分式的化簡求值

1、分式的化簡求值、比例的性質(zhì):比例的基本性質(zhì)：-ad二be，比例的兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積b d更比性（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）-=-（交換內(nèi)項(xiàng)）e d-=£二9=£（交換外項(xiàng)）b d b a-=-（同時(shí)交換內(nèi)外項(xiàng) ）e aa e b d:b =d"a = c合比性：a -e-a zbe 二d，推廣：=a 二 kb e 二 kd（k為任意實(shí)數(shù)）bdbdb dbd等比性：如果aema亠e亠亠m那么a(b d .n = 0 )bdnb+d + nb反比性（把比例的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換）、基本運(yùn)算分式的乘法：a eb d b d分式的除法：a仝二-d二生衛(wèi)b d b e b e個(gè)

2、,乘方：（a）n且川-= a=£（n為正整數(shù)）bbnn個(gè)n個(gè)整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算性質(zhì)： am -an am n （ m、n 為整數(shù)）（am）n = amn （ m、n 為整數(shù)）（ab）n 二 anbn （ n 為整數(shù)） am 亠 an =amq （ a =0 , m、n為整數(shù)）負(fù)整指數(shù)幕：一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，an （ 0），即a（a = 0）是an的倒數(shù) a分式的加減法法則:同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減，ae e e異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质皆偌訙p，？ 二臾_竺=a_beb d bd bd bd分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，后算加減，如有括號

3、，括號內(nèi)先算.結(jié)果以最簡形式存在、化簡后直接代入求值（2級）（2010湖南郴州）先化簡再求值： 亠，其中x=2X _1 X -X已知：2afaa (a "1)-，其中 a =3a -1a 1 a 1先化簡，再求值:（2級）（2010安徽）2（1 一丄廠a ；4a 4，其中a a 1a -a（2級）（2010湖南長沙）先化簡，再求值:1X2 3x其中1X =-.3（2級）（2010十堰）先化簡，再求值:(1 一丄)"J (x_2)，其中 x二 6 . x +1 x -1【例1】【例2】【例3】【例4】【例5】【例6】【例7】【例8】【例9】【例10】【例11】（2級）（201

4、0廣東肇慶）先化簡，后求值:(1)x2 -2x 1，其中x - -5-4（2級）（2010武漢）先化簡，再求值:fx 25. x - 3x 2 2x 4（2級）（2010湖南岳陽）先化簡，再計(jì)算：1詔，其中a=M：2-3 、.a_2 丿 a -41（3級）當(dāng)xn-1時(shí)，求代數(shù)式2亠 X2 _2x+4'x2 +6X2X的值2 2（2級）（2010廣東深圳）先化簡分式認(rèn)為合適的a值，代入求值.#9尸乞-苓皂，然后在0, 1, 2, 3中選一個(gè)你a 6a -9 a 3a a -1（2級）（2010貴州貴陽）先化簡：2 b2 i2 b +b2 ?a2 bb ，當(dāng)b= 1時(shí)，再從2cac2的范圍

5、內(nèi)a ab ia )選取一個(gè)合適的整數(shù) a代入求值.【例12】【例13】（3級）（2010河南）已知, B = 22 ,c將它們組合成 A_B -：-C或A_B“C的形x2 x 4 x+2''式，請你從中任選一種進(jìn)行計(jì)算，先化簡，再求值其中x = 3.（3 級）先化簡，再求值： 4a 12 a25（a22）“（L）2，其中 a=4【例14】（2級）（2010順義一模）已知x=2010, y=2009，求代數(shù)式 xc2、2xy y亠x_y的值.（3a _4）（a +2）aa23【例15】【例16】（2級）（2010湖南湘潭）先化簡，再求值:，其中 x = 2 1 , y = 2-

6、1 .【例17】（3級）（2010黃石）先化簡，再求值:坯&詵.其中2 "，b.（2 級）（2010 荊門）已知 a =2 3 ,b =23，試求-的值.b a【例18】（3級）（2010宣武一模）先化簡，再求值：-2 b 2，其中a=13 ,b=1（a b a +b丿 a2 2ab+b2【例19】（3級）（2010廣西桂林）先化簡，再求值:丄x-yx + y 丿 x2 -y2,其中 3 1, y= 3-1【例20】（3級）求代數(shù)式ab ac a2a2ab22a -b -c2ab a2 b2其中、條件等式化簡求值1.直接換元求值【例21】（3級）【例22】（4級）A.1【例2

7、3】（3級）【例24】（2級）（2010石景山二模）已知：4a2+b2=4ab （ ab式0）,求 三土十a(chǎn) + 3b（2007全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）已知x , y, z滿足-B.-3已知:D.丄22-y xyx£ -2xy y2乙的值-xy（2010豐臺一模題16）已知:x2 -2 =02 2a -b5b22 a 6ab 9b a b，則5x y的值為（y +2z求代數(shù)式-2J的值.x -1x 1的值.【例25】（2級）【例26】（3級）【例27】（3級）【例28】已知x（2010海淀一模）已知-y2xx2 -2xy y22 2竺的值.x yx已知 15x2 47xy 28y2 =

8、0，求一的值.（2010海淀二模）已知x2 -6xy 9y2 =0，求代數(shù)式 筆 鴿（2 y）的值.4x - yL，求x的值.2x【例29】（3級）（2010東城二模）已知 x _2y =0，求（-xy一2 的值.y x x _2xy+y【例30】（3級）已知a=3b, c2a亠,叫亠 ab c砧/古，求代數(shù)式的值.3ab c【例31】（4級）（第8屆華羅庚金杯復(fù)賽） 已知丄 乙=丄，求一的值.a b c a c a b【例32】（4 級）已知 a2 -3b2 =2ab , a 0 , b 0 ,求證:a 2b 5a -b 2【例33】【例34】（3級）（第9屆華羅庚金杯總決賽1試）已知 2x

9、 -y （a -3b）2 =0，求2a3x2 ab2y2 3b3xy 的值3a3x2 ab2y2 2b3xy（3級）（清華附中暑假作業(yè)）已知：a2 -3b2 =2ab，求哲的值.a b【例35】（3級）已知分式 乞厘的值是m ,如果用x , y的相反數(shù)代入這個(gè)分式，那么所得的值為n1 -xyn是什么關(guān)系？【例36】（4 級）已知： mx 3y2 =3，且 nx2 -2y =2 x = 0, y -1 .試用 x, y 表示 m n【例37】（8級）已知:2a -3b c =0 ,3a - 2b - 6c = 0 ,333且abc= 0 ,求一電 3b 2 2c 2的值.ab +7bc -3a

10、c【例38】（3級）已知方程組：2x-3y z -0（ xyz ），求：x : y: z x _2y +3z=0【例39】(3級)(全國數(shù)學(xué)競賽)若 4x _3y _6z = 0 , x 2 y -7z = 0 ( xyz- 0 )，求5x2 2y2 _z22x2 -3y2 -10z2的值.【例40】（5級）（黃岡市初中數(shù)學(xué)競賽）設(shè)自然數(shù)x、y、m、n滿足條件-=，求的y m n y m n 8最小值.【例41】（4級）（1996年武漢市初中數(shù)學(xué)競賽試題）設(shè)有理數(shù)a,b, c都不為0,且a b 0 ,貝U 1 + 1 + 12 的值為。b c -ac a -b a b -c【例42】（5級）（

11、2008青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽個(gè)人賽）已知實(shí)數(shù) a、b、c滿足a b 11與丄.丄.丄二邑，則丄.丄.亠的值是.a b b c c a 17 b c c a a b【例43】（5級）（2005年北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題）已知非零實(shí)數(shù)a, b, c滿足a b 0。求證：（1） a3 b3 c3 =3abc/c、a b i b c i c a 丫 c 丄 a 丄 b ）V c a b 人ab bc ca 丿2、設(shè)參輔助求值【例44】（3級）（“希望杯”試題）已知x=y:_ z2則y2z2 234xyyzzx【例45】（4級）若-，求ab c-d的值 a b -c d【例46】（5級）化簡:(y -

12、x)(z -x)(z -y)(x -y)(xz)(y z)(x -2y z)(x y -2z)(x y _2z)(y z 2x) (y z _2x)(x _2y z)【例47】【例48】【例49】【例50】【例51】【例52】【例53】【例54】【例55】(5 級)已知(b -c)2 (c -a)2 (a b)2 =(b c -2a)2 (c a 2b)2 (a b -2c)2 , 求分式巴七"（ab的值（a +1）（b +1）（c +1）(5級)（五羊杯試題）已知a 2b -肌2b 2c 3a c 3a 2b3_4a 2b +3c =a 3b -2c（5級）（重慶市數(shù)學(xué)競賽試題）已

13、知34x亠y y亠z，則2 y2 z2xy亠yz亠zx(5級)（“五羊杯”試題）設(shè)x y z u =1， 2x y :1 = 2y z :2 = 2z u :3 = (2u x) :4，則7x +3y +3z +u =(5級)（天津市競賽題）若x y zz二x-y + z x +y +z 求(x+y)(y+z)(z+x)的值 yx ，xyz（5級）已知二u 求口 三上匚的值.xyz z u u x x y y z（5級）已知xyzb c -a c a -b a b -c求(b -c)x (c a) y (a b) z 的值p q r =9，且 =，貝Ux -yz y - zx z -xyD.

14、7（5級）已知a , b , c都是互不相等的非零實(shí)數(shù)，x , y中至少有一個(gè)不為零，且 bx cy_ cx ay ax b yabc求證：a b c =0 （5級）（第11屆“希望杯”試題）已知px qy rz的值等于（）xyzA. 9B.10C. 8【例56】（6級）2 2 2 2 2x yz y zx z -xy亠、十 a bc b ca已知0（xyz=0），求證：abcc2abz【例57】（6級）已知x求 xy1yz1zx1x21y21z21（第9屆江漢杯”初中數(shù)學(xué)競賽試題）2 2 2 2 _ _-y yzzx 二 x y,的值。2.整體置換【例58】（3級）（2010門頭溝一模）已知

15、2亠 x1X241xx = 0 ,求22 的值.x+2 x _2x+1 x -1【例59】（2級）（2010黃岡）已知,ab=-1 ,a b =2，則-=a b【例60】1已知x y , xy =1，求代數(shù)式2竺自gy）2的值.3xy【例61】（2級）（2010密云二模）已知2a b -0，求代數(shù)式（a2b2）（代 y（ab）的值.【例62】（2級）（2010朝陽二模）已知a2 2a =4，求二 /a+1 a21亠2 a 1一的值a-2a 1【例63】（2級）（2010昌平二模）當(dāng)x2 x -2 =0時(shí)，求代數(shù)式 V 3 - X 3I X 732的值.X X【例64】已知 口 =3，求代數(shù)式2

16、（a b） 4（a -b）的值.a +ba b 3（a +b）【例65】（3級）2（2010 崇文一模）已知 x2 x-1=0，求 x（1）" （x 1 吐1 -xx 2x 十1的值.（3級）（2010石景山一模）已知:丿 2 1 x4x 4x2 x 1x_1的值.【例66】【例67】【例68】【例69】【例70】【例71】【例72】【例73】【例74】【例75】（3 級）已知：xy = _12 , x y = _4，求- 的值. y +1 x +1（8級）已知2x y =10xy，求代數(shù)式4x xy 2y的值.2x -4xy + y（4級）已知：11，求y.x的值.x y x +y

17、 x y（4級）（新加坡中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽） 設(shè)1_1=1，求劉+刑-2xx y 4y x 2xy（4級）設(shè)1 一丄=3，x y求3y 2xy-3x的值.x +7xy y（4級）如果4x2 10xy 6y22 22x 3y的值.（4級）已知，求5m 7m門®的值.m n2n 3mn 2m（5級）（第11屆希望杯試題）已知a , b , c為實(shí)數(shù)，且-a +b1，求abc_5 ab bc ca已知:x -一 = 7 ,x求X亠' 的值x【例76】【例77】【例78】【例79】【例80】【例81】【例82】【補(bǔ)充】【例83】【例84】【例85】【例86】已知:a2=3 ,a1求a 的

18、值.a已知x為實(shí)數(shù)，且x-=2，則x二5，求x 1的值x11-a =1，求 一 "|a 的值.aa（4級）（05山東濰坊中考）若x - =2x2x42x x 1的值.本類題有一種典型錯(cuò)題，如：已知X亠一 =1，求x2x42x x 1的值（5級）（希望杯”試題）若x,x47xX4 3x已知a是x2 -3x 1=0的根，c 54 c 3 c 22a _5a2a _8a 的值a2 1（4級）（廣西競賽題）已知：x2 -x -1 =0，求4x 2x15x（5級）（湖北黃岡市初級數(shù)學(xué)競賽）設(shè)Xx2x 1=a，其中a=0，貝U2x2'x x 1【例87】（5級）已知:-7x 1=0 ,1 2 1求X 丄：X2XX【例88】（5級）已知:-5a 1=0,42a a 1的值.【例89】（