上三角矩陣代數(shù)

1、上三角矩陣代數(shù)摘 要本文主要研究上三角代數(shù)的性質(zhì)及其與路代數(shù)的關(guān)系，建立了上三角代數(shù)與有向圖的路代數(shù)的同構(gòu)映射.定義了可上三角化代數(shù)和上三角化矩陣，是所有形如的矩陣的集合所形成的代數(shù)（它的結(jié)合法是矩陣的加法和乘法），其中，且可逆，稱為的上三角化矩陣.初步探討了的子代數(shù)是否是可上三角化代數(shù)，若是可上三角化代數(shù)，其上三角化矩陣是否唯一.具體討論了n=2的情況，最終由的可上三角化子代數(shù)的個數(shù)有限得出至少有一個可上三角化代數(shù)的上三角化矩陣不唯一地結(jié)論.關(guān)鍵詞：上三角矩陣代數(shù)，有向圖，路代數(shù)，可上三角化代數(shù)，上三角化矩陣HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRASABSTRACTI

2、n this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras and upper triangulable matrix are defined and s

3、tudied. consisting of all matrices like(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them ，and is reversible. we call is the upper triangulable matrix of . We also discuss whether the subalgebra of is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a

4、upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of which its upper triangulable matrix is not unique .KEY WORDS: upper triangle matrix algebras，quivers，

5、path algebras，upper triangular matrix algebras，upper triangulable matrix 目錄前言1第一章 預(yù)備知識3§1.1 群3§1.2 環(huán)4§1.3 體5§1.4 模6§1.5 代數(shù)7§1.6 同構(gòu)映射7§1.7 有向圖與路代數(shù)8第二章 上三角矩陣代數(shù)9§2.1 上三角矩陣9§2.2 上三角矩陣代數(shù)9§2.3 上三角矩陣代數(shù)與路代數(shù)的同構(gòu)10第三章 可上三角化代數(shù)14§3.1 可上三角化矩陣14§3.2 可上三角化

6、代數(shù)結(jié)論17參考文獻18致 謝20前言代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系與結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)分支。代數(shù)的研究對象不僅是數(shù)字，而是各種抽象化的結(jié)構(gòu)。常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)類型有群、環(huán)、域、模、線性空間等。代數(shù)學(xué)一直是數(shù)學(xué)的主要支柱之一，是數(shù)學(xué)方法和思想的重要源泉代數(shù)方法和結(jié)果具有廣泛適用性。表示理論是代數(shù)學(xué)中具有根本性的問題，是當前國際上數(shù)學(xué)研究的前沿重點課題，在數(shù)學(xué)的其它分支，量子物理與粒子物理學(xué)以及化學(xué)等其它學(xué)科中有深刻而廣泛的應(yīng)用。代數(shù)表示理論是興起于上世紀70年代的一個重要的代數(shù)分支。它的基本內(nèi)容是研究一個Artin代數(shù)上的模范疇。在近二十五年的時間里，這一理論有了很大的發(fā)展并逐步趨于完善。代數(shù)表示理論主要研究非

7、半單有限維(亦包括若干無限維)代數(shù)的結(jié)構(gòu)、不可分解表示和模范疇的整體構(gòu)造它所關(guān)心的根本問題是一個系統(tǒng)(代數(shù)系統(tǒng))在對外部空間(向量空間)作用下的表示行為。研究中遇到的最大問題是：一個相對簡單的代數(shù)系統(tǒng)卻有著相當復(fù)雜，深刻但很優(yōu)美的表示范疇。目前，有限維代數(shù)表示論被分成三大塊：有限表示型， Tame表示型和野(wild)表示型 30年來，由于Quiver表示，幾乎可分裂序列和傾斜函子等獨特技巧和方法的創(chuàng)立，也由于它和群表示論， Lie代數(shù)，代數(shù)群，代數(shù)幾何等的緊密聯(lián)系，特別是近年與量子群等新興學(xué)科的本質(zhì)聯(lián)系，代數(shù)表示論一直處于蓬勃發(fā)展中。用箭圖刻畫代數(shù)及其表示有多種方法。一種方法是Gabriel

8、箭圖。這是最常用的一種。我們要具體畫出各種類型的有限表示型代數(shù)的Gabriel箭圖。它可以直觀清晰地刻畫代數(shù)的模范疇結(jié)構(gòu)。對于有限表示型代數(shù)，由于 Gabriel等人完善了覆蓋理論(源于代數(shù)拓撲)，最主要的問題已經(jīng)解決根據(jù)有限表示型代數(shù)的乘法基定理，可推出任意給定維數(shù)的有限表示型的代數(shù)僅有有限多個同類。本項目運用已給結(jié)論，刻畫各類有限表示型代數(shù)。具體繪制其Auslander-Reiten箭圖。 第一章給出文章所要用到的基本概念，包括群，環(huán)，體，模，代數(shù)，有向圖，路代數(shù)以及同構(gòu)等概念。第二章給出了上三角代數(shù)的定義，并作出了上三角代數(shù)與路代數(shù)的同構(gòu)映射。第三章給出可上三角化代數(shù)以及上三角化矩陣的概

9、念，并討論了上三角化代數(shù)的一些性質(zhì)第一章 預(yù)備知識 §1.1 群 定義1.1.1設(shè)G是一個非零集合，并且滿足下列四個性質(zhì)（1）封閉性：若“ ”是G上的一個代數(shù)運算，G中任意兩個元素a,b的結(jié)合 仍然是G中的元素。例如最常出現(xiàn)的就是乘法，這時c又叫做a,b的積，我們可以簡單地用ab=c表示。值得注意的是積ab是由a,b唯一確定的，但一般與a,b的先后順序有關(guān)，即ab并不一定等于ba。（2）結(jié)合律：即對G中任意的三個元素a,b,c有如下關(guān)系 （3）存在單位元：對于G中的任意元素a，在G中可以找到一個元素e，使e·a=a，則該e叫做G的單位元。群G的單位元是唯一的（4）存在逆元：

10、對于G中的每個元素a，存在元素b，使，則b叫做a的逆元。每個元素的逆元都是唯一的，G中元素a的逆元通常寫為。 則稱G關(guān)于運算“ ”構(gòu)成一個群，記作（G,·），在不致引起混亂的情況下，也稱G為群 注：1，從以上可以看出，群是一個二元組（G,·），其中G是一個集合，“ ”是二元運算，通常為乘法。 2，一個非空集，如果它滿足上面條件1,2，我們叫它為半群。一個群如果滿足交換律，即對任意的a,bG有 該群叫做交換群或者阿貝爾群。 3，群G中元素的個數(shù)稱為群G的階，記為|G|,如果G是有限數(shù)，則稱G為有限群，若G為無限數(shù)，則稱G為無限群。 我們知道半群和群都是一個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)，

11、因此它們概括了很多的二元系統(tǒng)。為了對群這個概念有更深層次 的理解，下面給出一些常用群的例子。 例如，整數(shù)集Z對加法成群，叫做整數(shù)加群，記為（Z，+），單位元為零。逆元是它的相反數(shù)。同理還有（Q,+），（R,+）,(C,+),分別叫做有理數(shù)加群，實數(shù)加群和復(fù)述加群。所有正有理數(shù)對乘法成群，記為（Q，），單位元是1，逆元是它的倒數(shù)。有理數(shù)集對加法成群，單位元是零，但對乘法只是成半群，因為零沒有逆元。以上都是一些常用的簡單的群 ，我們也可以自己定義一些群。譬如，所有形如（a,b）的元素集合M,其中a,b都是實數(shù)，并且a不等于零，定義以下運算 那么M關(guān)于以上運算成群，（1,0）是單位元，（a,b的逆元

12、是 設(shè)n是大于1的正整數(shù)，M（R）表示實數(shù)域上所有n階矩陣的集合，則（M（R），·）是半群，這里·表示矩陣乘法，但不是群，因為不是每個n階矩陣都有逆矩陣。但由實數(shù)組成的所有n階滿秩矩陣對乘法成為群，叫做實數(shù)域R上的n階線性群，簡稱線性群，其單位元是單位矩陣（主對角線上元素都為1其余元素全為0的矩陣），逆元是其逆矩陣。 在研究一個群時，如果群中的部分元素就可以代表整個群中元素的性質(zhì)，那么就會減少研究對象的數(shù)量，給我們的工作帶來很大的方便，大大地提高了工作效率。因此子群是一個很重要的概念，群的全部內(nèi)容大多都與子群有關(guān)。 定義1.1.2設(shè)G是群，H是G的非空子集，假如對于G中的運

13、算仍然構(gòu)成群，則稱H為G的子群，記作HG，若H是G的子群，并且HG，則稱H是G的真子群（即異于自身的子群），記作H<G.。 例如nZ（n是自然數(shù)）是整數(shù)加群的（Z，+）的子群，當n1時，nZ是Z的真子集。 任何群都存在子群，群可以看成是自身的子群，任一個群有只由單位元組成的單位元群也是它的子群，群本身和它的單位元群稱為G的平凡子群，其余的子群稱為非平凡子群。一個群中任意兩個子群的交集仍然是一個子群，但任意兩個子群的并集不一定是子群，§1.2 環(huán) 環(huán)是具有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)，定義如下；定義1.2.1：一個非空集合R，假如它有兩種二元運算，一種叫做加法(用符號+表示)，一種叫做

14、乘法(用符號表示)，如果滿足以下條件，則稱（R，+，·）是一個環(huán)。（1) 對于加法稱為交換群，即（R，+）構(gòu)成交換群（阿貝爾群）；（2) 對于乘法稱為半群，即（R，·）構(gòu)成半群；（3) 乘法運算關(guān)于加法運算適合分配律，即對于R中的任意三個元素，有，.注；1，從上面可以看出環(huán)是一個三元組(R，+， )，其中R是一個非空集合，加法“+”和乘法“” 是兩個二元運算，其中（R，+）是一個交換群，（R，）是一個半群，且 運算關(guān)于+運算適合分配律。 , 2，若環(huán)中乘法 適合交換律，即對所有的， R有，則稱R是交換環(huán).。, 3，類似于群，元數(shù)是有窮的環(huán)，叫做有窮環(huán).，否則叫無窮環(huán). 下面

15、給出一些常用環(huán)的例子；（1）整數(shù)集，有理數(shù)集，實數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實數(shù)環(huán)R和復(fù)數(shù)環(huán)C。（2）n（n2）階實矩陣的集合關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，稱為n階實矩陣環(huán) 在R的子集S上，假如對R的兩種運算又形成環(huán)，那么S就叫做R的子環(huán)，R又叫做S的擴張環(huán).。環(huán)的一個子集稱為子環(huán)，只要它對于加法成群，對于乘法是閉合的就行，因為其他條件顯然都適合。.環(huán)可以看成是自身的子環(huán)，異于自身的子環(huán)叫做真子環(huán).§1.3 體定義1.3.1：定義一個環(huán)F，假如含有非零的元素，即至少包含兩個元素，并且所有非零的元素對乘法構(gòu)成群，則F就稱為體，有時又叫做可除環(huán)。.

16、當F可交換時，又叫交換體，或者叫做域.從而我們可得，體有加法，乘法兩種運算，并且所有元素對加法成交換群，所有非零元素對乘法成群，但不一定是交換群。體是一種特殊的環(huán)，它是非零元素可以構(gòu)成群的環(huán)，它滿足環(huán)的所有性質(zhì)和運算法則。.還可以看出一個體F至少包含兩個元素，一個是加群的零元，一個是乘群的單位元，每個非零的元素都有逆元。§1.4 模 定義1.4.1：假如V是一個加群（代數(shù)運算為加法），它的元素用 表示，F(xiàn)是體(但不一定是域)，它的元素用表示。如果，的乘積滿足下列各性質(zhì)；：（1) V，（2），（3),（4),（5) ,其中是F的單位元.那么V就叫做F的(左)向量空間，有時又簡單地叫做F

17、空間 注：向量是特殊的群，群乘法就是向量的加法,而且是可交換的,也就是說向量空間一定是阿貝爾群，向量空間上除了這個乘法或者說加法以外還有和數(shù)的點乘,所以說向量空間是特殊的群。 假定是F的向量空間V中的元素，如果F中存在個不全是零的元素使成立那么稱，關(guān)于F線性相關(guān)；如果不存在這樣的，即上面式子的等號只有在，都是零的時候才取的，那么稱，關(guān)于F線性無關(guān).類似于線性空間，假定V是F空間，如果V中線性無關(guān)元素的個數(shù)有最大數(shù)，那么V是關(guān)于F是有限維空間。相應(yīng)地這個最大數(shù)，就叫做V關(guān)于F的維數(shù)，如果V中線性無關(guān)元素的個數(shù)沒有最大數(shù)，那么V就叫做關(guān)于F是無窮維空間。假定，是F的向量空間V中的元素，如果V中任意

18、元素可以用，中有限個元素的線性組合表示，那么上述有限個元素叫做V關(guān)于F的生成元。特別地，V關(guān)于F線性無關(guān)的生成元，叫做V關(guān)于F的基底。若，是V關(guān)于F的基底，我們可以用如下形式表示VV=這時V中任意元素都能夠表示為，的線性組合，并且這種表示形式是唯一的。定義1.4.2：假定M是加群，R是環(huán)，如果M中元素與R中元素的乘積仍在M中，并且還滿足下列三個條件， （1），（2），（3）. 那么M就叫做(左)R-模?？傻茫現(xiàn)-向量空間V是F-模，假定環(huán)R有單位元，并且，那么R-模M叫做酉模。§1.5 代數(shù)在數(shù)學(xué)中，交換環(huán)上的代數(shù)或多元環(huán)是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，上下文不致混淆時通常徑稱代數(shù)。定義1.5.1：

19、設(shè)R為一交換環(huán)，R上的代數(shù)（或稱A-代數(shù)）是下述結(jié)構(gòu)：（1）集合A是個R-模；（2）A上有一個二元運算“” ，并且這個二元運算是雙線性的，即：對任何成立其中最?？紤]的情形是R是一個域，這時叫做域代數(shù)，因此也可將代數(shù)定義成域上的代數(shù)代數(shù)是一類特殊的環(huán)，代數(shù)與環(huán)的主要差別在于它們的加群，環(huán)的加群只是交換群，而代數(shù)的加群是F-模并且是酉模.若A上的乘法滿足交換性，則稱之為可交換代數(shù)；若A上的乘法滿足結(jié)合律，則稱之為'''結(jié)合代數(shù)'''，否則稱為“非結(jié)合代數(shù)”。上面我們介紹的代數(shù)，因為滿足乘法結(jié)合律，所以我們又常常稱它為結(jié)合代數(shù)。非結(jié)合代數(shù)雖然對乘法也是

20、封閉的，但不再是環(huán)了。交換代數(shù)學(xué)中考慮的代數(shù)均屬可交換的結(jié)合代數(shù)。§1.6 同構(gòu)映射定義1.6.1：存在E和F兩個集合，且對于E、F各存在一種運算，我們可以記作（符號可更換）*和 ，對于E、F，*、· 分別封閉（即對于任意兩個集合內(nèi)的元素，進行運算之后依然為該集合的元素）。那么我們說f是一個同構(gòu)當且僅當f（E,F）并且f是一個雙射且對于E內(nèi)的任意元素a，b都成立。如果上面所描述的E、F為同一集合E，則說f是一個自同構(gòu)。常見的同構(gòu)有：群同構(gòu)，環(huán)同構(gòu)，域同構(gòu)，向量空間同構(gòu)。 注：同構(gòu)是在數(shù)學(xué)對象之間定義的一類映射,它能揭示出在這些對象的屬性或者操作之間存在的關(guān)系。若兩個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

21、之間存在同構(gòu)映射，那么這兩個結(jié)構(gòu)叫做是同構(gòu)的 引入：如果V，都是數(shù)域P上的線性空間，如果映射：具有以下性質(zhì)：（1） 為雙射（2） , (3) , 則稱 是V到的一個同構(gòu)映射，并稱線性空間V和同構(gòu)。 定義1.6.2：假設(shè)集合與各有代數(shù)運算和:*，并且是到的一個映射，如果對中任意元素，在之下滿足以下條件:；，,或者 則稱是到的一個同態(tài)映射。. 如果到存在同態(tài)滿射，則稱到同態(tài),記. 設(shè)是到的一個同態(tài)滿射，如果又是單射的，那么稱為到的一個同構(gòu)映射.，可以看出同構(gòu)映射是一一映射的。§1.7 有向圖與路代數(shù)引入：有向圖是一個二元組，其中（1）.V是非空集合，稱為頂點集。（2.）E是V×

22、V的子集，稱為箭頭集定義1.7.1：一個有向圖是=(V，E，)其中V和E是兩個集合(可以有限也可以無限)，V是的頂點集，E是的箭頭集，是從E到V的一個映射.對每一個箭頭,分別稱為的起點和終點.如果集合V和E是有限維的，則稱有向圖是有限維的。 若箭頭的起點和終點分別表示為=，=，那么可表示為：.圖通?？珊営洖榛?稱=為有向圖Q的一個長度為的路.，其中對有并且滿足 ， 也可簡寫為或表示為如下圖形形式： .可將V中的頂點看成一個長度為的路并記為：.一個從到得到的長度大于1的路稱為循環(huán)路，長度為1的有向圈稱為有向環(huán).定義1.7.2：給定域，有向圖的路代數(shù)是指域上的結(jié)合代數(shù)：（1）是由中的所有路為基作成

23、的-向量空間；（2）乘法是由路之間的乘法按分配律給出，兩個路的乘法規(guī)定如下：，其中當時=1，當是=0.第二章 上三角矩陣代數(shù)§2.1 上三角矩陣定義2.1.1矩陣的定義 有個數(shù) 排成的行列的數(shù)表 稱為矩陣，記作 簡記為 其中一類特殊的矩陣如下： 形如上述形式的矩陣叫做上三角矩陣，它的特點是主對角線左下方的元素全為0. §2.2 上三角矩陣代數(shù)設(shè)K是一個代數(shù)封閉域，A是K代數(shù)，則分量是A中元素的矩陣全體組成的集合，它關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成為一個代數(shù)。的單位元是主對角線全部是A的單位元其他元素全是A的零元的矩陣，記為E=.特別的有是維K代數(shù)，矩陣是的一組基，其中的的元素是K的

24、單位元1，其他元素都是K的零元0的矩陣.容易驗證的子集 是的一個K-子代數(shù)，其中是中主對角線的下方全為K的零元的矩陣全體組成的集合。事實上，只需驗證中的元對中的加法和乘法封閉即可。證明如下：設(shè) 則有 我們稱為上三角矩陣代數(shù)。§2. 3 上三角矩陣代數(shù)與路代數(shù)的同構(gòu) 結(jié)論：上三角矩陣代數(shù)與有n(n2)個頂點的有向圖 的路代數(shù)同構(gòu). 先分別考慮n=2，3時的情況： 當n=2時，設(shè)有向圖： 的路代數(shù)為，其一組基為， ，；對上三角矩陣代數(shù)，其一組基為=其中1是K的單位元，0是K的零元，則映射：， 是上三角矩陣代數(shù)到路代數(shù)上的同構(gòu)映射.因為：， ， 當n=3時，設(shè)有向圖 的路代數(shù)為，記的子 ，

25、則其一組基為 對下三角代數(shù)，其一組基為= = = 其中1是K的單位元，0是K的零元，則映射：， 是上三角矩陣代數(shù)到路代數(shù)上的同構(gòu)映射，因為:對所有的 ， 有其中當時=1，當是=0，易知從而得到 對一般的n，設(shè)有向圖：的路代數(shù)為，記的子路 則其為的一組基，其維數(shù)為.對上三角矩陣代數(shù)，其一組基為 ，是為K的單位元，其他為K的零元的矩陣，其維數(shù)為.則映射：， 是上三角矩陣代數(shù)到路代數(shù)上的同構(gòu)映射.因為：對所有的 ， 有其中當時=1，當是=0，易知從而即證.第三章 可上三角化代數(shù)§3.1 可上三角化矩陣引出：可上三角化矩陣就是把一個矩陣通過線性變換變成上三角矩陣的形式§3. 可上三

26、角化代數(shù)結(jié)論：設(shè)，且可逆，則所有形如的矩陣的集合稱為一個的子代數(shù).證明：只需要證明該集合中的元素對中的結(jié)合法封閉即可，設(shè)，則：+=因為：+即得. 定義3.2.1：固定一個可逆矩陣,我們稱代數(shù)=為的關(guān)于的可上三角化子代數(shù)，簡稱為可上三角化代數(shù).稱P為的上三角化矩陣.結(jié)論：上三角代數(shù)與可上三角化代數(shù)同構(gòu).證明：設(shè)，做映射：則映射是到的同構(gòu)映射，即證. 結(jié)論：可上三角化代數(shù)與有n(n2)個頂點的有向圖的路代數(shù)同構(gòu).證明：因為上三角代數(shù)與有n(n2)個頂點的有向圖的路代數(shù)同構(gòu)，而上三角代數(shù)與可上三角化代數(shù)同構(gòu)，即證.由之前的討論我們知道可上三角化代數(shù)=的維數(shù)是，那么對的任一個維數(shù)是的子代數(shù)，是否是可上

27、三角化代數(shù)，若是可上三角化則代數(shù)，其上三角化矩陣P是否唯一？當n=2時，的維數(shù)是4，的子代數(shù)必是其子向量空間，的維數(shù)是3的子向量空間有4個，故的維數(shù)是3的子代數(shù)至多有4個.一組基為：=其維數(shù)是3的子向量空間有： . 顯然，是的結(jié)合法封閉，是的子代數(shù)，而=，=，因此，不是的子代數(shù).由上知=為的關(guān)于的可上三角化子代數(shù)，任一可逆矩陣P都可作為的某一下可上三角化代數(shù)的上三角化矩陣，而的維數(shù)是3的子代數(shù)只有和，可知可上三角化矩陣P不唯一.當取=時，顯然有= ，則是的關(guān)于=的可上三角化代數(shù). 取=時，由：= = = 可得= = .因此有的子代數(shù)是可上三角化代數(shù)，且矩陣，為可上三角化代數(shù)的兩個不同的上三角化

28、矩陣.對一般的n，的維數(shù)是的向量子空間有個，故其維數(shù)是的子代數(shù)為有限個，任一可逆矩陣P都可作為的某一可上三角化代數(shù)的上三角化矩陣，故至少有一個可上三角化子代數(shù)的上三角化矩陣不唯一.結(jié)論已知上三角矩陣代數(shù)，有n(n2)個頂點的有向圖的路代數(shù)，可上三角化代數(shù)=兩兩同構(gòu).有有限個可上三角化子代數(shù)，且其至少有一個個可上三角化子代數(shù)的下三角化矩陣不唯一。參考文獻【1】 Natural Science Journal of Xiangtan University2003年 第3期【2】 T Petek. Additive mappings preserving commutativityJ.Li

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