4高考本源探究之平面解析幾何

1、平面解析幾何一、思維方法結(jié)構(gòu)圖平面解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)中獨(dú)具特色的一門學(xué)科.它的學(xué)科思想是用代數(shù)方法解決幾何問題. 解析幾何課教學(xué)的根本任務(wù)就是要引導(dǎo)學(xué)生能深刻領(lǐng)會(huì)“平面解析幾何”的學(xué)科思想，把握“平面解析幾何”這門學(xué)科的思維方法. 在平面解析幾何的綜合性問題的教學(xué)中，要突出解析幾何的研究問題的一般方法，要能夠明確用代數(shù)方法解決幾何問題的幾個(gè)關(guān)鍵的步驟：（1）要能夠根據(jù)問題的條件，讀出幾何對(duì)象的幾何特征.從兩個(gè)方面去分析：對(duì)于單個(gè)的幾何對(duì)象，要研究它的幾何性質(zhì)，對(duì)于不同的幾何對(duì)象，要關(guān)注它們之間的位置關(guān)系.再此基礎(chǔ)上做出圖形，直觀地表達(dá)出所分析出來的幾何對(duì)象的幾何特征；（2）在明確了幾何對(duì)象的幾

2、何特征的基礎(chǔ)上，要進(jìn)行有效的、合理的代數(shù)化.包括幾何元素的代數(shù)化、位置關(guān)系的代數(shù)化、所要研究問題的目標(biāo)進(jìn)行代數(shù)化等；（3）進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.包括解所聯(lián)系的方程組、消去所引進(jìn)的參數(shù)、運(yùn)用函數(shù)的研究方法解決有關(guān)的最值問題，等等.（4）根據(jù)經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算得到的代數(shù)結(jié)果，分析得出幾何的結(jié)論.平面解析幾何綜合題的教學(xué)，要能夠教出味道，教出東西來.讓學(xué)生在解決問題的過程中去體會(huì)平面解析幾何的基本思想，掌握平面研究解析幾何問題的一般方法.而要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，教師就要打破模式化的束縛，從解決問題的思維層面去引導(dǎo)學(xué)生思考問題與解決問題，要讓學(xué)生能夠從學(xué)科的思維方法角度理解解題的環(huán)節(jié).這種理性地認(rèn)識(shí)我們的解題過程，才能夠

3、真正地讓學(xué)生們掌握研究問題的方法，在教學(xué)中的教的邏輯才能夠得以實(shí)施，學(xué)的邏輯也才能夠讓學(xué)生理解和接受.二、例題1.已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為 2.如何理解：“直線通過點(diǎn)”？3. 如果圓C:總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離為1，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線.設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.5.過定點(diǎn)M（4，2）任作互相垂直的兩條直線和，分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為P，求的最小值.6. 滿足條件的三角形的面積的最大值 7.直線與圓相交于、兩點(diǎn)（其中是實(shí)數(shù)），且是直角三角形(是坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最大值

4、為（ ）A B C D 8.如圖，線段，點(diǎn)在線段上，且，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn).設(shè)， 的面積為.則的定義域?yàn)?； 的零點(diǎn)是 . 9.已知點(diǎn),. 若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 10. 直線與圓交于兩點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱.求 的值. 11.雙曲線，右支上一點(diǎn)M，的內(nèi)切圓與x軸切于P點(diǎn)，則的值是 12. 直線與圓的位置關(guān)系是 13.設(shè)關(guān)于，的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，滿足，求得的取值范圍是A B CD14. 若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 .15 點(diǎn)P在左右焦點(diǎn)分別為的雙曲線上，若則= 16已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在橢圓上，若P，是一個(gè)直角三角形的

5、三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為 17.已知橢圓C:.確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱. 18. 拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍.19.已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上，對(duì)角線所在直線的斜率為1.（）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求直線的方程;（）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值.20.設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)為直線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).21. 已知：在上，直線傾斜角為，且.證明直線過定點(diǎn). 22. 已知橢圓.設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，試判斷與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.23.已知W: （），若 A，B

6、是W上的不同兩點(diǎn)，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，求·的最小值.三、如何教會(huì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的方法如何找到解決數(shù)學(xué)問題的方法呢.過去我強(qiáng)調(diào)比較多的是解決數(shù)學(xué)問題的一般方法，但是這樣的闡述就解決數(shù)學(xué)問題而言還不是全面的.我曾經(jīng)的一個(gè)觀點(diǎn)是解決數(shù)學(xué)問題的方法越少越好，就是針對(duì)解決數(shù)學(xué)問題的一般方法而言的.但是解決數(shù)學(xué)問題只靠一般方法就能解決嗎？換句話說，解決數(shù)學(xué)問題的一般方法是解決哪個(gè)方面的問題？為什么叫一般方法或通性通法呢？我們常見的數(shù)學(xué)問題（這里專指學(xué)生做的數(shù)學(xué)題目）都包含兩個(gè)要素：一個(gè)是這個(gè)問題中涉及到的研究對(duì)象，如函數(shù)的解析式、曲線方程、空間幾何體、數(shù)列的通項(xiàng)等，這個(gè)對(duì)象不一定是一個(gè)，也許是兩個(gè)

7、或更多；還有一個(gè)要素是針對(duì)研究對(duì)象所提出來的需要解決的具體問題.因此，要解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，首先就要對(duì)數(shù)學(xué)問題的對(duì)象（也可以稱之為數(shù)學(xué)問題的主體）進(jìn)行研究.要研究單個(gè)對(duì)象的屬性、性質(zhì)以及兩個(gè)及以上對(duì)象之間的關(guān)系.如：對(duì)于一個(gè)函數(shù)要研究其所有的性質(zhì)；對(duì)于兩個(gè)函數(shù)不僅要研究它們各自的性質(zhì)，還要研究它們的代數(shù)關(guān)系；同樣，對(duì)于兩個(gè)幾何對(duì)象也要研究它們之間的位置關(guān)系，等等.這種方法是研究問題主體的性質(zhì)、屬性及關(guān)系的，也是解決任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題都需要面對(duì)的并加以解決的.從這個(gè)意義上來說，這種研究數(shù)學(xué)問題的方法就是一般方法、通性通法.解決針對(duì)這個(gè)研究對(duì)象的具體問題的方法是怎么得到的呢？在教學(xué)實(shí)踐中，教師經(jīng)常會(huì)結(jié)

8、合例題來講解決問題的方法，通常是對(duì)數(shù)學(xué)問題分類，針對(duì)不同類型的問題對(duì)應(yīng)著不同的方法進(jìn)行教學(xué).為了讓學(xué)生能夠熟練地掌握老師教給的方法，常常需要通過一定量的練習(xí)、考試等手段達(dá)到教學(xué)目的.在這種理念下進(jìn)行的教學(xué)，教師不太關(guān)注解決數(shù)學(xué)問題的方法是如何得到的，而是把教學(xué)的重點(diǎn)放在了學(xué)生會(huì)不會(huì)熟練運(yùn)用方法去解決問題. 課堂上如果涉及這個(gè)方法是從哪里來的時(shí)候，教師經(jīng)常會(huì)說和這個(gè)問題類似的我們什么時(shí)候做過、上周我們講過，所以解決這個(gè)問題的方法是什么等等.這種說辭掩蓋了解決數(shù)學(xué)問題方法的本質(zhì)，就是說方法是老師教的，只要會(huì)用就夠了.如此，在學(xué)生的數(shù)學(xué)思維中，關(guān)于方法的思維活動(dòng)就變得缺乏邏輯，數(shù)學(xué)教學(xué)就很容易演變成

9、對(duì)解題方法熟練運(yùn)用的教學(xué)，解決數(shù)學(xué)問題的思維活動(dòng)越來越偏離數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì).我認(rèn)為，解決數(shù)學(xué)具體問題的方法是數(shù)學(xué)問題的研究對(duì)象的性質(zhì)及關(guān)系轉(zhuǎn)化而來的，是對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)及關(guān)系研究之后并深刻理解的基礎(chǔ)上得到的. 這種方法不是前面我們所說的一般方法，而是在運(yùn)用一般方法之后的解決具體數(shù)學(xué)問題的具體方法.學(xué)生要體會(huì)到：這種具體方法不是老師告訴的，這樣的方法沒有套路可循，這樣的方法是學(xué)生自己根據(jù)對(duì)問題對(duì)象的性質(zhì)及關(guān)系的研究基礎(chǔ)上找到的.如果不分析研究對(duì)象的性質(zhì)及關(guān)系，就不會(huì)有解決數(shù)學(xué)具體問題的具體方法.這樣，我們就看到解決數(shù)學(xué)問題的方法實(shí)際上是兩個(gè)方法，即一般方法和具體方法.一般方法不多，但是，由于對(duì)數(shù)學(xué)具體問題分理解不同，對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系運(yùn)用的角度不同，就出現(xiàn)了各種各樣的具體方法.但是，有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師會(huì)從多種多樣的具體方法中提煉概括，讓學(xué)生感受到這些具體方法都是來源于問題對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系的.如果學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，不再是急急忙忙地進(jìn)行運(yùn)算或套用現(xiàn)成的方法，而是能夠比較從容的對(duì)數(shù)學(xué)問題的研究對(duì)象進(jìn)行理解和深入研究，并能夠在研究的基礎(chǔ)上，找到解決具體問題的具體方法，那么他的解決數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)就是有邏輯的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).這種能力一旦獲得，他就不需要依賴?yán)蠋熓欠裰v過類似的題目，他也不再靠識(shí)別問題的類型和所記憶的方法來解決問題.