chenpc文件下載數(shù)理方法拉氏變換PPT課件

1、 第六章第六章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換(Laplace (Laplace Transform)Transform) 6.1 6.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、定義：一、定義： 12-、針對雙邊信號f t ；傅里葉變換的局限：、f t 在任一有限區(qū)間滿足，且在，上絕狄里希利條對可積。件分段連續(xù)且有有限個第一類間斷點左右極限存在 tef t當(dāng)f t 不滿足條件時，需做衰減處理:g t。 1=2=i ti tGg t edtg tGed正變換傅里葉變換反變換 1=2=itti tGf t edtef tGed正變換反變換第1頁/共27頁 2pifpG i=1=2 ip tip tfpf t ed

2、tf tfp e dp 正變換拉普拉斯變換反變換 0:00;0tf tf tttf tMeM原函數(shù)1 在有限區(qū)間上只有有限個第一類間斷點，分段連續(xù)且光滑；2 單邊信號：3 隨著 的增大，的模增長得比某個指數(shù)慢，即： f t。 0:lim0;Refpfpfppfp像函數(shù)存在且當(dāng)時，解析。一、定義：一、定義：第2頁/共27頁一、定義：一、定義：說明： lim0fpfp1存在且； 0p tfpf t edt 000010tttMMfpf t edtMeedt 0lim0fpfppfp一致收斂存在當(dāng)Re時，0Re p1 fp2解析： 0p tfpf t edt dd=dpdp 0p tf tedt p

3、第3頁/共27頁 0tf tt edt 一、定義：一、定義：00ttMet edt 00tMt edt020ReMp01210M 0p tfpf t edt dd一致收斂dpdp fpfpd處處存在，即解析。dp第4頁/共27頁一、定義：一、定義： 10,00tH tt例題：階梯函數(shù)求L H t。 01Re0p tp tH tH t edtedtpp 解：L H tt01 ns tt e H ts例題：求L為常數(shù)。 ns tt e H t解：Lns tp tt e edt 0=p s tnt edt0=np s tedt0d= -dp1npsd= -dp1!nnps=ReReps第5頁/共27

4、頁二、性質(zhì)：二、性質(zhì)：1 1、線性：、線性： 111 1221 12222ftfpc ftc ftc fpc fpftfp證明： 1 1221 122=p tL c f tc ftc f tc ftedt 1122=p tp tcf tedtcftedt 1 122=c fpc fp如： 1s te H tps 1112ititeH tpieH tpi 2222cossinpt H tpt H tp 122 122i第6頁/共27頁二、性質(zhì)：二、性質(zhì)：2 2、導(dǎo)數(shù)：、導(dǎo)數(shù)： 1100nnnknkkf tfpftp fpp f 證明：證明： 0p tL ftft edt 0p tedf t 00

5、|p tp tef tpf t edt 0p fpfRe0p 0L ftp L ftf 0 0pp fpff 20 0p fppff 2-12-10=0nnnknkkftpfpp f 設(shè)L，則：第7頁/共27頁 -1-1=0nnnftp L ftfL二、性質(zhì)：二、性質(zhì)： 22-1-10=00nnknnkkppfpp ff 22-110=00nnknnkkp fppff 1k=k+11-1 1=00nnknnkkp fpp ff 110=0nnknkkp fpp f 第8頁/共27頁如：如： 22cospt H tp cossincost H tt H ttt 0coscos|sin1tp Lt

6、 H tt H tLt H t 222sin1pLt H tp 22sinLt H tp 22sint H tp二、性質(zhì)：二、性質(zhì)： sint H tt 第9頁/共27頁二、性質(zhì)：二、性質(zhì)：3 3、積分：、積分： 0tfpf tfpfdp證明：證明： 0ttfd tf t 0ppfp 00fppp如：如： 1H tp 201ttH t dtp23022ttt dtp110!tnnnntntdtpRe0p 第10頁/共27頁二、性質(zhì)：二、性質(zhì)：4 4、相似：、相似： 10pf tfpf atfaaa證明：證明：0p tL f atf at edt 0pa taa tf a t eda 01pta

7、ttaf tedta1pfaa如：如：22221coscos11pppttppp第11頁/共27頁二、性質(zhì)：二、性質(zhì)：5 5、平移：、平移： 00p ttf ttefpf tfpef tfp 證明證明: (1): (1)時域平移時域平移000p tL f ttf ttedt 00p ttf ttedtf t 為單邊信號 000tt tp ttf tedt 00p tp tef t edt 0p tefp 如：如： 1ftt012T f tt012TT32T2T52T第12頁/共27頁二、性質(zhì)：二、性質(zhì)： 11020Ttft 其他 2TH tH t 2111Tpfpepp211Tpep 10kf

8、 tftkT 10pkTkfpefp 111pTfpe21111TppTeep211Tppe(2)(2)復(fù)頻域平移：復(fù)頻域平移： 00ptttp tL ef tef t edtf t edtfp 第13頁/共27頁如：如：二、性質(zhì)：二、性質(zhì)： 2222coscostppt H tet H tpp 6 6、卷積定理：、卷積定理： 11121222*ftfpftftfpfpftfp 1212*ftftfftd卷積證明證明: : 1212*ftftLfftdL 12fL ftd 12pfefp d 12fpfp第14頁/共27頁例題：例題： 1111fpp ppp二、性質(zhì)：二、性質(zhì)：10p p求的原

9、函數(shù)。解：法一解：法一 11tf teH t 法二法二 1111*f tLLpp *tH teH t tHeH td 00000ttHedH ttH tt 第15頁/共27頁二、性質(zhì)：二、性質(zhì)： 1teH t 例題：例題： 22pp求f p的原函數(shù)。解：解： 11221*f tLLpp *sinteH tt H t sinteH tHd 000sin00ttHedH ttH tt 0sintteedH t 第16頁/共27頁二、性質(zhì)：二、性質(zhì)：001sinsinttedd e 001sin|costteed 01sincosttted e 0201sincos|sintttteeed 201s

10、incos1sintttteteed 222201sincossintttteteed 222021sincossin1tttteteed 第17頁/共27頁22sincostttete二、性質(zhì)：二、性質(zhì)： 22sincostttef tH t 6.2 6.2 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換一、反演公式：一、反演公式： -i1=2 iip tf tfpedp 0-i1=Re2 ia ip tafpedppa 1=2 iRp tp tlCfpedpfpedpImp Re pRCa00ABCDER第18頁/共27頁 Rp tCfpedp3cos22RteR d lim0pfppfp 當(dāng)時，為任意小正

11、數(shù)33coscoscos2223222RtRtRtRededed 一、反演公式：一、反演公式：3coscoscos022200RtRtRtRededed 0sinsinsin00RtRtRtRededed 3cos22RtfpeR d第19頁/共27頁一、反演公式：一、反演公式：sin20212sin2當(dāng)0時，0,sinR 當(dāng)時，sinsinsin000RtRtRtRededed sinsin20022RtRtReded 2sin2002RtRtReded 22002Rta tReded 212a tR tReeRt 21a tR teaet 第20頁/共27頁一、反演公式：一、反演公式： =

12、0Rp tCRfpedp 當(dāng)時， Rekp tppklf ts fpe內(nèi)二、拉普拉斯反變換的計算：二、拉普拉斯反變換的計算：1 1、已知公式法：、已知公式法： 1!s tnnnet H tps2Ra teat第21頁/共27頁二、拉普拉斯反變換的計算：二、拉普拉斯反變換的計算： 32222936=99pppfppp例題：求的原函數(shù)。 32222936=99pppfppp=3333ABCDpipipp解： 311=3|26piApifpi 311=3|26piBpifpi 31=3|2pCpfp 31=3|2pDpfp第22頁/共27頁二、拉普拉斯反變換的計算：二、拉普拉斯反變換的計算： 211

13、1111126262222=3333933iipfppipippppp 22costpH tp 22sint H tp 1teH tp 33111= cos 3sin 3322ttf ttteeH t2 2、留數(shù)法：、留數(shù)法： -i1=2 iip tf tfp edp 2211132293933pppppImp Re pRC0i i Rekp tppks fpe第23頁/共27頁 22221=Afppapl例題：求的原函數(shù)。二、拉普拉斯反變換的計算：二、拉普拉斯反變換的計算：解： =ReRep tp tpip if ts fpes fpe ReRep tp taap ipills fpes fpe 22221122ititAeAeiiaaiill 22221122aaititllAeAeaaaaiiiillllImp Re pRC0i i alal第24頁/共27頁2222sinsinAAlattalaall221sinsinl Aaattallal二、拉普拉斯反變換的計算：二、拉普拉斯反變換的計算： 6.3 6.3 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用關(guān)鍵：關(guān)鍵：微分方程微分方程代數(shù)方程代數(shù)方程拉普拉斯變換拉普拉斯變換例題：求解初值問題：例題：求解初值問題： 0cos0 00m xtk