弦形式中振幅值。 總平均功率=各次諧波的平均功率之和對于指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) P=, 三、典型周期信號的傅立葉級數(shù)本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例，討論其頻譜的特點。頻譜結(jié)構(gòu)已知矩形脈沖信號的脈寬為。三角形式的譜系數(shù)是個偶函數(shù) 。指數(shù)形式的譜系數(shù) =頻譜特點包絡(luò)線按抽樣形狀變化頻譜是離散的 ll 矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點：離散性，諧波性，收斂性l 對比波形：頻帶寬度周期矩形脈沖信號的頻譜每當（m取整數(shù)）時，通過零點。其中第一個零點在，即，此后諧波的振幅相對減小。能量主要集中在第一個零點以內(nèi)。信號一般主要集中在低頻段。定義：在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表

5、示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。l 一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：l系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真四非周期信號的頻譜分析傅里葉變換傅里葉變換周期信號非周期信號譜系數(shù)： (1) 單位頻帶上的頻譜值當時， 稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。由求稱為傅立葉變換。一般為復信號，故可表示為 反變換 應是的反變換。傅立葉變換對稱為付里葉變換對，簡寫，其中稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)。傅立葉變換的特殊形式 實部 虛部 實信號 偶分量 奇分量 實部 虛部 關(guān)于的偶函數(shù) 關(guān)于的奇函數(shù) 關(guān)于的偶函數(shù) 關(guān)于的奇函數(shù)偶函數(shù)（奇分量為零）為實函數(shù)，只有，相位奇函數(shù)（偶分量為零）為虛函數(shù)，只有，相位 奇偶虛實

6、性傅里葉變換的物理意義為實函數(shù) 求和 振幅 正弦量由上式可得出，非周期信號可分解為：l 無窮多個幅度為無窮小()的連續(xù)指數(shù)信號之和，占據(jù)整個頻域，；l 無窮多個振幅為無窮小()的連續(xù)余弦信號之和，頻域范圍：。 傅里葉變換存在的條件ll 即絕對可積，存在。所有能量信號均滿足此條件。l 當引入函數(shù)的概念后，允許作變換的函數(shù)類型大大擴展了。五典型非周期信號的頻譜矩形脈沖幅度頻譜： 頻寬 ：相位頻譜：單邊指數(shù)信號 直流信號El 不滿足絕對可積的條件，不能直接用定義求；l 利用矩形脈沖的頻譜求極限。時域無限寬，頻帶無限窄。符號函數(shù) 這個信號不滿足絕對可積條件。處理方法：做成一個雙邊函數(shù)沖激函數(shù) 。沖激函

7、數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對可積條件，不能用定義求。 對稱性 沖激偶的付里葉變換 單位階躍函數(shù)u(t)六.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換具有唯一性。付氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論付里葉變換的性質(zhì)，目的在于：l 了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；l 用性質(zhì)求；l 了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的實用。對稱性線性奇偶虛實性微分性質(zhì)尺度變換特性時移特性頻移特性時域積分性質(zhì)4.微分性質(zhì)時域微分如果中有確定的直流分量，應先取出單獨求付氏變換，余下部分再用微分性質(zhì)。頻域微分或5.尺度變換特性信號的持續(xù)時間與信號占有頻帶成反比，有時為加速信號的傳遞，要將信號持續(xù)時間壓縮，則

8、要以展開頻帶為代價。6.時移特性;幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，7.當f(t)時移和尺度變換都有時，8.頻移特性 通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復用9.時域積分性質(zhì)七卷積定理1時域卷積定理意義：時域卷積對應頻域頻譜密度函數(shù)乘積2頻域卷積定理3作用卷積定理：揭示了時間域與頻率域的運算關(guān)系，在通訊理論中有重要作用4應用：用時間卷積定理求頻譜密度函數(shù)求系統(tǒng)的響應5調(diào)制原理與頻分復用調(diào)制：將信號的頻譜函數(shù)搬移到任何所需的較高頻段上的過程。圖1為幅度調(diào)制(AM)。解調(diào)將已調(diào)信號恢復成原來的調(diào)制信號的過程。圖4所示為同步解調(diào)頻分復用所謂頻分復用，就是以頻段分割的方法在一個信道內(nèi)實現(xiàn)多路通信的傳輸體制。發(fā)信端：調(diào)制，將各信號搬移到不同的頻率范圍。收信端：帶通濾波器，分開各路信號，解調(diào)。再利用一個低通濾波器（），濾除再附近的分量，即可取出，完成解調(diào)。八周期信號的傅立葉變換周期信號：非周期信號正弦信號：一般周期信號：可見：由求： 單位沖激序列的 周期矩形脈沖序列的傅氏變換九.抽樣信號的傅立葉變換理想抽樣（周期單位沖激抽樣）抽樣定理 抽樣定理的應用-時分復用用于時分復用，在同一時間里傳送不同信號。十系統(tǒng)函數(shù)H(jw)物理意義表征系統(tǒng)固有的性質(zhì)或特性為沖激響應，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，描述了系統(tǒng)的固有性質(zhì)。也僅僅決定于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，是表征系統(tǒng)特性的重要參數(shù)。系統(tǒng)沖激響應的傅立葉變換 ，。系統(tǒng)的頻率響應特性系統(tǒng)的