第四章 拉普拉斯變換1

1、第四章第四章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換4.1引言引言l本章分為兩部分。本章分為兩部分。l首先由傅里葉變換變換首先由傅里葉變換變換引出引出拉普拉斯變換，然拉普拉斯變換，然后對拉普拉斯后對拉普拉斯正變換正變換、逆變換逆變換及拉普拉斯變換及拉普拉斯變換的的性質(zhì)性質(zhì)進行討論。進行討論。l 其次介紹系統(tǒng)函數(shù)其次介紹系統(tǒng)函數(shù)H(s)及其及其零極點零極點概念，并概念，并根據(jù)它們的分布研究根據(jù)它們的分布研究系統(tǒng)特性系統(tǒng)特性，頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)，及，及系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。問題。l本章重點在于，以拉普拉斯變換為工具對系統(tǒng)本章重點在于，以拉普拉斯變換為工具對系統(tǒng)進行進行復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析。l在具體學(xué)習(xí)過程中要

2、注意與傅里葉變換的在具體學(xué)習(xí)過程中要注意與傅里葉變換的對比對比， 便于理解與記憶。便于理解與記憶。 l傅里葉變換傅里葉變換l優(yōu)點優(yōu)點: 具有明確的物理意義具有明確的物理意義l缺點：缺點：l只能處理符合只能處理符合狄利赫力條件狄利赫力條件的信號，信號的分析受到限的信號，信號的分析受到限制；制；l逆變換對頻率進行的無窮積分計算困難逆變換對頻率進行的無窮積分計算困難l拉普拉斯變換拉普拉斯變換l優(yōu)點：優(yōu)點：l擴大可變換的信號范圍擴大可變換的信號范圍l求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍；初始條件被自動計入，

3、因此應(yīng)用更為普遍；l缺點：物理概念不如傅里葉變換那樣清楚。缺點：物理概念不如傅里葉變換那樣清楚。 4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域拉普拉斯變換的定義、收斂域l本節(jié)內(nèi)容主要包括本節(jié)內(nèi)容主要包括l從傅里葉變換到拉普拉斯變換l拉氏變換的物理意義l拉氏變換的收斂域l一些常用函數(shù)的拉氏變換 l重點：拉氏變換的定義及收斂域 拉氏變換的定義拉氏變換的定義從傅氏變換到拉氏變換從傅氏變換到拉氏變換有幾種情況不滿足狄里赫利條件：lu(t)l增長信號l周期信號) 0( aeatl若乘一衰減因子 為任意實數(shù)，則 收斂，于是滿足狄里赫利條件tetetf).(tetu)()(.aeetattet1cost1cos一、從

4、傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換l1正變換正變換 對一般信號對一般信號 ，乘以衰減因子，乘以衰減因子 ，即，即 在在 的一定的取值范圍內(nèi)如的一定的取值范圍內(nèi)如 ，依據(jù)傅里葉變換的，依據(jù)傅里葉變換的定義，得定義，得( )f tte( )tf te()( )( )d ( )d ()ttjtjtFf tef t eetf tetFjs具有頻率的量綱，故被稱為復(fù)頻率。 ds tF sf t et令s= +j拉普拉斯正變換2逆變換逆變換 1d2tjtf t eFje d21tjejFtfdjdssj其中( )d( )ds所以 jj1d2js tf tF s es tf t eFjF

5、T拉普拉斯反變換)()(sFtfLT3拉普拉斯變換對拉普拉斯變換對 j1jd1d2js ts tF sL f tf t etf tLf tF s es 記作 f tF s逆變換的積分沿著平行于逆變換的積分沿著平行于j軸的一條直線進行軸的一條直線進行 jjs:采用采用0-系統(tǒng)，得到相應(yīng)的系統(tǒng)，得到相應(yīng)的單邊拉普拉斯變換：單邊拉普拉斯變換： j1j0d1d2js ts tF sL f tf t etf tLf tF s es 雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換 積分下限定義為積分下限定義為零的左極限零的左極限，目的在于分析，目的在于分析和計算時可以直接利用起始給定的和計算時可以直接利用起始給定的0

6、0- -狀態(tài)。狀態(tài)。拉普拉斯變換與傅里葉變換的區(qū)別：拉普拉斯變換與傅里葉變換的區(qū)別：FT: 時域函數(shù)時域函數(shù)f(t)頻域函數(shù)頻域函數(shù))(jF變量變量 t變量變量 LT: 時域函數(shù)時域函數(shù)f(t)復(fù)頻域函數(shù)復(fù)頻域函數(shù))(sF（變量（變量 t、 都是實數(shù)）都是實數(shù)）變量變量 t變量變量s (復(fù)頻率）復(fù)頻率） t（實數(shù)）（實數(shù)）(復(fù)數(shù)）復(fù)數(shù)） js即：即：傅里葉變換建立了時域與頻域之間的聯(lián)系；傅里葉變換建立了時域與頻域之間的聯(lián)系；拉普拉斯變換建立了時域與復(fù)頻域之間的聯(lián)系。拉普拉斯變換建立了時域與復(fù)頻域之間的聯(lián)系。(實頻率實頻率)控制衰減速度控制衰減速度二、拉普拉斯變換的物理意義二、拉普拉斯變換的物理

7、意義 jj1d2js tf tF s es F(s)為單位帶寬內(nèi)各諧波的合成振幅，是密度函數(shù)。s是復(fù)數(shù)稱為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)稱復(fù)頻譜。 0dcostF set 0jj011d()jd22ttttf tFjeeFeejj01jd2tttFeFjee 012cosd2teF st 0dcostF set連續(xù)和連續(xù)和 振幅振幅 余弦余弦 jjFF s ejjjtteee jjtsdsesFjtf21deejFtjt21002121deejFdeejFtjttjt三、拉普拉斯變換的收斂域三、拉普拉斯變換的收斂域 Cttftd| )(|e收斂軸收斂坐標(biāo)收斂區(qū)收斂區(qū)收斂域：收斂域：使信號的拉普拉斯變換存在的

8、使信號的拉普拉斯變換存在的S區(qū)域。記為區(qū)域。記為 ROC (region of convergence)。收斂域?qū)嶋H上就是信號存在拉普拉斯變換的條件。收斂域?qū)嶋H上就是信號存在拉普拉斯變換的條件。對任意信號對任意信號f(t) ，若滿足上式，則，若滿足上式，則 f(t)應(yīng)滿足應(yīng)滿足0e )(limtttf(0)0稱收斂條件0稱絕對收斂坐標(biāo)0S平面左半平面右半平面1雙邊拉氏變換的收斂域雙邊拉氏變換的收斂域信號l從時域看，只要 乘以收斂因子后，在 時，乘積函數(shù)皆為零即可，也就是為實數(shù)）,(00teteetttpptet 0limtttee0:則 0limtttee0:則顯然 雙邊拉氏變換不存在雙邊拉氏

9、變換存在若則收斂帶為因為js為一復(fù)平面（s Plane），則收斂域為 sRe2. 單邊拉氏變換的收斂域單邊拉氏變換的收斂域l例1： 02tetft解答： ttetflimttttteee22limlim002 02收斂坐標(biāo):0Cttftde| )(|0e )(limtttf或求收斂域即找出滿足的取值范圍。-22. 單邊拉氏變換的收斂域單邊拉氏變換的收斂域l例2： tutf解答：tte1lim0000 ttetu )(lim2. 單邊拉氏變換的收斂域單邊拉氏變換的收斂域l例3： 0)(tuetft000limlimttttteee2. 單邊拉氏變換的收斂域單邊拉氏變換的收斂域l例4： 2)(te

10、tf0limlim22ttttteee拉氏變換不存在拉氏變換不存在 三、拉普拉斯變換的收斂域三、拉普拉斯變換的收斂域3說明說明l不但要求出 ，還要標(biāo)出使得拉氏變換存在的收斂域l 增加了收斂的可能性，但不一定保證收斂, 在一定范圍內(nèi)可能使得 存在l前面的例1例3均滿足條件 ，稱 為指數(shù)階信號l實際中可能涉及的信號分為三大類： ,其中 在全s域存在拉普拉斯變換。 ( )F s tf teRe s( )BF s lim0ttf te f tpte nt u t nt nt三、拉普拉斯變換的收斂域三、拉普拉斯變換的收斂域4一般情況軸的帶狀區(qū)域所組成；平面內(nèi)由平行于在的jssF ROC)(. 12.對所

11、有拉普拉斯變換來說;ROC , ,)(平面就是整個那么并且是絕對可積的是有限長信號如果stf;: 斂軸右即右邊信號的收斂域在收;: 斂軸左即左邊信號的收斂域在收;: 即狀雙邊信號的收斂域為帶 ;),( ,. 3向唯一性即拉氏變換具有雙對應(yīng)相同的及收斂域相同tfsF4. 收斂域包含虛軸，F(xiàn)T和LT均存在。 )(0)(lim0ttetf收斂域收斂域 l有始有終信號和能量有限有始有終信號和能量有限信號信號l 或或等幅振蕩信號和增長信號等幅振蕩信號和增長信號 l不收斂信號不收斂信號除非除非00a0a0)0(,22 tteettjj整個平面以 為界0)0(Tt )()(tutu)(tu)(e3tutst

12、tuLsttt1dee)(e 0stuLt1)(e0jj1)(e0stuLt)j(1)(e00)j(00stuLt同理：00)(2ee)(cos00jj0tututtt20200)j1j1(21ssssL)(j2ee)(sin00jj0tututtt202000)j1j1(j21sssL00stuLtuLt1)(e lim)(00)Re(0s或) 0(1)(00ssedtetustst)(),()(ttntttLstde )()(01)Re(stttLstde )( )(00)e (ddtstsstttLstnnde )()(0)()(0)e (dd) 1(tstnnnsns)(0limsFs

13、ettt收斂域內(nèi)全可取任意值，令)0()()(00000tedtettttststttsnsttttutLstnstnstnnde)e (de )()(0100ttsnstnde01)(1tutLsnn根據(jù)以上推理,可得)(1)()(21tutLsnsntutLsntutLnnn)(12210tutLsssnsnsn0)Re(,!)(1ssntutnLn)Re(1 )(esstuLt)Re( 1)(esstuLt0)Re( j1 )(e0 j0sstuLt0)Re( j1 )(e0 j0sstuLt0)Re( )( cos202 0ssstutLRe(s) 1 )(Lt0)Re( )( sin

14、20200sstutLRe(s) )()(nLnst0)Re( 1 )(sstuL0Re(s) 1 )(2 sttuL0Re(s) ! )(1 nLnsntutRe(s) )(1 )(e2stutLt0202000Re(s) )( )( cose0sstutLt0202000Re(s) )(s )(sine0Ltttu0Re(s) )( )(cos22022020ssttutL0Re(s) )(2 )(sin220200ssttutL常用信號的拉氏變換常用信號的拉氏變換S1)(tuetas 1nt1!nsn)(t1)(0tt 0ste)(tu拉氏變換的幾點說明拉氏變換的幾點說明l考慮到信號f(

15、t)有起因，引出單邊拉氏變換。有起因，起因點卻不一定非要在t=0處，這是兩個不同的概念。l單邊拉氏變換和信號有起因也是兩個不同的概念。t0t00t)()()(tueLtfLtft拉氏變換實際上只對正邊信號做換，但它可以做單邊拉氏變本身是雙邊信號，t0 tf( )teu t()te utssF1)(10tf1(t)( )teu tf2(t)10tte10tf3(t)( )teu t()te ut0拉氏變換的幾點說明拉氏變換的幾點說明單邊拉氏變換是從零點開始積分的，因此t0區(qū)間的函數(shù)值與變換結(jié)果無關(guān)。如下三個函數(shù)可以有相同的單邊拉氏變換，但并不影響系統(tǒng)的分析。拉氏變換的幾點說明拉氏變換的幾點說明l

16、單邊拉氏變換的下限為0-，可以直接使用初始狀態(tài)，并且不漏掉沖激類函數(shù)。l拉氏變換是獨立的數(shù)學(xué)變換，物理意義由拉氏變換分析系統(tǒng)的物理意義而確定，用途很廣泛。l注意傅氏變換和拉氏變換的實際差別。 例： 1d0tettLst Letft 廣義傅氏變換的推廣函數(shù)要求很嚴(yán)格古典傅氏變換運算規(guī)律直線上積分限在平行于虛軸的軸積分，沿反變換無差別正變換運算關(guān)系:L : 11jF4.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)l主要內(nèi)容主要內(nèi)容l線性 l時移性l頻移特性l尺度變換特性l卷積定理 l時域微分性質(zhì) l時域積分性質(zhì)l復(fù)頻域微分 l復(fù)頻域積分l初始值定理 l終值定理 l重點重點 l卷積定理l時域微分特性l時

17、間積分性質(zhì)l難點難點l時移性l初始值定理4.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)1111),()(sFtf2222),()(sFtf若 則 )()()()(22112211sFCsFCtfCtfC2121,min,max（21,CC為任意常數(shù)）如：正弦余弦信號的拉氏變換如：正弦余弦信號的拉氏變換4.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)0)Re()()(ssFtfL0)Re()0()(d)(dsfssFttfL0ded)(dd)(dtttfttfLsttstftfststd)e)(e )(000de )()0(ttfsfst)0()(fssF4.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)重

18、復(fù)應(yīng)用微分性質(zhì)，求得：)0( )0()(d)(d222fsfsFsttfL)0(.)0( )0()(d)(d121nnnnLnnffsfssFsttf101)0()(nrrrnnfssFs若f(t) = 0, t 0矩形周期信號拉氏變換)2()()(1Ttututf)1(11)()(21STSTSTeSeesFsF)1 (1)(21STeSsF第一周期的拉氏變換利用時移特性利用無窮級數(shù)求和抽樣信號的拉氏變換抽樣信號的拉氏變換0)()(nTnTttSTnSnTTees11)(0)()()(ttftfTs0)()(nSnTsenTfsF抽樣序列抽樣序列的拉氏變換時域抽樣信號抽樣信號的拉氏變換)0(

19、 )0()(d)(d222xsxsXsttxL)(2sXsss2ee2122ee21)(ssXss)Re(s試求如圖所示信號的單邊Laplace變換。利用拉氏變換的微分特性,可得試求如圖所示信號的單邊Laplace變換。)()()(11txtxtx211)e1()()()(ssXsXsXs)Re(s對x(t)表達為) 1()()(1tututxssXse1)(1)Re(s利用拉氏變換的卷積特性,可得stuL/1)(拉氏變換位移特性拉氏變換位移特性22ee21)(ssXss)Re(s試求如圖所示信號的單邊Laplace變換。)2() 1(2)()(trtrtrtx 1 )(2 strL將x(t)

20、用基本信號表達為利用拉氏變換的位移特性和線性特性,可得0)Re(s已知求x(t)的初值和終值。1,1)(sssX1)(lim)0(1ssXxs0)(lim)(0ssXxsX(s)不是真分式，x(t)在t=0包含沖激，不能直接應(yīng)用初值定理sX(s)的收斂域包含j軸，直接應(yīng)用終值定理可得1111)(ssssX對X1(s) 應(yīng)用初值定理可得將X(s) 改寫為X1(s)4.4 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換l主要方法:l(1)部分分式法l(2)留數(shù)法回線積分法l(3)數(shù)值計算方法利用計算機l著重介紹部分分式法求拉氏逆變換的過程以及一種特殊情況的處理l重點 部分分式法求拉氏逆變換的過程l難點 部分分式展開

21、法情況之三：高階極點 jjde )(j21)(ssFtfst一、一、 拉普拉斯逆變換的一般過程拉普拉斯逆變換的一般過程1. F(s)的一般形式的一般形式 a,b為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm當(dāng) sFnm , 為有理真分式當(dāng)拉普拉斯變換為有理函數(shù)時，可以利用當(dāng)拉普拉斯變換為有理函數(shù)時，可以利用部分分式部分分式將其展開。將其展開。)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsFmzzzz321, 0sA sF是的根，稱為的零點0)(0)(sFsAnpppp321, 0sB sF是的根，

22、稱為的極點)(0)(sFsB sF將將 分子分母分別進行因式分解：分子分母分別進行因式分解：01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm2拉氏逆變換的過程拉氏逆變換的過程l找到找到 的極點的極點l將將 展成部分分式展成部分分式l查拉氏變換求查拉氏變換求 sF sF tf1 tes 采用部分分式展開法求X(s)的反變換。0)Re(342)(23ssssssXX(s)為有理真分式，極點為一階極點。) 3)(1(2)(sssssX31321sksksk31) 3)(1(2)(321ssksskksssssX將上式兩端同時乘以s可得32) 3)(1(2)(001

23、sssssssXk令s=0，上式右端只有k1項不等于零，所以采用部分分式展開法求X(s)的反變換。0)Re(342)(23ssssssX同理可求出) 3)(1(2)(sssssX36/112/13/2sss21) 3(2)() 1(112ssssssXsk61) 1(2)() 3(333ssssssXsk)(e61)(e21)(32)(3tutututxtt由此可得對上式進行拉氏反變換可得采用部分分式展開法求X(s)的反變換。1)1()1()(423321sksksksksX2) 1(2)(0301ssssssXk32)() 1(1132sssssXsk0)Re() 1(2)(3sssssXX

24、(s)有1個3階重極點將式兩端同時乘以(s+1)3可得令s= 1， 式右端只有k2項不等于零，所以2432313)1()1()1()()1(skskkssksXs采用部分分式展開法求X(s)的反變換。2)2(d)() 1(d1133ssssssXsk2)2(21d)() 1(d211 12324ssssssXsk)()e2e2e232()()(21tuttsXLtxttt0)Re() 1(2)(3sssssX對式求一階導(dǎo)數(shù)，再令s= 1可得2432313)1()1()1()()1(skskkssksXs對式求二階導(dǎo)數(shù)，再令s= 1可得12) 1(2) 1(32)(23sssssX采用部分分式展

25、開法求下列X(s)的反變換。X(s)為有理假分式，將其化為有理真分式0)Re(3421113)(2324ssssssssXssssssX3424)(23)(4)( )(tttx)(e61)(e21)(323tutututt利用例1計算結(jié)果，以及1)(,)( LLtst可得01110111)()()(bsbsbsasasasasBsAsFnnnmmmm F(s)為( m n)，極點為)()()()()()(21npspspssAsBsAsFnnpskpskpsk2211nisFpskipsii, 2 , 1)()()()eee()(2121tukkktftpntptpn特殊：包含共軛復(fù)數(shù)極點特殊

26、：包含共軛復(fù)數(shù)極點)()()(22ssDsAsF設(shè)：設(shè)： )()()(21mpspspssD其中：其中： mmpsKpsKpsKsBAssF221122)()(則則 其中：其中：()( ),iiispKsp F s1,2,im,A B 由待定系數(shù)法求出。由待定系數(shù)法求出。00220sin()tets 22)(cosasasteat同理： F(s)為( m n)，極點為)()()()()()()(11nrrpspspssAsBsAsFnnrrrrrpskpskpskpskpsk11111211)()(risFpssikpsriii,2, 1)()(dd)!1(11111)(e)(e)!()(11

27、11tuktutirktftpnriitpirrii01110111)()()(bsbsbsasasasasBsAsFnnnmmmm F(s)為( m n)()()()()(110sBsNsBsBBsBsAsFnmnm)()(1sBsN為，根據(jù)極點情況按或展開。)(00tBBL)(11tBsBL)()(tBsBnmnmLnm01110111)()()(bsbsbsasasasasBsAsFnnnmmmm例例4-8：求下列函數(shù)的逆變換求下列函數(shù)的逆變換)3)(1()5)(2(10)(ssssssF解：解：將將F(s)展開成展開成部分分式形式部分分式形式312( )13KKKF ssss分別求分別

28、求K1,K2,K33100)(01sssFK21(1) ( )20sKsF s 3310(3) ( )3sKsF s ) 3( 3101203100)(ssssF)()310203100()(3tueetftt32597( )(1)(2)sssF sss例：212)2)(1(32)(21sKsKssssssF1, 221KK)()2()(2)()(2tueetttftt對于對于m n的情況的情況21122)(,ssssF所以例4-9 sF tf t注意注意：為非真分式時，含及其導(dǎo)數(shù)項。 例例4-10：求函數(shù)的逆變換求函數(shù)的逆變換)2)(52(3)(22sssssF解解：4) 1(24) 1)(

29、2(3)(2122sBAssKssssF57)()2(21ssFsK4) 1)(2()(2()52(574) 1(257)(222ssBAsssssBAsssF4) 1)(2(27)2514()57()(22ssBsABsAsF4) 1)(2(27)2514()57()(22ssBsABsAsF)2)(52(3)(22sssssF上兩式的分子應(yīng)相等，即上兩式的分子應(yīng)相等，即22714()(2 )72355A sBA sBs71514205723ABAB2,52BA解之得：解之得：)()2sin542cos5257)(2tuteteetfttt4) 1(2522574) 1(257)(22sss

30、sBAsssF4) 1(254) 1(522572sssF(s)特殊情況特殊情況含含 的非有理式的非有理式l 項不參加部分分式運算，求解時利用時移性質(zhì)sese【例】 已知 ssesFssse2122)(52，求其逆變換。解解： 4) 1(14) 1(14) 1()(2221ssssssF)(2sin212cos)()(111tutetesFLtftt)(2sin2cos221tuttet0)()(0stesFttfsesFLtf211)()( )2()2(2sin)2(2cos221)2(tuttetft方法二方法二(適于計算機求解）適于計算機求解）nnpskpskpsksBsAsF2211)

31、()()(ips ips sB當(dāng)時，及均為零， 的不定式將成為00)()()(sBsApsi)()()(limsBsApskipsii由羅必塔法則，得iipsipsisBsAsBsAsApsk)()()()()()(limipsnistjjstesFdsesFjtf1)(Res)(21)(iipsstkikkpsstesFpsdsdkesF)()()!1(1)(Res11若 為 k 階極點，則ip若 為 一 階極點，則ipiipsstipsstesFpsesF)()()(Res方法三：方法三：留數(shù)法留數(shù)法信號的復(fù)頻域分析實質(zhì)是將信號分解為。信號的復(fù)頻域分析使用的數(shù)學(xué)工具是。利用基本信號的復(fù)頻譜

32、和拉普拉斯變換的性質(zhì)可對任意信號進行復(fù)頻域分析。復(fù)頻域分析主要用于的分析。求下列X(s)的反變換。)4(e1)()3(22sssXs)4(31)()2(22sssX22)4(8)()1 (sssX)(e24)(e8)()(44tututttxtt(1)X(s)不是真分式，且有1個2階重極點(2)X(s) 有1個2階重極點和一對共軛極點，為計算簡便令s2=q, )4(31)(qqsX則)4(3121qkqk)4(4141(3122ss)()2sin21(121)(tutttx(3)X(s)不是有理分式，將其表示為)4(e)4(1)(222sssssXs)()2cos1 (41)(1tuttx)2

33、()2(2cos1 41)(2tuttx4.5用拉普拉斯變換法分析電路用拉普拉斯變換法分析電路l步驟步驟1.列列s域方程域方程（可以從兩方面入手可以從兩方面入手）；）；l列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；l直接按電路的直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程；域模型建立代數(shù)方程；1.求解求解s域方程域方程 得到時域解答。得到時域解答。l兩種方法兩種方法l微分方程的拉氏變換微分方程的拉氏變換l元件的元件的 s 域模型域模型 ( )( )F sf t一、微分方程的拉氏變換一、微分方程的拉氏變換時域微分方程時域微分方程時域響應(yīng)時域響應(yīng)y(t)s域響應(yīng)域響應(yīng)Y(s

34、)單邊拉氏變單邊拉氏變換換拉氏反變換拉氏反變換解微分方程解微分方程解代數(shù)方程解代數(shù)方程s域代數(shù)方程域代數(shù)方程例：例：已知已知22( )( )( )56 ( )28 ( )d y tdy tdx ty tx tdtdtdt( )( ),tx te u t起始條件為：起始條件為：(0 )3,(0 )2,yy求求 y(t)解：解： 對微分方程兩邊取拉氏變換：對微分方程兩邊取拉氏變換：)()82()(6)0()( 5)0()0()(2sXssYyssYysysYs22( )( )28(5) (0 )(0 )( )( )5656zsziYsYsssyyY sX sssss 22( )( )28(5) (

35、0 )(0 )( )( )5656zsziYsYsssyyY sX sssss 116582)(6582)(22sssssXssssYzs28341(1)(2)(3)123sssssss)()43()(32tueeetytttzs22(5) (0 )(0 )317118( )235656zisyysYsssssss118( )23ziYsss23( )118ttziytee)0( t23( )( )( )(377)tttzsziy tytyteee)0( t例例4-13：下圖所示電路，當(dāng)下圖所示電路，當(dāng)t0時，開關(guān)時，開關(guān)S位于位于“1”端，電路的狀態(tài)端，電路的狀態(tài)已穩(wěn)定，已穩(wěn)定，t = 0時

36、時S從從“1”端打到端打到“2”端，分別求端，分別求vC(t)與與vR(t)。2+- E+-E1v1(t)+-+-Cvc(t)R+-vR(t)S解：解：EvvCC)0()0(0)0(RvEvR2)0(一、求一、求vC(t)（1）列寫微分方程）列寫微分方程EtvdttdvRCCC)()(（2）取拉氏變換）取拉氏變換sEsVvssVRCCCC)()0()(（3）求）求VC(s)的逆變換的逆變換)121()1()1()(RCssERCsssRCEsVC)()21 ()(tueEtvRCtCvc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S2EvvCC)0()0(二、求二、求vR(t)系統(tǒng)）系統(tǒng)）0(00()(2)(1tEdttdvtv1(t)E-Evc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S20)0(RvEvR2)0(（1）11( )( )( )RRvdvtvtRCdttdvtv