2.4.1平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律(精)

1、2/3平面向量的I 討我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算?這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？?jī)张?2 我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的? 我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？物理模型一概念一性質(zhì)一運(yùn)算胳-應(yīng)用問題3:如圖所示，一物體在力 F的作用下產(chǎn)生位移S，|F| |S|cos0(1 )力 F 所做的功掃_(dá) o(2 )請(qǐng)同學(xué)衲務(wù)析這個(gè)公式的特點(diǎn)：W (功)是一向量,/FS(位闕的夾角 量 匚尸-1S問題 4：躱能冊(cè)赴宇語言來表述功的計(jì)算公式嗎？ 如果我們將公式中的力與位移的關(guān)系推廣到一般 向量，其結(jié)果又該如何表述？從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積” 勺概念。平面向it的數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo):、掌握平面向量的

2、數(shù)量積的定義及幾何意義2. 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)下面請(qǐng)同學(xué)們看課本并思考如下問題:看課本 15310 并思考如下問題:1.向的夾環(huán)是如何定義(規(guī)定)的?2、 向量的數(shù)量積如何定義，它與物理中力 做功*什么聯(lián)系?3、 向量的數(shù)量積是向嗎？向量在方向上 的投影是向dt嗎？4、 平面向it的數(shù)量積有什么 樣的幾何起義？向量的夾角旦豹兩個(gè)非零向量才和瓦 作 OAR,OB=b,則 ZAOB=0 (0 0180 )叫做向量疋與 5 的夾角。三當(dāng) 0=0。時(shí)，云與方同向;0 A B當(dāng) 0=180時(shí)，五與融 m 一 一0當(dāng) 0。0 90毓 zb 為正；當(dāng) 90。0180 蚯 b 為負(fù)。夾角少范圍0 &am

3、p; V 90。& = 90。900負(fù)么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？討論并完成下表:注意?:向量 、向量已知兩個(gè)非零向量/與它們的20,我們把數(shù)量laiIblcosO叫做（或內(nèi)積） ,記作頁Brll IblCOSOKia焉向量的數(shù)量積為0。減矍畤杲是向量還是數(shù)量?向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果當(dāng) 0=90時(shí)亦 b 為零。五條重要性質(zhì)一設(shè)Nb是非零向量亡是與b方向相同的 單位向量，餛云與&的夾角，則(l) e-a=a-e=lalcos(2) 云丄bua-b = 0(3)當(dāng)萬與5同向時(shí),a-b=ab-I忖力皿 a二/八n(4)cos& =-=I 5 11/2 I(5

4、)1ab例1:在RtZXABC中，ZC=90, AB = 13, AC= 12,分析：求數(shù)量積時(shí)，除記準(zhǔn)公式外，關(guān)鍵是找準(zhǔn)兩向量 的夾角 解析：VZC = 90, AB = 13, AC =12,5 BC = 5, /. cos ZABC =巨 = 7T - A ABC,/.ABBC= lABI-IBCI cos =13X5X(一魯)=一25 點(diǎn)評(píng)：( (1)找錯(cuò)向量的夾角是計(jì)算數(shù)量積時(shí)易出現(xiàn)的 錯(cuò)誤，牢記向量夾角是兩個(gè)“方向”的夾角.a b= a b 當(dāng)&與方反向cosAB.BC)=-cosZABC =513(2)此題也可做如下計(jì)算：AB BC - (AC + CB) BC -AC

5、BC + CB BC = 0 - BC2= - AC2= - 25.二、數(shù)量積的物理意義:(1)用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì):功是力與位移的數(shù)量積(2 ) 一物體質(zhì)量是 10 千克，分別做以下運(yùn)動(dòng):1.在水平面上位移為 10 米；2.豎直下降 10 米；3.豎直向上提升 10 米；4、沿傾角為 30 度的斜面向上運(yùn)動(dòng) 10 米； 分別求重力做的功。.沿傾角為 30。的斜面向上運(yùn)動(dòng) 10 米:W = |G|S|cos(l 8 CP一30P)作OA=a9OB=T,過點(diǎn)B作BQ垂直于直線OA,垂足為，則OBt=Tb COS0Ub I cosO叫向量滬在 N*方向上的投影.平面向量的數(shù)量積的幾何意義是:

6、才的長(zhǎng)度 lT與17在才的方向上的投影THlcos 0的乘積問題 2：如何理解數(shù)量積的兒何意義？.在水平面上位移為 10 米：1GW = |G|S|.豎直下降 10 米:.豎直向上提升 10 米:+:平答案：(1)向量數(shù)量積的兒何意義，是一個(gè)向量的長(zhǎng)度 乘以另一向量在其上的投影值.這個(gè)投影值可正可負(fù)也可 以為零， 向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).(2)當(dāng) aHU 時(shí)由 a b = 0 不能推出一定是零向量. 這是因?yàn)槿我粋€(gè)與 a 垂直的非零向量，都有 a b = 0.(3) coM=| | |若已知! a , b 則可以由上式求a b出向 hka.b 的夾角這也是求兩向量夾角的一個(gè)重要方法.例

7、2：等腰三角形 ABC 中，AB=AC=2,ZABC = 30,D 為 BC 的中點(diǎn).(1)求麗在莎方向上的投影;(2)求麗在麗方向上的投影.四、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:數(shù)量積的運(yùn)算律:(1)云b=b云(2)(花) 5 =A(a-b) = a (Ab)(3) +方) 0 =廳乙+為乙 其中力、b、乙是任意三個(gè)向量，2e7?( (Q b) C工Q (b C) )ai bd(hH 6)幷a = c例 3：求證：_(1)(a+S)2=a1+2a9b+b2(2)(a+F)-(a-fe)=-P證明：(1) Gf4方)2=(的歷+萬) 歷+(”4方)方=aza4-b*a b-bb =a1+2aib+2.

8、例 3：求證：_(1)(W+脅 2=滬+厲方+方 2；(2)(N+厲一小=滬一喬證明：(2)(aby(ab)=(a+b)*a (a+b)=a*a +6兀一Eb =S2b2.(5)由(a tb) (c d) = a c-1a d b c - b ，可得向量的三個(gè)運(yùn)算公式：(a + &) (o b)= a IbL，；(a + b) = a +2a b b；(a d) = | a2 2a b+ b.(6)若為實(shí)數(shù)由 ab = bc=a= e是正確的；但若對(duì)于向 量.由 a b= b c就不能得到 a=c.由圖示便町以看出： 滿足a b = b )-(7n-5)=0,(a4by( (7a2b)

9、=0,7a2+ 16a*Z 15Z2= 0,7/30力+8滬=0,一得23慶一4血力=0,：.la-b=b2,代入得a2=b29：.a = b,練習(xí)仏在菱形ABCD中，若AC=2,則鬲応等于（ ）A. 2B. -20EO, Tfl, .63 返回L_亠cos 0=(2)解由已知條件/.ABCA = -2.答案：Bab=b2=2C. 2或一2解析：AB + C4 =D.與菱形的邊長(zhǎng)有關(guān)= CB,設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，由IABI2+2AB CA+ IC4I2=CB2得a2+ 2AB CA + 4 = a2.練習(xí) 2：已知向量 a 與的夾角為 30。，為單位向量,c =加 + (1 t)h.若/? c =

10、0,則 t=_練習(xí)7：1已知 a J) ).c 是非零向量9下列說法正確的是.( 人)A.若 a b = a9則 a/bB.若a c = h c貝lja = hC若a = b9則I a c = b cII), (a b) c = a (b c)2設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下 列命題：(a b)c (c a)b = O；|a| b .a+ b 卩=（a + ）（a + 方）=1 c I2.2ab =1 cP_（|Q卩+| 方 |2）:.ab =- - 24 ZJ a.b 1故 cos= a b 久 0 0 yj|-|= OWTT方法二： 如圖， 以0為起點(diǎn)做向量OA = a9os=b9連接 個(gè)，得 I ,oc = a+b9顯然ZkAOB為正三:NAOB= 60,_又住bBEx2如圖在RtAABC中， 已知BC =a,若長(zhǎng)為2a的 線段円?以點(diǎn)力位中點(diǎn)，問花與荒的夾角&取何值時(shí),豆 的值最大？并求其最大值。解：/ AB丄疋