高等數學：D10_2.可分離變量的微分方程

1、轉化 可分離變量微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第十章 分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(則有恒等式 )(yG)(xF當G(y) 與F(x) 可微且 G(y) g(y)0 時, 說明由確定的隱函數 y(x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解, 或通積分.同樣,當F

2、(x)= f (x)0 時,上述過程可逆,由確定的隱函數 x(y) 也是的解. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數 )或說明說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初

3、始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數 )故所求特解為 1)0(y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu則yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數 )所求通解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習練習:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有ueu1積分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 為任意常數 )所求通解:Cyeyx)1(lnu

4、eeeuuud1)1 (機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據題意, 有)0(ddMtM00MMt(初始條件)對方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分:td)(已知 t = 0 時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5.成正比,求解解: 根據牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)

5、(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡, 得特解并設降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,)1 (tmkekgmvmgvk設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數關系. kmgv t 足夠大時機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 cm100例例6. 有高 1m 的半球形容器, 水從它的底部小孔流出,.cm12S開始時容器內盛滿了水,從小孔流出過程中, 容器里水面的高度 h 隨時間 t 的變r解解: 由水力學知, 水從孔口流出的流量為tVQddhgS262. 0即thgVd262. 0d求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數孔

6、口截面面積重力加速度設在d,ttt內水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhho機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 cm100rhhdhho對應下降體積hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解問題:hhhthgd)200(d262. 021000th將方程分離變量:hhhgtd)200(262. 0d2321機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 gt262. 0兩端積分, 得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始條件, 得5101514262. 0gC因此容器內水面高度 h 與時間 t 有下列關系:

7、)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhho機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個解 .例如, 方程分離變量后積分; 根據定解條件定常數 .解; 階;通解; 特解 y = x 及 y = C 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據幾何關系列方程 2) 根據物理規(guī)律列方程 3) 根據微量分析平衡關系列方程 (2) 利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解, 并根據定解條件確定特解. 3. 解微分方程應用題的方法和步驟機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分離變量(2) 方程變形為yxysincos2Cxysin22tanln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,0) 1 ,0(,1FCF 已知曲線積分與路徑無關, 其中求由確定的隱函數解解: 因積分與路徑無關 , 故有xFxFxsin