概率論與數(shù)理統(tǒng)計 2.3 幾種常用的連續(xù)型分布

1、一一. .均勻分布均勻分布如果連續(xù)型隨機變量如果連續(xù)型隨機變量X X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為1,()0,axbp xbaothers 則稱則稱X X服從服從a,ba,b上的均勻分布，記作上的均勻分布，記作 , XU a b 2.3 幾種常用的連續(xù)型分布幾種常用的連續(xù)型分布 , XU a b若若則對任意則對任意, , a b 1()PXdxbaba 該式說明該式說明 X 取值于取值于a, b 中任一小區(qū)間的概率與該小區(qū)間中任一小區(qū)間的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與該小區(qū)間的具體位置無關(guān)。的長度成正比，而與該小區(qū)間的具體位置無關(guān)。 , XU a b例例1 1 設(shè)設(shè) , , 求它的分布函數(shù)

2、。求它的分布函數(shù)。解解 X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為1,()0,axbp xbaothers xa 當(dāng)時，( )( )0 xF xp t dt 1( )( )xxaxaF xp t dtdtbaba axb當(dāng)時,bx 當(dāng)時,1( )( )001xbaF xp t dtdtba 0,(),1,xaxaF xaxbbaxb 例例2 2 長途汽車起點站于每時的長途汽車起點站于每時的1010分、分、2525分、分、5555分發(fā)車分發(fā)車, ,設(shè)乘客不知發(fā)車時間設(shè)乘客不知發(fā)車時間, ,于每小時的任意時刻隨機地到達車于每小時的任意時刻隨機地到達車站站, ,求乘客候車時間超過求乘客候車時間超過1010分鐘的

3、概率分鐘的概率.( )1015P APX 1545解解 設(shè) A =“乘客候車時間超過乘客候車時間超過1010分鐘分鐘”5 20 51602 X X表示乘客于某時過表示乘客于某時過X X分鐘到達分鐘到達, ,則則X X U(0,60)U(0,60)2545PX 5560PXx()px0二二. . 指數(shù)分布指數(shù)分布如果連續(xù)型隨機變量如果連續(xù)型隨機變量X X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為,0()0,xexp xothers 其中其中 為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。記為的指數(shù)分布。記為0 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為1,0()0,xexF xothers ( ).X

4、Exp 指數(shù)分布是關(guān)于壽命和隨機服務(wù)系統(tǒng)中的等候時間一類指數(shù)分布是關(guān)于壽命和隨機服務(wù)系統(tǒng)中的等候時間一類隨機變量的概率模型隨機變量的概率模型. .它具有無記憶性它具有無記憶性. .即即 |p XstXs (0,0)p Xtst證明證明(,)|()P Xst Xsp XstXsP Xs ()1()()1( )P XstF stP XsF s ()()sttseeP Xte 例例3 3 電子元件的壽命電子元件的壽命X(X(年）年）服從參數(shù)為服從參數(shù)為3的指數(shù)分布的指數(shù)分布 (1) 求該電子元件壽命超過求該電子元件壽命超過2年的概率。年的概率。 (2) 已知該電子元件已使用了已知該電子元件已使用了1

5、.5年，求它還能使用兩年的概率年，求它還能使用兩年的概率為多少？為多少？解解330( )00,xexp xx (1) 2p X 6(2)P Xe 3623.xedx e (2) 3.5|1.5P XX三三. .正態(tài)分布正態(tài)分布如果連續(xù)型隨機變量如果連續(xù)型隨機變量X X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為22()21( ), 2xp xex 的正態(tài)分布的正態(tài)分布, ,記作記作2( ,)XN 其中其中 ,(0) , ( 0) 為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為22()21( )2xp xe 具有以下性質(zhì)：具有以下性質(zhì)：3( )yp xx（ ）的圖形在處有拐點，(1) 當(dāng)時取得最大值x

6、1( )2p 2( )yp xx （ ）的圖形關(guān)于直線對稱；x且且以以 軸軸為為漸漸近近線線。 若固定若固定 ，改變，改變 值，將改變密度曲線的平緩陡峭度。注意值，將改變密度曲線的平緩陡峭度。注意密度函數(shù)的最大值為密度函數(shù)的最大值為1( )2p 22()21( ) ()2txF xedtx 正態(tài)分布正態(tài)分布 的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： 2( ,)XN 特別特別地，地， 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度函其概率密度函(0,1)XN數(shù)記為數(shù)記為221( )2xxex ， 221( ) 2() txxxedt 分布函數(shù)記為分布函數(shù)記為( )x 有以下重要性質(zhì)有以下重要性質(zhì):(1) (

7、0 )0 .5 (2) ()1( )xx ，(3) |2( )1 (0)PXccc 無論是無論是正態(tài)分布正態(tài)分布還是還是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, ,分布函數(shù)的積分結(jié)果分布函數(shù)的積分結(jié)果都沒有辦法用初等函數(shù)表示出來都沒有辦法用初等函數(shù)表示出來. .那怎樣來計算他們呢那怎樣來計算他們呢? 例如例如：若若YN(0,1),查表得查表得 (0.5)=0.6915;P1.5Y2.65= (2.65) (1. 5)=0.9960 0.9332=0.0328 一般的正態(tài)分布，總可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，一般的正態(tài)分布，總可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，進行概率的計算進行概率的計算.可以證明可以證明: : 若若XN(

8、, 2), 則則 ()().XxFxP Xx 事實上事實上:22()21()2txXFxedt 令，得ty 22()()2xyXxFxedy 例例4 4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 XN(1,22), 求求 P(3X1.6)解解-31.6 (1.6)( 3)1.6( 1)3( 1) ()()22 (1.3)( 1)(1.3)1(1) 0.903210.84130.7445PXFF 本題結(jié)果稱為本題結(jié)果稱為“3 原則原則”. .在應(yīng)用中在應(yīng)用中, ,通常認(rèn)為通常認(rèn)為X只取只取( 3 , +3 )中的值中的值. .使用這一性質(zhì)所引起的偏差概率還使用這一性質(zhì)所引起的偏差概率還不超過千分之三不超過千分之三.

9、 . 如在質(zhì)量控制中如在質(zhì)量控制中,常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3 作兩條線作兩條線,當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報警報.表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.例例5 5 若若 X N( , 2), 求求 P(| X | 3 ). 解解 P(| X | 3 )= P( 3 Xh)183.98(cm).(2) 該問題是該問題是100重貝努利試驗中的概率計算問題重貝努利試驗中的概率計算問題. .=1- (2)=0.0228 設(shè)設(shè)Y為為100個男子中身高超過個男子中身高超過182cm的人數(shù)的人數(shù), ,故故Y B(100, P),所求概率為所求概率為(

10、2)(0)(1)(2)P YP YP YP Y (182)令 pP X1(182)182-1701- ()6P X02.282.2822.282.282.282.28(2)0.60130!1!2!eeeP Y 由于由于n =100較大較大,p=0.0228較小較小,從而可利用泊松分布作近從而可利用泊松分布作近似計算似計算例例7 設(shè)生產(chǎn)某種零件的電源電壓為隨機變量設(shè)生產(chǎn)某種零件的電源電壓為隨機變量2(220,25 )XN且 ，在在200X “”,三種狀態(tài)下，生產(chǎn)出的零件為次品的概率分別為三種狀態(tài)下，生產(chǎn)出的零件為次品的概率分別為0.1，0.01X，0.2. 現(xiàn)用此設(shè)備生產(chǎn)了現(xiàn)用此設(shè)備生產(chǎn)了3個零

11、件，求其中恰有一個為次品個零件，求其中恰有一個為次品的概率的概率. 解解 先求出一個零件為次品的概率，設(shè)先求出一個零件為次品的概率，設(shè) A=“生產(chǎn)的一個生產(chǎn)的一個零件為次品零件為次品”，則利用全概率公式，有，則利用全概率公式，有( )(200)(|200)(200240)(|200240)+ (240)(|240)pP AP XP A XPXP AXP XP A X240X 和“”240X“200”4444() 0.1+ ( )() 0.01 1( ) 0.25555 0.2119 0.1 2 0.7881 1 0.01 0.2119 0.2 0.069p 又設(shè)又設(shè)Y表示表示3個零件中的次品數(shù)，則個零件中的次品數(shù)，則(3, )YBp故所求為故所求為223(1)(1)P YC pp又設(shè)又設(shè)Y表示表示3個零件中的次品數(shù)，則個零件中的次品數(shù)，則(3, )YBp所求為所求為223(1)(1)P YC pp四四. 伽瑪分布伽瑪分布（一）伽瑪函數(shù)（一）伽瑪函數(shù)10( ) 0 xxe dx（）伽瑪函數(shù)具有如下性質(zhì)：伽瑪函數(shù)具有如下性質(zhì)：11(1)1,2（）（2）2(1)( )（ ） 對自然數(shù)對自然數(shù)n有有(1)( )!nnnn （二）伽瑪分布伽瑪分布若隨機變量若隨機變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為1, 0( )( )