高等代數(shù)課件(北大版)第八章 λ-矩陣§8.6

1、2021-12-8數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院若當(dāng)塊若當(dāng)塊 00000000100000001n nj 的初等因子是的初等因子是 0.n 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院00000000100000001n nej 00.nej此即此即 的的 級(jí)行列式因子級(jí)行列式因子. 0ej n又又 有一個(gè)有一個(gè) 級(jí)子式是級(jí)子式是 0ej 1n 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 01010001001001001n 所以所以 的的 級(jí)行列式因子為級(jí)行列式因子為1. 0ej 1n 從而，從而， 的的 級(jí)行列式因子皆為級(jí)行列式因子皆為1.0ej 2,2,1n 0j 的不變因子是的不變因子是: 1101,.nnnd

2、dd 故故 的初等因子是的初等因子是: 0j 0.n 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院若當(dāng)形矩陣若當(dāng)形矩陣 12,sjjjj 其中其中 000100000001iiiiiiikkj 則則j 的全部初等因子是：的全部初等因子是： 1212() , () , () .skkks數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證：證： 的初等因子是的初等因子是 () ,1,2,ikiisijiej 與矩陣與矩陣 等價(jià)等價(jià). 111iki 于是于是 12sejejejej 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院與矩陣與矩陣 d 1212111111skkks 等價(jià)等價(jià). 由定理由定理9， 的全部初等因子是：的全部初等因子是： j1212() , () , () .

3、skkks數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院初等因子唯一確定初等因子唯一確定. .完全被它的級(jí)數(shù)與主對(duì)角線上的元素完全被它的級(jí)數(shù)與主對(duì)角線上的元素 所刻劃，所刻劃，0 而這兩個(gè)數(shù)都反應(yīng)在它的初等因子而這兩個(gè)數(shù)都反應(yīng)在它的初等因子 上上. .0()n 可見(jiàn)，每個(gè)若當(dāng)形矩陣的全部初等因子就是它可見(jiàn)，每個(gè)若當(dāng)形矩陣的全部初等因子就是它的全部若當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的的全部若當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的. . 由于每個(gè)若當(dāng)塊由于每個(gè)若當(dāng)塊因此，因此，若當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定若當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定. .從而，若當(dāng)形矩陣從而，若當(dāng)形矩陣除去其中若當(dāng)塊的排序外被它的除去其中若當(dāng)塊的排序外被它的數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院（定理定理10

4、）每一個(gè)復(fù)矩陣）每一個(gè)復(fù)矩陣a都與一個(gè)若當(dāng)形矩陣都與一個(gè)若當(dāng)形矩陣相似，且這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去若當(dāng)塊的排序外是相似，且這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去若當(dāng)塊的排序外是 被矩陣被矩陣a唯一決定的，它稱為唯一決定的，它稱為a的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.1.數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證：若證：若n 級(jí)復(fù)矩陣級(jí)復(fù)矩陣a的全部初等因子為的全部初等因子為: （*） 1212() , () , () .skkks （其中（其中 可能有相同的，指數(shù)可能有相同的，指數(shù) 12,s 12,sk kk也可能相同的）也可能相同的）.每一個(gè)初等因子每一個(gè)初等因子 對(duì)應(yīng)于一個(gè)若當(dāng)塊對(duì)應(yīng)于一個(gè)若當(dāng)塊 ()iki 000100,1,2,000001ii

5、iiijis 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院令令 12sjjjj 則則 j 的初等因子也是（的初等因子也是（*），），故故j 與與a相似相似. 即即j與與a有相同的初等因子有相同的初等因子.數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院變換，在變換，在 v中必定存在一組基，使中必定存在一組基，使 在這組基下在這組基下 的矩陣是若當(dāng)形矩陣，并且這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去的矩陣是若當(dāng)形矩陣，并且這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去2.定理定理10換成線性變換的語(yǔ)言即為換成線性變換的語(yǔ)言即為（定理定理11）設(shè)是復(fù)數(shù)域上）設(shè)是復(fù)數(shù)域上n維線性空間維線性空間v的線性的線性 若當(dāng)塊的排序外是被唯一確定的若當(dāng)塊的排序外是被唯一確定的. 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院的初等因子全是一次

6、的的初等因子全是一次的.a3.特殊情形特殊情形（定理定理12）復(fù)矩陣）復(fù)矩陣 a與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似的不變因子沒(méi)有重根的不變因子沒(méi)有重根.a（定理定理13）復(fù)矩陣）復(fù)矩陣 a與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4.n 階復(fù)矩陣階復(fù)矩陣a的最小多項(xiàng)式就是的最小多項(xiàng)式就是a的最后一個(gè)的最后一個(gè)不變因子不變因子.( )nd 證：設(shè)證：設(shè)a的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是12,sjjjj 1.siinn 其中其中 000100,000001iiiiiiinnj 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 ,1,2, .iniis 由一知，的最小多項(xiàng)式是由一知，的最小多項(xiàng)式是ij由不變因子與初等因子的關(guān)系知，由不

7、變因子與初等因子的關(guān)系知，1212( )() , () , ().skkknsd由由7.97.9中引理中引理3 3之推論之推論知，知，( )nd 為為a的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式.又相似矩陣具有相同的最小多項(xiàng)式與不變因子，又相似矩陣具有相同的最小多項(xiàng)式與不變因子，所以，所以，a的最小多項(xiàng)是它的最后一個(gè)不變因子的最小多項(xiàng)是它的最后一個(gè)不變因子( ).nd 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例1、求矩陣、求矩陣a的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 解：解： 11 233 622 4a 112336224ea 211220 220 21210 2202 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院21 000 0202 1 00000 02 a的初等因子為的初等因子為 ,2 . 故故 a的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 0 0 00 0 0 .0 0 221000 2202 21 000 0200 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院求求a的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 例例2、已知、已知12級(jí)矩陣級(jí)矩陣a的不變因子為的不變因子為 2222291,1,1,(1) ,(1)1 ,11 (1) 個(gè)個(gè) 解：依題意，解：依題意，a的初等因子為的初等因子為 2221,1,1,1 , 221 ,ii數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院a的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 1 01 11 01 11 01 1