2021屆山東省青島市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題Word版含解析

1、2021屆山東省青島市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .已知復(fù)數(shù)Z1，Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（L1）, （0,1），則/=（）A. 1+zB. -1+z C. -1-i D. 1-i【答案】D【解析】由已知條件可得向*2,然后代入夏，再利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】復(fù)數(shù)句"2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（1, 1）, （0, 1）, 2=1+工，22=上.W* = 1T.Zi i一3故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2 .設(shè)& R,則“sina = cosa"是"si

2、n2a = 1”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】sina = cos。, fja = kn ,得sin2a = 1成立；若sin2a = 1,得。=左兀十:，得 44sina = cosa即n判斷.【詳解】若sina = cosa.貝lj tana = l,a =, 得sin2a = sin2+ g） = sin ； = 1 成立； 反之，若sin2a = 1,則2a = 2k兀+14 =krr+;，得 24sina = cosa,故"sina = cosa”是"sinZa = 1 ”的充分必要條件.故

3、選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件，屬基礎(chǔ)題.易錯(cuò)點(diǎn)是“sina = cosa”推出“sin2a = 1” .3 .向量色5滿足同=1,忖=，(a + b)1(2a-b)f則向量d與坂的夾角為OA. 45°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】c【解析】試題分析：設(shè)向量d與B的夾角為0 .Q+B)_L(2i-5),/ (a+b) (2a-b) = 2a2-b2 +a b =2x2 -(>/2)2 +1 x /2 xcos0 = 0，化為cos8 = 0，v e g o,，8=90° .故選 a【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

4、4 .已知數(shù)列血中， = 2,%=1.若 J為等差數(shù)列，則為 =()【答案】C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)先求出的公差，即可求出“5.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，,則，='+ 4",即 1 = 1 + 44,解得</ = 1. a7 a3281 1c 1134則丁 = 7 + 21 = 5 +工=工，解得。3=1. a5a3/ftj故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5 .已知點(diǎn)M (2,4)在拋物線a y1 = 2px (P 。)上，點(diǎn)到拋物線。的焦點(diǎn)的距離是()A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】將點(diǎn)M(2,4)的坐標(biāo)代入拋物線

5、方程，求出 =4,即得焦點(diǎn)尸(2,0),利用拋物線的 定義，即可求出.【詳解】由點(diǎn)M(2,4)在拋物線)?=2px上，可得16 = 4p,解得p = 4,即拋物線C：V=8x,焦點(diǎn)坐標(biāo)尸(2.0),準(zhǔn)線方程為犬=_2.所以，點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)的距離為：2-(-2) = 4.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義和簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.在A4BC中，通+/=2而，萩+ 2詼=0,若所=19+)/6,則()A. y = 2xB. y = -2x c. X = 2yD. x = -2y【答案】D【解析】依題可得，點(diǎn)。為邊3C的中點(diǎn)，荏=一2詼，從而可得出。左=(A# + )，一 2 1

6、 21DB = -(AB-AC),EB = -AB-AC 9從而可得出x =即可得到x = -2y.333 '3【詳解】如圖所示:yAB + AC = 2AD點(diǎn)。為邊8c的中點(diǎn),* AE = -IDE，二 DE = -AD = -(AB + AC),Jo . I i)CDB = -CB = -(ABAC), 22SHAK»>|/I，EB = DB-DE = -(AB-AC) + -(AB + AC) = -AB-AC.XEB = xAB + yAC ,21 x = 一,、= ，即 x = -2y .3 .3故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量加法的平行四邊形法則，向量減法

7、的三角形法則，向量的線性運(yùn)算，平面向 量基本定理等知識(shí)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7 .已知雙曲線C：二-1 = 1, （00">0）的左、右焦點(diǎn)分別為A, E,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是雙Q- b-曲線在第一象限上的點(diǎn)，兩=2西= 2，（?>0）,兩理=/，則雙曲線。的漸近線方程為（）A. y = ±Jx B. y = ± -A-C.尸石D.）' = ±缶22【答案】D【解析】利用雙曲線的定義求出7 = 2%由向量的數(shù)量積，可求出/耳尸鳥，利用余弦定理可得a，c的關(guān)系式,結(jié)合。2=1+從,即可求出.【詳解】因?yàn)閨P用-|

8、尸鳥| = 2,西=2跖| = 2?可得? = 2，由麗西=病可得4 2a cos NF PF? =4«2,所以 N±PF? = 60°,BJ有4M =4a2 + 6a22x4ax2ax- = 12a29 B|Jc2 = a2+b2= 3a2,2所以9=應(yīng)，a所以雙曲線的漸近線方程為：y = ±V2.v.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的定義，向量數(shù)量積的定義以及余弦定理的應(yīng) 用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8 .已知奇函數(shù)”X)是斤上增函數(shù)，&。)=葉6)則()A.>g【答案】B【解析】根據(jù)定義，可

9、判斷出g(x)為偶函數(shù)，根據(jù)其導(dǎo)數(shù)可得出，工>0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞 增，x0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，再利用奇偶性將三個(gè)函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的函 數(shù)值，即可比較出大小.【詳解】由奇函數(shù)/是R上的增函數(shù)，可得廣(力？0,以及當(dāng)X>0時(shí)，/(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0,由 g(x) = #(x),貝Ijg(-%) = - V(-x) = V(x) = g(x),即 g(x)為偶函數(shù).因?yàn)間'(x) = f(x)+礦(X),所以當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,當(dāng)xvo時(shí),g'(x)vO.故工>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

10、x<0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減./1 32因?yàn)?g log3 - J = g。密 4), 22 < 2吃 < 2° = 1 < log3 4所以g(log3()>g2W)>g12卷.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，比較大小，涉及指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及利 川導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.二、多選題9 .如圖,正方體ABC。-的棱長為1,則下列四個(gè)命題正確的是（）JTA.直線3c與平面A8G4所成的角等于二B.點(diǎn)C到面A8GA的距離為無27TC.兩條異面直線。C和8G所成的角為7D.

11、三棱柱AA A - BBS外接球半徑為正2【答案】ABD【解析】根據(jù)線面角的定義及求法，點(diǎn)面距的定義，異面直線所成角的定義及求法，三棱柱的 外接球的半徑求法，即可判斷各選項(xiàng)的真假.【詳解】正方體ABC。-44GA的棱長為1,對(duì)于A,直線3c與平面ABGR所成的角為NC8G=£,故選項(xiàng)A正確；4對(duì)于B,因?yàn)?。，面48GA，點(diǎn)C到面A8CQ的距離為BC長度的一半，即=無，故選 2項(xiàng)B正確；對(duì)于C,因?yàn)?G/A4,所以異面直線。和BG所成的角為乙4。，而A"C為等邊三角形，故兩條異面直線。和8G所成的角為g，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)?A，A04Q兩兩垂直，所以三棱柱朋2-88

12、£外接球也是正方體A8CO A用GA的外接球，故1""=正,故選項(xiàng)D正確. 22故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面角的定義以及求法，點(diǎn)面距的定義以及求法，異面直線所成角的定義以及求法，三棱柱的外接球的半徑求法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.要得到y(tǒng) = COS2%的圖象G,只要將y = Sin； 2x +1 '圖象G怎樣變化得到（） / A.將尸sin jx + q的圖象G沿彳軸方向向左平移合個(gè)單位B.將y =淅2x + g的圖象G沿x軸方向向右平移譽(yù)個(gè)單位C.先作G關(guān)于彳軸對(duì)稱圖象C”再將圖象G沿X軸方向向右平移得個(gè)單位 14D.先作a關(guān)于，軸對(duì)稱圖象?！?/p>

13、再將圖象G沿X軸方向向左平移個(gè)單位【答案】ABC【解析】根據(jù)三角函數(shù)的變換法則，即可判斷各選項(xiàng)是否可以變換得到.【詳解】對(duì)于A,將），=耐2丹三|圖象。2沿*軸方向向左平移*個(gè)單位，可得>' = sin2（ x + - j + |- =sin|2x + q 卜 cos2x 的圖象 G，故選項(xiàng) A 正確：對(duì)于B,將丁 = 4】；2、+。的圖象。2沿才軸方向向右平移?¥個(gè)單位也可得到, / 1，y = sin 2 x123+ - =sin 2x3/r= cos2x的圖象G，故選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,先作g關(guān)于x軸對(duì)稱,得到y(tǒng) = -sin2x + ?的圖象。3,再將圖象G沿x軸

14、方向向右平移3個(gè)單位，得到y(tǒng) = -sin 2x- =-sin卜l = cos2x的圖象G ,故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D,先作J關(guān)于x軸對(duì)稱，得到），= -sin|：2x + ?卜勺圖象g,再將圖象G沿x軸方向向左平移個(gè)單位，得到的y = -sin 2（x + .） + g= -sin 2x + =-cos2x圖象,2)故選項(xiàng)D不正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換法則的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和轉(zhuǎn) 化能力，以及邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.11 .已知集合M = （x，y）|y = /（x）,若對(duì)于Va，»）e，天使得斗馬+凹力及成立,則稱集合材是“互

15、垂點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合:M = （x，y）W=/+1 ； % = （x,），）卜=7T+T ； % = （乂），）b="；%=a，y）|y=sinx+i.其中是“互垂點(diǎn)集”集合的為（）A. %【答案】BDB. %C.d. a【解析】根據(jù)題意知，對(duì)于集合M表示的函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)P（N，）1），在圖象上存在另一 個(gè)點(diǎn)P,使得而，赤，結(jié)合函數(shù)圖象即可判斷.【詳解】由題意知，對(duì)于集合M表示的函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)尸（內(nèi),y）,在圖象上存在另一個(gè)點(diǎn)P，使得麗_L赤.在y = Y + l的圖象上，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0J）時(shí)，不存在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)尸'，所以不是“互垂點(diǎn)集”集合；對(duì)）,=47?的圖象

16、，將兩坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)進(jìn)行任意旋轉(zhuǎn)，均與函數(shù)圖象有交點(diǎn)，所以在中的任意點(diǎn)夕C、yJ,在中存在另一個(gè)尸，使得赤，。尸，所以是“互垂點(diǎn)集”集合；在），="的圖象上，當(dāng)尸點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）時(shí)，不存在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)尸'，所以"3不是“互垂點(diǎn)集”集合；對(duì),，= sinx + l的圖象，將兩坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)進(jìn)行任意旋轉(zhuǎn)，均與函數(shù)圖象有交點(diǎn)，所以所以，是“互垂點(diǎn)集”集合，故選：BD.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假的判斷，以及對(duì)新定義的理解與應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力 和數(shù)學(xué)抽象能力，屬于較難題.12 .德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（歷rid1"1805r859）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.1

17、9世紀(jì),狄利克雷定義了一個(gè)“奇怪的函數(shù)" y = /（A）= r V。其中斤為實(shí)數(shù)集,0為有理數(shù)集.則關(guān)于函數(shù) O.xeCRQ/（“有如下四個(gè)命題，正確的為（）A.函數(shù)/（'）是偶函數(shù)B. Va., / eGe。，/（玉+）"（8） + /（）恒成立C.任取一個(gè)不為零的有理數(shù)7； f x+T =f x對(duì)任意的x$R恒成立D.不存在三個(gè)點(diǎn)A（ja）, 3伍,），。（知七）,使得A43C為等腰直角三角形【答案】ACD【解析】根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于 A,若人魂。，則一xt。，滿足 x)= /(f)；若 xegQ, l/llj -x e CKQ

18、 ,滿足/(x) = /(r)； 故函數(shù)f。)為偶函數(shù)，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B,取內(nèi)=產(chǎn)£4。,占=一燈金。火。，則/(玉+%) = /(0) = 1, /(3) + /()=°，故選項(xiàng)B 錯(cuò)誤；對(duì)于 C,若 xe。，則x+Tw。，滿足 f(x) = /(;v+7)；若xwgQ ,則 x + Te/Q,滿足f(x) = f(x+T),故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D,要為等腰直角三角形，只可能如下四種情況：直角頂點(diǎn)4在)，=1上，斜邊在x軸上，此時(shí)點(diǎn)3,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則8c中點(diǎn)的橫 坐標(biāo)仍然為無理數(shù)，那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立;BC ?直角頂點(diǎn)4

19、在y = 1上，斜邊不在”軸上，此時(shí)點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；直角頂點(diǎn)A在“軸上，斜邊在丁 = 1上，此時(shí)點(diǎn)8,點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則8C中點(diǎn)的橫 坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為0矛盾，故不成立;直角頂點(diǎn)A在X軸上，斜邊不在y = l上，此時(shí)點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)也應(yīng) 為無理數(shù)，這與點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立.綜上，不存在三個(gè)點(diǎn)4(%,/(%), B(x2,f(x2), C(x3, /(x3),使得AABC為等腰直角三角 形，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題以新定義為載體

20、，考查對(duì)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)的運(yùn)用能力，意在考查學(xué)生運(yùn)用分類討論思想， 數(shù)形結(jié)合思想的能力以及邏輯推理能力，屬于難題.三、填空題13.已知直線x-2)，+。= 0與圓。：/ +3,2=2相交于4, 8兩點(diǎn)(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，且AOB為 等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)。的值為.【答案】土事【解析】根據(jù)等腰直角三角形邊長可求得弦長A8 = 2,利用點(diǎn)到直線距離公式求得圓心到直 線距離4,根據(jù)垂徑定理構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】.AAO3為等腰直角三角形:.OA±OBt 乂OA = OB = rf :.AB = 2AB = 2>lr-d2 = 22-y = 2 » 解得:a = 土小故答案

21、為土百【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線被圓截得的弦長求解參數(shù)值的問題，涉及到點(diǎn)到直線距離公式、垂徑定理的 應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠明確直線被圓截得的弦長為277工廠，屬于常考題型.14.已知直線y = x + 2與曲線y = ln（x+a）相切，則=【答案】3【解析】設(shè)切點(diǎn)為（X。，y0）,求出函數(shù)y = ln （x+“）的導(dǎo)數(shù)為y =一，得女切=-1一 = x + axQ+a1,并且 yo=x<）+2, y0=ln （x0+« ）,進(jìn)而求出【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（X。，y0）,由題意可得：曲線的方程為y=ln （x+。），所以y' =一. x +a所以 k 切=-=1,并且 y0=Xo+2

22、, y0=ln （x0+"）,解得：y°=0, x°= - 2,。=3. xo + a故答案為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)， 屬于基礎(chǔ)題.15. 2019年7月，中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)志著中華五千年文明史得到國 際社會(huì)認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué) 家在測定遺址年齡的過程中利用了 “放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14 的質(zhì)量V隨時(shí)間T（單位:年）的衰變規(guī)律滿足n = N。 2島（N。表示碳14原有的質(zhì)量），則經(jīng)過 5730

23、年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是31原來的,至芯據(jù)此推測良渚古城存在的時(shí)期距今約在5730年到年之間.（參考數(shù)據(jù)：lg2、O.3, Ig70.84, lg30.48）【答案】；6876【解析】把7 = 5730代入 = 乂-2亮，即可求出；再令2亮9,兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù), 即可求出廠的范圍.【詳解】了1: N = N。,濟(jì)，,當(dāng)丁 = 5730時(shí)，N = N°.笳經(jīng)過5730年后，碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?由題意可知：2麗汨，-/ a兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)得：log2 2標(biāo) log?亍，,3.二土 =晝工42，5730 1g 2 1g

24、 2:.T 6876,推測良渚古城存在的時(shí)期距今約在5730年到6876年之間.故答案為：；6876.2【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題.16.已知A4BC的頂點(diǎn)Ae平面。，點(diǎn)6, C在平面口異側(cè)，且A8 = 2,若A3, 4C與夕所成的角分別為2巳則線段8c長度的取值范圍為.3 o【答案】斤延 【解析】由題意畫出圖形，分別過8,C作底面的垂線，垂足分別為四，C,根據(jù)BC+ B高+ C,C)2 = B,C；2 +m可知，線段8c長度的最大值或最小值取決于8£的長度，而|鬲H福卜|甌卜|阿卜|宿|，即可分別求出8c的最小值與最大值.【詳解】

25、分別過&C作底面的垂線，垂足分別為用，G.由已知可得，BB=0 CC、=£, A5=1, AQ=.22反=函+南+束，2/, '" 2*2*2*2 ， -*23*227.BC =(B4+4G+GC)=BB1+8£ +G。+2BB1C£ = 3 + B© +- + 3 = B1C, +不而 畫一同函上網(wǎng)十碼，當(dāng)48, AC所在平面與。垂直，且£C在底面上的射影與，G，在A點(diǎn)同側(cè)時(shí)，8c長度最小，此時(shí)甌h福卜|西卜|-1=1 8c最小為":當(dāng)AB, AC所在平面與。垂直，且8,C在底面上的射影與，G，在A點(diǎn)異側(cè)時(shí)

26、，8C長度最大,此時(shí)|瓦同=|福| + |阿卜| + 1 = 2, 6c最大為J(|j+曰=g.線段8C長度的取值范圍為"，萬.故答案為："，而.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面所成的角的定義以及應(yīng)用，向量數(shù)量積的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀 想象能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.四、解答題17.已知 / (x) = 2cosx(sin x - >/3 cosx + f3 9求函數(shù)/ (力的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；求函數(shù)小)在區(qū)間-g，o的取值范圍. 【答案】(1) n> 2k4+ 不、2k4 + 于,keZ ; (2) F-2,1.【解析】(1)利用二

27、倍角公式和輔助角公式對(duì)力的解析式進(jìn)行三角恒等變換，得到/(x) = 2sin|2x-j,再根據(jù)周期公式和整體代換法即可求出周期和單調(diào)遞減區(qū)間；令/ =-日,一g ,由¥ =?！霸?f，g上的單調(diào)性，即可求出一 2<2sind6, 一從而求出力在區(qū)間-go的取值范圍.【詳解】由題意，化簡得/(X)= 2cosxsin-(2cos2x-l)= sin2x->/3cos 2x所以函數(shù)的最小正周期y = sinx的減區(qū)間為2k7r + ,2k7r + - 22keZ由 2k 九 + y < 2x - y < 2k 冗 + ?，1U12keZ.所以函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減

28、區(qū)間為" +號(hào)次江+詈 141乙因?yàn)閤e - »0 ,所以/ = 2X一7£, B|JW-2<2sin/<>/?./JD D所以，函數(shù)/（“在區(qū)間-go上的取值范圍是-2,百.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用二倍角公式和輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換，周期公式的應(yīng)用，整體代換法 求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及換元法求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能 力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.在AABC, a, b, c分別為內(nèi)角A, 8, C的對(duì)邊,且&活sin C = 39？ + c? -,若“=加，c = 5 . 求cos 4;求AA8C的

29、面積£4159【答案】（1） = ；（2）?或弓.【解析】（1）根據(jù)條件形式利用正弦定理和余弦定理邊化角，可得4sinA = 3cosA,再結(jié)合平方關(guān)系即可求出cos A ； 根據(jù)題意，已知兩邊及一角，采用余弦定理可得，/n+cZ2,ccosA,即可求出邊人 再根據(jù)三角形面積公式S =；兒-sinA即可求出.【詳解】（i）由題意得名£=也2bc+ c2-a2)由余弦定理得：*3£ = 3cosA C由正弦定理得4sin A = 3cos A3所以 tanA = ：,44/ MBC 中，cosA = -.(2)由余弦定理a2 = b2 +c2-2bccos A 得/

30、一助 +15 = 0解得 =3或。=53 3tan A =- , ，sinA =-4 51 isg由 S = /?c sin 4得5 =二或5 = .2 22【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生 的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.設(shè)數(shù)列也的前n項(xiàng)和為S”，已知” = 1, 即2S” = 1, £ N*.證明：S” +1為等比數(shù)列,求出a.的通項(xiàng)公式；若"=3,求2的前刀項(xiàng)和7；,并判斷是否存在正整數(shù)"使得7； - 21 = + 50成立?若存在求出所有A值;若不存在說明理由.【答案】證明見解析， = 2&quo

31、t;-' (2)不存在,理由見解析.【解析】(D根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明邑+ 1為等比數(shù)列，再根據(jù)S”和%的關(guān)系S.ji = I勺=、C 即可求出4的通項(xiàng)公式；根據(jù)“=土 =(丁，可采取錯(cuò)位相減法求出也的前A項(xiàng)和Tn，然后代入7； - 2"-| = + 50得,冊 zr-/7-26 = 0,構(gòu)造函數(shù)/*) = 2*7-26(x21),利用其單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可判斷是否存在.【詳解】Sjl = 2(S”+l),eN.因?yàn)? = S = 1,所以可推出s” +1 > 0.故客 = 2,即sn+l為等比數(shù)列.S+l = 2，即 S=2l,當(dāng)22 時(shí)，q=S 一 Sz=

32、2'i, %=1 也滿足此 式,/、C F 12n(2)因?yàn)?quot;"一王一再，刀廣了 +了+訶1 n 今 “ + 2r =2 一 2一122;/ =最+最+奈兩式相減得:1 =提+$+ 即 1=4一竽，代入，2- + 5°,得2”一 26 = 0.令/(x) = 2、7-26gl), r(x) = 2'ln2 - l>0在,問1»)成立, /. /(x) = 2r-x-26, xe(l,K)為增函數(shù),而/(5) 4)<0,所以不存在正整數(shù)A使得7； 21 = + 50成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義的應(yīng)用以及其通項(xiàng)公式的求

33、法，錯(cuò)位相減法，構(gòu)造函數(shù)法，零點(diǎn) 存在性定理等的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20.九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在九章算 術(shù)中,將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(G&7而)；陽馬指底面為 矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(從6磔。)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在 塹堵ABC AMG 中，AB1AC.求證:四棱錐B -小田為陽馬;(2)若G。= BC = 2,當(dāng)鱉膈G - ABC體積最大時(shí),求銳二面角的余弦值.7 5.4-1 = 2,公比為 2【答案】（1）證明見解析；（2）匹.【解析】

34、（1）按照題目定義，只要證明A8_LjWACaA即可，而由AB_LAC即可證 出48_1面4。出；先根據(jù)基本不等式求出當(dāng)A8 = AC = V5時(shí).，鱉膈ABC體積最大，然后建立如圖所示的 空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法即可求出銳二面角c-a/-g的余弦值.【詳解】（1） 44_1_底面人8。，ABU 面 48c AjA ± AB乂A8_LAC, 4AAAC = A A8_LiffiACCM ,乂四邊形ACG4為矩形四棱錐B-AAcq為陽馬.（2） V ABLAC, BC = 2, ：. AB2 + AC2 =4又.AA_L底面ABC,%一般="C。，g A8 . AC1 .n

35、s 1 AB2+AC2 2= - AB AC <=3323當(dāng)且僅當(dāng)A3 = AC = 0時(shí)，匕-=g A8 AC取最大值V AB1AC, 44,底面 ABC以月為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系B（V2,0,0）, C（0,72,0）, 4（。，。，2）嘉=（五0,-2）,灰=（-立&,0）,而= （o,VIo）設(shè)面A18c的一個(gè)法向量“1 =a，y,a）Ill黑二:得淄（由）同理得% =（點(diǎn)。1）/ 小. cos （勺，%）=''I I I 小 I 51 二面角c-AB-g的余弦值為匹.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，以及向量法求

36、二面角的余弦值, 意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.21.給定橢圓C:1 +真=1稱圓心在原點(diǎn)。，半徑為病前的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓。的離心率W，點(diǎn)（2,VI）在。上.求橢圓，的方程和其“衛(wèi)星圓”方程；點(diǎn)尸是橢圓。的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線4, 4使得6，/“與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且4,分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)周可證明:弦長|四|為定值.【答案】二+ £ = 1, / + 丁 = 12 ;證明見解析.84c【解析】（1）根據(jù)題意列出“2再結(jié)合，/=+。2即可解出 =2點(diǎn)，b = 2,從而得到+ = la2 b2橢圓。的方程和其“衛(wèi)星圓”方程；（

37、2）根據(jù)乙，4分類討論，當(dāng)有一條直線斜率不存在時(shí)（不妨假設(shè)無斜率），可知其方程為 x = 2點(diǎn)或x = -2虛，這樣可求出|MN| = 4的；當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P5,%）與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為），=，6-%） + 為，與橢圓方程聯(lián)立，由 =（）可得44=2駕 = 土也0 = 7,所以線段MN應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑，即|m7| = 46, 64 8 茍64 8 玉；故得證.【詳解】c _ 1（1）由條件可得：a 24 2b+F=所以橢圓的方程為工+£=1, 84衛(wèi)星圓的方程為Y +），2=i2當(dāng)人，中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)6無斜率，因?yàn)?與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方

38、程為x = 20或x = -2立，當(dāng)6方程為x = 2&時(shí)，此時(shí)與“衛(wèi)星圓”交于點(diǎn)（2底,2）和（2晶-2）,此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)僅五2）（2虛,-2）且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是y = 2 或 y = -2,即為 y = 2 或 y = -2 ,工線段MN應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑,| = 45/3當(dāng)4，4都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)尸(務(wù)%),其中需+次=12,設(shè)經(jīng)過點(diǎn)%,九)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y = «x-xo) + %，y = fx+(yQ-txQ)則，X2 J F - = 1184消去y得到(1 + 2/卜2+4/(/0-5)工 + 2()，0-b()2-8 = 0,A =(64-8x；)J +16%卬 + 328丫： =0.一 _ 32 _8% _32 8(12一引64-8