分式方程競(jìng)賽題

1、第一講 分式方程（組）的解法（或縮小）分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化為整式方程求解，轉(zhuǎn)化的基本 方法是去分母、換元，但也要靈活運(yùn)用，注意方程的特點(diǎn)進(jìn)行有效的變形變形時(shí)可能會(huì)擴(kuò)大 未知數(shù)的取值范圍，故必須驗(yàn)根.例1解方程解 令y= x + 2x 8，那么原方程為去分母得y(y 15x) + (y + 9x)(y 15x) + y(y+ 9x) = 0,y2 4xy 45x2= 0,(y + 5x)(y 9x) = 0, 所以 y= 9x 或 y= 5x.由 y= 9x 得 x2 + 2x 8 = 9x,即 x2 7x 8 = 0,所以 Xi= 1, X2= 8;由 y

2、= 5x,得 x2 + 2x 8 = 5x,即卩 x2 + 7x 8= 0，所以 X3= 8, X4= 1 . 經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的根.例2解方程x24x172xx272 18 = 0 + 4x72x 72x2 4x18 = 0x2 4xx 1則原方程可化為7218= 0yy2 18y+ 72 = 0,所以 y1 = 6 或 y2= 12.當(dāng)y= 6時(shí),x2 4x=6x2+ 4x= 6x 6,故x2 2x+ 6= 0，此方程無實(shí)數(shù)根.當(dāng) y= 12 時(shí)，x_ =12 , x2+ 4x= 12x 12,故 x2 8x+ 12 = 0,故 x2 8x+ 12= 0, x 1所以X1 = 2或X

3、2= 6.經(jīng)檢驗(yàn)，冷=2, X2= 6是原方程的實(shí)數(shù)根.例3解方程分析與解我們注意到：各分式的分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，故可考慮先用多項(xiàng)式除法化簡(jiǎn)分式.原方程可變?yōu)?1+ 一x 1(323x 2)整理得xx23x 2去分母、整理得x + 9= 0, x = 9.經(jīng)檢驗(yàn)知，x = 9是原方程的根.例4解方程分析與解 方程中各項(xiàng)的分子與分母之差都是1,根據(jù)這一特點(diǎn)把每個(gè)分式化為整式和真分式之和,這樣原方程即可化簡(jiǎn)原方程化為(x 6)(x 7) (x 2)(x 3)'所以(X+ 6)(x + 7) =(X+ 2)(X+ 3).9解得x=- 一 .2一經(jīng)檢驗(yàn)x=- M是原方程的根.2例5解方

4、程1 1+x(x 1) x(x 1)1 =11(x 9)(x 10) = 121，故可考慮把一個(gè)分式分析與解注意到方程左邊每個(gè)分式的分母中兩個(gè)一次因式的差均為常數(shù) 拆成兩個(gè)分式之差的形式，用拆項(xiàng)相消進(jìn)行化簡(jiǎn).原方程變形為1111I1111x 1 x x x 1 x 9 x 1012整理得去分母得x2 + 9x- 22 = 0,解得 X1= 2 , X2= 11 .經(jīng)檢驗(yàn)知，X1= 2, X2=- 11是原方程的根.例6解方程a分析與解分式方程如比利式-bc-，且本題分子與分母的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)符號(hào)相反，故可考慮d用合比定理化簡(jiǎn)原方程變形為(2x2 3x 2) (2x2 3x 2) _ (2x2

5、5x 3) (2x2 5x 3)2 = 22x 3x 22x 5x 34x24x22 = 22x 3x 2 2x 5x 3所以x= 0 或 2X2 3x 2 = 2x2 + 5x 3.1解得x= 0或x=81經(jīng)檢驗(yàn)，x= 0或X=都是原方程的根.8例7解方程分析與解形式與上例相似本題中分子與分母只是一次項(xiàng)的符號(hào)相反，故可考慮用合分比定理化簡(jiǎn).原方程變形為22即 6x 2 = 2x 2 .8x8x當(dāng)XM0寸，解得x= ±1.經(jīng)檢驗(yàn)，x= ±1是原方程的根，且 x= 0也是原方程的根.說明 使用合分比定理化簡(jiǎn)時(shí)，可能發(fā)生增根和失根的現(xiàn)象，需細(xì)致檢驗(yàn).a鬥時(shí)，X11 一這類特殊類

6、型的方程可以化成一兀二次方程，因而至多有兩個(gè)根.顯然 a31，即 x 133x1 13，所以 x1 =3, x2=-.1=a與X2=就是所求的根例如，方程a例8解方程解將原方程變形為x2 x 1 x212 3- = + x21 x2 x 13 2x2x 1x21則原方程變?yōu)?3解得 y1 2，y2 2.2當(dāng)x當(dāng) 2X2時(shí)，x2當(dāng)=2 時(shí)，x= 1；經(jīng)檢驗(yàn)X= 1及X=5均是原方程的根.2例9解關(guān)于x的方程x-，則原方程變?yōu)閍解設(shè)y= -b x1所以y1=2或y2= 2 .得 X2= b 2a.ax由 =2，得 X1= a 2b；b x將X1 = a 2b或x2 = b 2a代入分母b+ x,得

7、a b或2(b a),所以，當(dāng) a和 時(shí)，X1 = a2b 及 X2=b 2a都是原方程的根當(dāng) a= b時(shí)，原方程無解.例10如果方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求 a的值及對(duì)應(yīng)的原方程的根.分析與解將原方程變形，轉(zhuǎn)化為整式方程后得2x2 2x+ (a + 4) = 0.原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，方程的根的情況只能是：(1)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,= 4 4 2(a+ 4)= 0.71解得a=-.此時(shí)方程的兩個(gè)相等的根是X1 = x2=-.220或2.(2) 方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，而其中一根使原方程分母為零，即方程有一個(gè)根為(i)當(dāng)x= 0時(shí)，代入式得 a+4 = 0，即a =-4這時(shí)方程的另一個(gè)根是

8、x= 1(因?yàn)?x2 2x=0, x(x-1) = 0, xi = 0或x2= 1.而xi= 0是增根).它不使分母為零，確是原方程的唯一根.(ii )當(dāng)x= 2時(shí)，代入式，得2 X4 2 X2 + (a + 4) = 0,即a=- 8這時(shí)方程的另一個(gè)根是x=- 1(因?yàn)?x2-2x-4= 0. (x- 2)(x + 1) = 0，所以xi= 2(增根),X2=- 1).它不使分母為零，確是原方程的唯一根.因此，若原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，所求的a的值分別是71,4, 8,其對(duì)應(yīng)的原方程的根一次為，1 , 122練習(xí)一1. 填空:(1)方程x 101的一個(gè)跟是10,則另一個(gè)跟是 x 82(2)如果方程 匚_空=巴有等值異號(hào)的根，那么 m=ax c m 11 k 5 k 1(3) 如果關(guān)于x的方程p+<£=y 有增根x= 1,則k=x x x x x 1(4) 方程口 +=1°的根是x 1 x 132.