北京市海淀區(qū)2018-2019學(xué)年高二下期中數(shù)學(xué)試題(理)含答案

1、海淀區(qū)高二年級第二學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）2019.4學(xué)校班級姓名成績本試卷共 100分 .考試時(shí)間 90 分鐘 .一、選擇題： 本大題共8小題,每小題 4 分 ,共 32 分 . 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .1.復(fù)數(shù) z12i 的虛部是A.2B. 2C.2iD.2i2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 錯(cuò)誤 的是（）A.( x 2 )'2x 1B. (cos x)'sin xC. ( x ln x)' 1ln xD.(2 x )'2x ln 23. 函數(shù) f (x) 的圖象如圖所示，則f (x) 的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）yA. 0B. 1C. 2D. 3O

2、x4.若函數(shù)f (x) 的導(dǎo)函數(shù) f '( x )x(2x )ex ，則下列關(guān)系一定成立的是（）A.f (2)0B.f (0)f (1)C.f (2) f (1)D.f (2)f (3)5. 已知兩個(gè)命題：p : “若復(fù)數(shù) z1 , z2 滿足 z1z20 ，則 z1z2 . ”q :“存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)對(a,b) 使得 abi i(2i) . ”其真假情況是（）A. p 真 q 假B. p 假 q 假C.p 假 q 真D. p 真 q 真6若小球自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)1 gt 2 （ g 為常數(shù)），該小球在 t1到 t3 的平均速度為 v ，2在 t2 的瞬時(shí)速度為v2 ，則

3、 v 和 v2 關(guān)系為（）A vv2B vv2Cv v2D不能確定7.如圖，過原點(diǎn)斜率為k 的直線與曲線ylnx 交于兩點(diǎn) A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) . k 的取值范圍是 (0, 1) .yBeA11x1k.x1x2xx2 當(dāng) x( x1 , x2 ) 時(shí)， f ( x)kxln x 先減后增且恒為負(fù).以上結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是（）A.B.C.D. 8.已知函數(shù)f ( x)ax3bx2cxd ，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)f ( x) 的圖象可能是（）yyyO1x1xxOO1A.B.C.y1O1xyO1xD.二、填空題：本大題共4 小題 , 每小題 4 分,

4、共 16 分 .把答案填在題中橫線上.9.計(jì)算 1+2i=_.i23)dx_.10 (x011.已知 f (x)x，則 f '( x) _ x 112. 方程 (x 1)ex 1 的解的個(gè)數(shù)為 _.三、解答題 :本大題共5 小題 ,共 52 分 . 解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.13.（本小題12 分）已知函數(shù)f ( x) ax3bx 2cx ，其導(dǎo)函數(shù)為f '( x) 的部分值如下表所示：x-3-201348f '(x)-24-10680-10-90根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答下列問題：（）實(shí)數(shù) c 的值為 _ ；當(dāng) x_時(shí)， f ( x) 取得極大值 （將答案填寫在

5、橫線上） .（）求實(shí)數(shù) a ， b 的值 .（）若 f (x) 在 (m, m 2) 上單調(diào)遞減，求m 的取值范圍 .14.（本小題10 分）如圖，四棱錐（）若 DC平面（）求證：在平面B ACDE 的底面 ACDE 滿足 DE /AC， AC=2DE. ABC， AB BC，求證：平面 ABE平面 BCD;ABE 內(nèi)不存在直線與DC 平行；某同學(xué)用分析法證明第（1）問，用反證法證明第（2）問，證明過程如下，請你在橫線上填上合適的內(nèi)容 .（）證明：欲證平面ABE 平面 BCD ，ED只需證 _ ，由已知 AB BC，只需證 _，AC由已知 DC平面 ABC 可得 DC AB 成立，所以平面 A

6、BE平面 BCD .B（）證明：假設(shè)_ ，又因?yàn)?DC平面 ABE ，所以 DC / / 平面 ABE .又因?yàn)槠矫?ACDE 平面 ABE = AE ,所以 _ ，又因?yàn)?DE /AC ，所以 ACDE 是平行四邊形，所以 ACDE ，這與 _ 矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論正確.15.（本小題12 分）已知函數(shù)f ( x)ln xax （ aR ） .（）若函數(shù)f (x) 在點(diǎn) (1, f (1) 處的切線與直線y2x 平行，求實(shí)數(shù)a 的值及該切線方程；（）若對任意的x(0,) ，都有 f ( x)1 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .16. （本小題8 分）請閱讀問題1 的解答過程，然后借鑒問

7、題1 的解題思路完成問題2 的解答：問題 1：已知數(shù)集 Aa1 ,a2 ,an1a1a2an , n 2具有性質(zhì) P ：對任意的 i , j1i jn，aj兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.若數(shù)集a1 ,2,3, a4 具有性質(zhì) P ，ai a j 與ai求 a1, a4 的值 .解：對于集合中最大的數(shù)a4 ，因?yàn)?a4a4a4 ，3a4 a4 ， 2a4a4 .所以 a4 , a4, a4 都屬于該集合 .a432又因?yàn)?1a23a，所以 a4a4a4a.14a4324所以 a1a41 ,a42, a43 ，故 a11,a46 .a432問題 2：已知數(shù)集 Aa1 , a2 ,an0a1a2an ,n

8、 2具有性質(zhì) P ：對任意的 i, j1 ijn， aia j與 a jai 兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A .若數(shù)集a1 ,1,3,a4 具有性質(zhì) P ，求 a1,a4 的值 .17. （本小題10 分）已知函數(shù) f ( x)1 ( x 0) ，對于正數(shù) x， x， ， x(n N+ )，記 Snx1 x2xn ，如x12n圖，由點(diǎn) (0, 0) ， ( xi ,0) ， (xi , f (xi ) ， (0, f ( xi ) 構(gòu)成的矩形的周長為 Ci (i1,2, n) ，都滿足Ci 4Si (i 1,2, n) .y（）求 x1 ；f (xi )(xi , f (xi )（）猜想 xn 的表達(dá)

9、式（用 n 表示），并用數(shù)學(xué)歸納法證明 .Oxix海淀區(qū)高二年級第二學(xué)期期中練習(xí)參考答案數(shù)學(xué)（理科）2019.4一、選擇題：本大題共8 小題， 每小題4 分，共 32分.AABDCCCD二、填空題：本大題共4 小題， 每小題4 分，共 16分.9.2 i10.411.112. 1(x1)2三、解答題:本大題共5小題,共 52分 .解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟 .13.（本小題12 分）（） 6， 3.-4分（）解：f '( x)3ax22bxc ，-5分f '(1)8,a2,-37由已知表格可得f '(3)解得分0,b2.（）解：由（）可得f '( x

10、)2x24 x62( x3)(x1) ，-8分由 f'( x) 0可得 x(, 1) (3,) ， -9分因?yàn)?f (x) 在 (m, m2) 上單調(diào)遞減，所以僅需 m21 或者 m3 ，-11分所以 m 的取值范為 m 3 或 m3 .-12分14.（本小題10 分）（）證明：欲證平面ABE平面 BCD ，只需證 AB平面 BCD ，-2分由已知 AB BC，只需證 ABDC ， -4分由已知 DC平面 ABC 可得 DC AB 成立，所以平面 ABE平面 BCD .（）證明：假設(shè)在平面ABE 內(nèi)存在直線與 DC 平行， -6分又因?yàn)?DC平面ABE ，所以 DC / / 平面 AB

11、E .又因?yàn)槠矫?ACDE平面 ABE= AE,所以 DC /AE，-8分又因?yàn)?DE /AC ，所以 ACDE 是平行四邊形，所以 AC DE ，這與 AC 2DE 矛盾， -10分所以假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論正確 .15.（本小題12 分）（）解： f '(x)1a1ax ， x 0 .-2分xx由已知可得f '(1) 1a2，解得 a 1.-3分因?yàn)?f (1)1，所以在點(diǎn) (1,f (1) 處的切線方程為y 2x 1 .-4分（）解 1：若對任意 x(0,)，都有 f (x)1ln x6 分1成立，即 a成立 .-x設(shè) g( x)1ln x，-7分xg '( x)ln

12、x22x2，令 g '( x) 0 ，解得 x e，則 g '(x), g( x) 的情況如下：(0,e 2 )e2(e2)xg '(x)0g( x)-9分所以 g( x) 的最小值為 g (e2 )e 2 ，-10分所以，依題意只需實(shí)數(shù)a 滿足ae 2， -11分故所求 a 的取值范圍是(,e 2 . -12分解 2：當(dāng) a0 時(shí)， f '( x) 0恒成立，所以函數(shù)f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0,)又因?yàn)?1a11，所以不符題意，舍 .6分f (1 ) ln(1)aa當(dāng) a0 時(shí)，令 f '( x)0 ，得 x1 -7分.a所以 f '

13、( x), f (x) 隨 x 的變化如下表所示：x(0,1)11)a(,aaf '( x)0f (x)-9分所以 f ( x) 的最大值為 f (1-10分) ，a所以，依題意只需 f (1)ln(1)11 即可，解得 ae 2 .-11分aa綜上， a 的取值范圍是 (, e 2 .-12分16. （本小題 8 分）解：對于集合中最大的數(shù)a4 ，因?yàn)?a4 a4 a4 ， 3a4a4 ， 1a4 a4 -2分所以 a4a4 , a43 ,a4 1 , a4 a1 都屬于該集合 .-4分又因?yàn)? a113a4 ，所以 a4 a4 a4 3a41 a4a1 .-6分所以 a1a4a40

14、 , a4 3 1,-7分即 a10, a44 .-8分17. （本小題 10 分）（）解：由題意知，Ci2( xif ( xi ) 2( xi1 ) ( i 1,2, , n) ，xi所以 2Si xi1( i1,2, n) .-1分xi令 i 1，得2S1x11，x1又 S1 x1 ，且 x1 0，故 x11 .-2分1（）解：令i 2，得 2S2x2，x2又 S2 x1 x2 ， x11 ，且 x2 0，故 x22 1； -3分令 i 3，得 2S3x31，x3又 S3 x1 x2x3 ， x11 ， x221 ，且 x3 0，故 x332 ；-4 分由此猜想， xnnn1(n N+).-5分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n1 時(shí)， x1 1 ，