2.1.1向量的物理背景與概念及向量的幾何表解析

1、2.1.12.1.1 向量的物理背景與概念及向量的幾何表示教學(xué)目標(biāo):1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單 位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量2.通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別3.通過(guò)學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力教學(xué)重點(diǎn)： 理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會(huì)表示向量教學(xué)難點(diǎn)： 平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.學(xué) 法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概

2、念來(lái)學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念 教學(xué)思路：一、情景設(shè)置:如圖，老鼠由 A 向西北逃竄，貓?jiān)?B 處向東追去，設(shè)問(wèn)：貓能否追到老鼠？（畫圖）結(jié)論：貓的速度再快也沒(méi)用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了.分析：老鼠逃竄的路線 AC、貓追逐的路線 BD 實(shí)際上都是有方向、有長(zhǎng)短的量.引言：請(qǐng)同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒(méi)有方向?、新課學(xué)習(xí):（一）_向量的概念：（二） 請(qǐng)同學(xué)閱讀課本后回答：（7 個(gè)問(wèn)題一次出現(xiàn)）1、 數(shù)量與向量有何區(qū)別？（數(shù)量沒(méi)有方向而向量有方向）2、 如何表示向量？3、 有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？4、 長(zhǎng)度為零的向量叫

3、什么向量？長(zhǎng)度為1 的向量叫什么向量？5、 滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、 有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？7、 如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)0,這是它們是不是平行向量？這時(shí)各向量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系？（三）探究學(xué)習(xí)1、數(shù)量與向量的區(qū)別:2. 向量的表示方法：向量與有向線段的區(qū)別：4、零向量、單位向量概念：5、平行向量定義：四）理解和鞏固：例 1 書本 75 頁(yè)例 1.例 2 判斷：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平

4、行向量）課堂練習(xí) ：書本 77 頁(yè)練習(xí) 1、 2、3 題三、小結(jié) ：1、 描述向量的兩個(gè)指標(biāo)：模和方向2、平面向量的概念和向量的幾何表示； 3、向量的模、零向量、單位向量、平行向量等概念。2.1.22.1.2 相等向量與共線向量教學(xué)目標(biāo)： 1.掌握相等向量、共線向量等概念；并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量2通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別3通過(guò)學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握相等向量、共線向量的概念，教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.教學(xué)思路：一、情景設(shè)置：（一）、復(fù)習(xí):1、數(shù)量與

5、向量有何區(qū)別？（數(shù)量沒(méi)有方向而向量有方向）2、如何表示向量？ 3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？4、長(zhǎng)度為零的向量叫什么向量？長(zhǎng)度為 1的向量叫什么向量？ 5、滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？7、如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn) 0,這是它們是不是平行向量？這時(shí)各向量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系?（二）、新課學(xué)習(xí) 1、有一組向量，它們的方向相同、大小相同，這組向量有什么關(guān)系?2、任一組平行向量都可以移到同一直線上嗎？這組向量有什么關(guān)系？三、探究學(xué)習(xí)1、相等向量定義:2、共線向量與平行向量關(guān)系:

6、四、理解和鞏固：例 1 如圖，設(shè) 0 是正六邊形 ABCDEF 的中心，分別寫出圖中與向量0A、OB、0C相等的 向量變式一：與向量0A長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？變式二：是否存在與向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？變式三：與向量共線的向量有哪些？例 3 下列命題正確的是()A. a與b共線，b與c共線，則a與 c 也共線B. 任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C. 向量 a與 b 不共線，則 a與 b都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行課堂練習(xí)：1 判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由|向量AB與CD是共線向量，則 A、B、C、D 四點(diǎn)必在一直線上；單位向量都相

7、等；任一向量與它的相反向量不相等；四邊形 ABCD 是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AB=DC一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0;共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同2 .書本 77 頁(yè)練習(xí) 4 題三、小結(jié)：1.描述向量的兩個(gè)指標(biāo)：模和方向 2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡(jiǎn)單 類比3、共線向量與平行向量關(guān)系、相等向量。例 2 判斷：(1) 不相等的向量是否一定不平行？(3 )兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么?(2)與零向量相等的向量必定是什么向量?(4)共線向量一定在同一直線上嗎？()a,BC= b ,b 的和，記作貝 U 向量AC叫做 a與aa + b ,即 a + b-2.2.1 向量的加法運(yùn)算

8、及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)：1.掌握向量的加法運(yùn)算， 并理解其幾何意義；2會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力；3通過(guò)將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算， 滲透類比的數(shù)學(xué)方法；教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.教學(xué)難點(diǎn)：理解向量加法的定義教學(xué)思路：一、設(shè)置情景：1、復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念強(qiáng)調(diào)：向量是既有大小又有方向的量長(zhǎng)度相等、方向相同的向量相等 因此，我們研究的向量是與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何2

9、、情景設(shè)置:(1)某人從 A 到 B,再?gòu)?B 按原方向到 C，則兩次的位移和：AB BC二AC(2)若上題改為從 A 到 B，再?gòu)?B 按反方向到 C，則兩次的位移和：AB BC二AC(3)某車從 A 到 B,再?gòu)?B 改變方向到 C，則兩次的位移和：AB BC二AC2、三角形法則首尾相接， 首尾連”)如圖，已知向量a、b 在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB=a-b-探究：（1）兩向量的和與兩個(gè)數(shù)的和有什么關(guān)系？?jī)上蛄康暮腿允且粋€(gè)向量;什么時(shí)候時(shí)，|a+b|a|+|b|；什么時(shí)候 |a+b|=|a|+|b|,什么時(shí)候 |a+b|=|a|b|,（3）“向量平移”（自由向量）：3 .例一、已知向量a、b

10、，求作向量a+b4加法的交換律和平行四邊形法則6由以上證明你能得到什么結(jié)論?三、應(yīng)用舉例：例二（P8384）略=AB BC = AC,規(guī)定:a + 0-= 0 + a問(wèn)題：上題中b+a的結(jié)果與a+b是否相同?驗(yàn)證結(jié)果相同從而得到：1）向量加法的平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng)）2）向量加法的交換律:a+b=b+a5 .你能證明：向量加法的結(jié)合律:(a+b) +c=a+(b+c) 嗎？2.3km/ h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，船的實(shí)際航行速度的大小為4km/h，求水流的速度變式 2、一艘船從 A 點(diǎn)出發(fā)以v1的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為v2，船的實(shí)際航行的速度的大小為

11、4km/h，方向與水流間的夾角是 60，求vi和V2.練習(xí)：P84 面 1、2、3、4 題變式 1、一艘船從 A 點(diǎn)出發(fā)以作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn) 0,四、小結(jié)1、向量加法的幾何意義；2、交換律和結(jié)合律；3、|a+b|w |a| + |b|,當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時(shí)取等號(hào)五、思考：你能用向量加法證明：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？2.2.2 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)：1.了解相反向量的概念；2掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義；3通過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物間可以相互轉(zhuǎn)化的辯 證思想教學(xué)重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法教學(xué)

12、難點(diǎn)：減法運(yùn)算時(shí)方向的確定教學(xué)思路：一、 復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則，向量加法的運(yùn)算定律：例：在四邊形中，CB BA AD二二、 提出課題：向量的減法1.用相反向量”定義向量的減法(1)“相反向量”的定義： _(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量 .-(-a) = a.任一向量與它的相反向量的和是零向量a + (-a) = 0 如果 a、b 互為相反向量，則 a = -b, b = -a,a + b = 0(3)向量減法的定義：2.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算: 若 b + x = a，貝 U x 叫做 a 與 b 的差，記作 a - b

13、3. 求作差向量：已知向量 a、b,求作向量 a - b/ (a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作0A= a,AB= b即 a -b 可以表示為從向量注意：1AB表示 a - b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)4. 探究：1） 如果從向量 a 的終點(diǎn)指向向量 b 的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是 _2） 若 a / b,如何作出 a b ?aa-ba-bOBABOBAab* *OA_bB三、例題:變式三：a+b 與 a-b 可能是相等向量嗎？（不可能，T對(duì)角線方向不同）例3.如圖， 已知一點(diǎn)O到平行四邊形ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C 的向量分別為 a、b、c

14、, 試用向量 a、bc表示 OD.a-b*- -BO例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d,求作向量 a-b、c-d.例二、平行四邊形ABCD中，AB變式一：當(dāng) a, b 滿足什么條件時(shí),a+b 與 a-b 垂直？|a | =|b|）變式二：當(dāng) a, b 滿足什么條件時(shí),|a+b| = |a-b|?（ a, b 互相垂直）2 用“相反向量”定義法作差向量，a -b = a + （-b）b練習(xí)：1。P 87 面 1、2 題2.在厶 ABC 中，BC= a,CA=b，則AB等于(2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意義；（2）培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題

15、的能力；（3） 通過(guò)將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比， 使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律, 并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法一、情境設(shè)計(jì)：1. 復(fù)習(xí)：向量的加法運(yùn)算和減法運(yùn)算定義以及有關(guān)概念2. 情景設(shè)置：二、探索研究：探究 1:閱讀課本 P87 -88,回答下列問(wèn)題：1._ 向量的數(shù)乘的定義： _2._向量數(shù)乘的幾何意義： _3.向量的數(shù)乘滿足的運(yùn)算律:探究 2： （ 1）若 b= a，a 與 b 有什么關(guān)系呢？（2）若 a 與 b 共線，能否得到 a 與 b 的一個(gè)關(guān)系呢？4 .共線定理： _5.平面向量的線性運(yùn)算（1） _稱為線性運(yùn)算。A. a+bB.-a+(-bC a

16、-b對(duì)任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)、恒有：爲(wèi)_爲(wèi)）141三、例題:例 1、化簡(jiǎn): g 2(2a 8b) _4(4； 2 石練習(xí)：課本 P88 例 5求OC、OD.（見成才之路 P48 例 4）(A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D例 2、已知O-30=36, C、D 是 AB 的三等分點(diǎn),1例 3、 如圖，在平行四邊形 ABCD 中,點(diǎn) M 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 在 BD 上且 BN = BD.3 求證：M、N、C 三點(diǎn)共線定共線的三點(diǎn)是（）四、小結(jié):向量答案：2.1.12.1.1 向量的物理背景與概念及向量的幾何表示（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向

17、的量叫向量。1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不 能比較大小.2向量的表示方法：用有向線段表示；用字母 a、b （黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB;向量AB的大小一長(zhǎng)度稱為向量的模，記作|AB|.3有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是 相同的向量； （2 ）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也 是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長(zhǎng)度

18、為0 的向量叫零向量，記作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 與 0 的含義與書寫區(qū)別.長(zhǎng)度為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量 .說(shuō)明：零 向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定 0 與任一向量平行.說(shuō)明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、c平行，記作a/b/c.向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個(gè) 要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長(zhǎng)度為 0 的

19、向量叫零向量，記作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 與 0 的含義與書寫 區(qū)別.長(zhǎng)度為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量 .說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都只是限制了 大小.5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0 與任一向量平行.說(shuō)明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、c平行，記作a/b/c.例 2 （1）（不一定）（2）（零向量）（3）（平行向量）2.1.22.1.2 相等向量與共線向量1、相等向量定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量說(shuō)明：（1）向量a與b相等，記作a=b; （2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個(gè)相等的非 零向量，都可用

20、同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)2、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線 上（與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.說(shuō)明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位 置關(guān)系；（2 ）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系變式一：11 變式二：存在變式三：CB, DO,FE例 2 ,一判斷：1.4 4_上不一定 2.零向量 3.長(zhǎng)度相等且方向相同 4.不一定 例3 解：由于零向量與任一向量都共線，所以A 不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以 B 不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以 D 不正 確；對(duì)于 C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮，假若a與 b 不都是非零向量，即 a 與