高等數(shù)學(xué)：5-3 定積分的換元法和分部積分法

1、1第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法定積分的換元法 和分部積分法和分部積分法定積分的換元法定積分的換元法小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)定積分的定積分的分部積分分部積分法法definite integral by partsdefinite integral by substitution第五章第五章 定積分定積分2 上一節(jié)的牛上一節(jié)的牛萊公式將定積分的計算萊公式將定積分的計算的形式的形式,而不定積分可用換元法而不定積分可用換元法和分部積分法求積和分部積分法求積 , 這樣定積分的計算問題這樣定積分的計算問題已經(jīng)比較完滿地解決了已經(jīng)比較完滿地解決了.定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法

2、歸結(jié)為求不定積分歸結(jié)為求不定積分,如果將換元法和分部積分法寫成定積分如果將換元法和分部積分法寫成定積分?？墒沟糜嬎愠？墒沟糜嬎愀唵胃唵?3定理定理1則有則有 baxxfd)(定積分換元公式定積分換元公式假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)上上或或在在),(, )( t f )(t tt d)( 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法一、定積分的換元法,)(baCxf 函數(shù)函數(shù)滿足條件滿足條件:(1) (2) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域且其值域,baR definite integral by substitution ( )xt ( ),;ab 4證證,)(baCxf

3、因因為為),(xF xxfbad )( )(ddtFt 是是故故)(tF tttfd )()( )()(aFbF 故有故有 tttfxxfbad)()(d)( 則則由于由于 tttfxxfbad)()(d)( )(tF )()(ttf 的的)()(ttf N-L公式公式)()(aFbF N-L公式公式則則 )()( FF 所以存在原函數(shù)所以存在原函數(shù)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法原函數(shù)原函數(shù),)(t 5注注由于積分限做了相應(yīng)的由于積分限做了相應(yīng)的故積出來的原函數(shù)不必回代故積出來的原函數(shù)不必回代;求定積分的方法有兩種方法求定積分的方法有兩種方法: 可用可用N-L公式公式;從

4、換元的觀點從換元的觀點. tttfxxfbad)()(d)( (1),ab當(dāng)時換元公式仍成立換元公式仍成立;(2) 在定積分換元公式中在定積分換元公式中,改變改變,(3)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法6例例 解解 203dsin xx 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 xtcos ttd)1(2 01331tt 在用在用“湊湊”微分的方法微分的方法時時, 0 x32xtcos 1 t,2 x0 t不明顯地寫出不明顯地寫出下限就不要變下限就不要變.定積分的上、定積分的上、2 001新的變量新的變量 t ,注注定積分的換元法和分

5、部積分法定積分的換元法和分部積分法7或或 203dsin xxxxxdsinsin202 202cosd)cos1( xx203cos31cos xx 32 例例 )0(d022 axxaa解解原式原式2220cos dat t,sintax 令令2,0, 0 taxtx2201cos2d2tat241a 這是半徑為這是半徑為a的四分之一的圓的面積的四分之一的圓的面積.定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法.dcosdttax 8例例 解解 43)ln1(lndeexxxx原式原式 43)ln1(ln)(lndeexxx 43)ln1(ln)(lndeexxx 432)ln(1l

6、nd2eexx 43)lnarcsin(2eex .6 )ln(dx定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法xxlndln1219解解 aaxxax022)0(d1令令,sintax ax 2 t0 x0 tttaxdcosd 原式原式 ttcossin 20dcossinsincos121 ttttt 20cossinln21221 tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 20 tcostd tsintcos tsin 2110 幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分的

7、例子的例子. 換元積分換元積分例例 則則上上可可積積在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè),)(aaxf 證證 由于由于 aaxxfd)( 0d)(axxf對對, tx 令令 axxf0d)(由由被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化來確定變換來確定變換.通常通常 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(0a定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法作作變換變換,.ddtx 還可以證明一些定積分等式還可以證明一些定積分等式,11,ax , 0 x 0d)(axxf attf0d)(x利用這一結(jié)果計算利用這一結(jié)果計算:xexxd1cos44 22xexexxxd1cos1co

8、s40 則則;at . 0 t 0d)(attftx 令令 40dcos xx定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法.ddtx x aaxxfd)( axxf0d)( 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(a012可得可得: 由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和面積的代數(shù)和)也可得也可得.,)(上連續(xù)上連續(xù)在在當(dāng)當(dāng)aaxf 且有且有,)()1(為偶函數(shù)為偶函數(shù)xf則則 aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(為奇函數(shù)為奇函數(shù)xf則則 aaxxf0d)(定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 由由 aaxxfxfxxfd)()(d)

9、(a013 xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d412 00例例 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法20140 xxxd |1121212d(4 21)5xx53422222222dd11xxxxxxxx 038 xxxd |2 奇奇奇奇偶偶定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法11xxxxd12220224 211 .|dxxx 543222222 .d1xxxxxx15證證 (1)tx 2 例例 證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在若若, 1 , 0)(xf 2020;d)(cosd)(sin)1( xxfxxf 00,d)(si

10、n2d)(sin)2(xxfxxxf由此計算由此計算 02.dcos1sinxxxx設(shè)設(shè)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 20d)(cos ttf 20d)(cos xxf02 txdd 證畢證畢.0202(sin )dsin) ( dt)=2fxxft16定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法tx txdd 0d)(sinxxxf 0d)(sin)(ttft設(shè)設(shè) 0d)(sinxxxf.d)(sin20 xxf證證由此計算由此計算 02.dcos1sinxxxx 00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf 0d)(sinttf 0d)(sinttft

11、0 證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在若若, 1 , 0)(xf0 xx x() sin()dt ftt 17 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 說明說明:盡管盡管, 0cos1sin2 Cxxx 但由于它沒有但由于它沒有初等原函數(shù)初等原函數(shù),故此積分無法直接用故此積分無法直接用N-L公式求得公式求得.00(sin )d(sin )d2xfxxfxx定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法18.d)(d)(,)(0為任何常數(shù)為任何常數(shù)則則的周期的周期是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)如果如果axx

12、fxxfxfTTaaT 這個公式就是說：這個公式就是說： 周期函數(shù)在任何長為一周期的周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等區(qū)間上的定積分都相等.(留給同學(xué)證留給同學(xué)證)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法19例例 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求設(shè)設(shè)解解 法一法一,2tx 令令tx 2txdd e137 tt d )1(012 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法1 331(2)df xx11( )df tt10dtet20法二法二 )2(xf即即 , 2, 2, 54)2(22xexxxxfx 31d)2(xxf 1 3e13

13、7 , 02 x,)2(12 x, 02 x,)2( xexxxd)54(2 xexd2 22定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求設(shè)設(shè)21 xxttxtx020dsin1lim求求極極限限解解被積函數(shù)中除積分變量被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量外還含有變量x,故不能直接應(yīng)用對積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式故不能直接應(yīng)用對積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式,應(yīng)先作換元變換應(yīng)先作換元變換,uxt 令令,xut 則則0 t; 0 u.2xu xt xttxt0dsin.ddxut uuuxdsin20 xxxxx22sinlim220 1

14、 00分析分析02xxuusinxud 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法22001sin=limduxxuxu原式22定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法選擇題選擇題設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf連續(xù)連續(xù),則下列函數(shù)中則下列函數(shù)中,必為必為偶函數(shù)偶函數(shù)的是的是.d)()(02ttfAx .d)()(02ttfBx .d)()()(0ttftftCx .d)()()(0ttftftDx 分析分析 xttfx0d)()()( 0d)(ttfx x 2002年考研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(二二)選擇選擇3分分)(Attfxd)(02 )( xut ud x0utdd )(2uf )(

15、x 23定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法二、定積分的二、定積分的分部積分分部積分法法設(shè)設(shè))(),(xvxu上上在區(qū)間在區(qū)間,ba有有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則則 vuddefinite integral by parts定理定理2uv uvd由不定積分的分部積分法由不定積分的分部積分法abbaab及及N-L公式公式. bababauvuvvudd24例例 30d1arcsinxxx解解xxx 1arcsin334 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法uvd原式原式=30 30 xxxxd)1(2 xxxd)(1)(302

16、2 11 xd)arctan(xx 30 301xx25例例 解解 102d)2()1ln(xxx 10)1ln(x2ln 10)2ln()1ln(312lnxx 2ln31 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法1990年考研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(一一)計算計算5分分原式原式=u dx 21xx 2)1ln(10 xxxd112110 xd10 xx21113126例例 解解 21,dsin)(xtttxf設(shè)設(shè).d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx102)(21xfx 102)(d21xfx)1(21f 102d)(21xxfx無法直接求出無法直接求出),(xf所以所以

17、因為因為ttsin沒有初等原函數(shù)沒有初等原函數(shù),定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法分析分析被積函數(shù)中含有被積函數(shù)中含有“積分上限的函數(shù)積分上限的函數(shù)”,用用分部積分法分部積分法做做.u 10)(xf21選擇選擇積分上限的函數(shù)積分上限的函數(shù)為為.u 21dsin)(xtttxf 110)1( f22sin)(xxxf xx2sin2 x2 27 102dsin221xxx 1022dsin21xx102cos21x ).11(cos21 )1(21f 102d)(21xxfx定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 10d)(xxxf0)1( f)(xf xx2si

18、n2 注注今后也可將原積分化為二重積分計算今后也可將原積分化為二重積分計算.28例例 證明定積分公式證明定積分公式證證設(shè)設(shè),sin1xun ,dsindxxv xnun 2sin)1(d ,cos xv xxxxInnndcosdsin02 02 2020d)(cosd)(sin xxfxxfn為正偶數(shù)為正偶數(shù)n為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù),22143231 nnnn,3254231 nnnn,dcosxx nI2212200 sincos (1)sincosdnnxxnxx x J.Wallis公式公式十七世紀的英國數(shù)學(xué)家十七世紀的英國數(shù)學(xué)家 John Wallis 給出給出.定積分的換元

19、法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 29x2sin1 0)1( n21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止 20dsin xxInnxxnndsin)1(20 2 nI)1( nnI 200d xI 201dsin xxI因為因為,2 , 1定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 nI2212200 sincos (1)sincosdnnxxnxx x2 nn換成換成220(1)sindnnInx x30所以所以,21 nnInnI 4231nInnnn02143231Innnn 22

20、143231 nnnn21 nnInnI 4231nInnnn13254231Innnn 13254231 nnnn,12 nnInnI4223 nnInnI當(dāng)當(dāng)n為正偶數(shù)時為正偶數(shù)時,當(dāng)當(dāng)n為大于為大于1的正奇數(shù)時的正奇數(shù)時,定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法31例例 xxxxdsindcos20102010 2200dcosdsin xxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)上公式在計算其它積分時可以直接引用上公式在計算其它積分時可以直接引用. 注注 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分

21、部積分法54 7722006sindcosd7x xx x32 1 65 9710 843 21 2 32例例 xxxd42202 解解,sin2tx 令令 原式原式tttd)sin(sin162042 用公式用公式2cos2cos dtt tn為正偶數(shù)為正偶數(shù)22143231dsin20 nnnnxxn定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法0 2 t2sin402 d2cos dxt t33xxeedln)1(1 計算計算解解 xxeedln1用定積分的分部積分公式（先求用定積分的分部積分公式（先求不定積分如何？請試試）不定積分如何？請試試）e22 e11 e1xxdlnxxdln 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法34定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 bababauvuvvudd定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法