(完整版)高中數(shù)學(xué)必修一三角函數(shù)圖像性質(zhì)總結(jié)(精華版)

1、x正弦、余弦、正切函數(shù)圖象和性質(zhì)函 數(shù)正弦函數(shù) y sinx,x R余弦函數(shù) y cos x, x R正切函數(shù)y tan x, x k2有界性有界有界無界疋義域(,)(,)x | x k , k Z2值 域1,1當(dāng) x 2k (k Z)時(shí)，ymax12當(dāng) x- 2k (k Z)時(shí)，2ymin11,1當(dāng) x 2k (k Z)時(shí)，ymax1當(dāng) x2k (k Z)時(shí)，ymin1(,)周 期性是周期函數(shù)，最小正周期T 2是周期函數(shù)，最小正周期T 2T奇 偶性奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱單 調(diào)性在2k，一 2k ,(k Z)2 2上是單調(diào)增函數(shù)在一 2k ,2

2、k , (k Z)2 2上是單調(diào)減函數(shù)在2k ,2 2k , (k Z)上是單調(diào)增函數(shù)在2k ,2k , (k Z)上是單調(diào)減函數(shù)在(一k , k ),(k Z)2 2上是單調(diào)增函數(shù)對 稱軸x k,(k Z)2x k ,(k Z)對 稱中 心(k ,0) (k Z)(k-,0) (k Z)2kCy,0) (k Z)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像-5372 ”-丁1T Vx2*伽-4-7-3 、一-2-3-1o253 J. 4222y=ta nxJJJ1Jrjr yy；11/ /I r / /yy=cotx111i1!iI13f-21fJ1Jffo2fIIi1I LoIIX21三角函數(shù)的性質(zhì)

3、1 定義域與值域2、奇偶性(1)基本函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)：y = sinx , y= tanx ；偶函數(shù)：y= cosx.八黒 -型三角函數(shù)的奇偶性（i）g（x丄 丁（xR）(x)為偶函數(shù)-U 山呂 in（曲+ 訓(xùn)+ e二匕T +七W E）由此得-同理 或勸=丿血(阪+呦肚丘)為奇函數(shù)u 如卩二 0 呂貯=匕吋上亡)丘） Q.I 二一 L : C 2. 為偶函數(shù)；.匚 一一.S 為奇函數(shù)O 爐=Rr+ (he 7)3、周期性1)基本公式(i)基本三角函數(shù)的周期y= sinx , y= cosx 的周期為; y = tanx , y = cotx的周期為；T(ii) ，：型三角函數(shù)的周期尹=幻 n

4、(購 + 朝 +匕尸=+爐)+上的周期為同y=cosxP =tan（處: + &） +匕尸二（處卄洞+& 的周期為 91 .（2）認(rèn)知（i） 卜巳-，?|型函數(shù)的周期y = pisin(伽+ 劍| j = A cos(d&r+ 4?)|的周期為7Ty = |j4tan(dft + 訓(xùn),y=血 ot伽 + 訓(xùn)的周期為 = |了（曲+卩）+円往無0）的周期=|血（血工+朝胡=|1（：0（處+上|y = |tan(&r + ) +円 j =兇訶(你+昉+刈的周期為；7T的周期為均同它們不加絕對值時(shí)的周期相同，即對 數(shù)的周期不變注意這一點(diǎn)與（i）的區(qū)別（ii）若函數(shù)為-

5、二 型兩位函數(shù)之和，則探求周期適于“最小公倍數(shù)法”.（iii）探求其它“雜”三角函數(shù)的周期，基本策略是試驗(yàn)一一猜想一一證明（3）特殊情形研究y 二門 彳J的解析式施加絕對值后，該函JT(i)y=tanxcotx 的最小正周期為；y = sin z|+|co5z|7T的最小正周期為二；7T（iii）y = sin4X + cos4x 的最小正周期為 二.由此領(lǐng)悟“最小公倍數(shù)法”的適用類型，以防施錯(cuò)對象 .4、單調(diào)性（1） 基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（族）依從三角函數(shù)圖象識證“三部曲”：1選周期：在原點(diǎn)附近選取那個(gè)包含全部銳角，單調(diào)區(qū)間完整，并且最好關(guān)于原點(diǎn)對稱的 一個(gè)周期；2寫特解：在所選周期內(nèi)寫出

6、函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間）；3獲通解：在中所得特解區(qū)間兩端加上有關(guān)函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，即得這一函數(shù) 的增區(qū)間族（或減區(qū)間族）循著上述三部曲，便可得出課本中規(guī)范的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間族.揭示：上述“三部曲”也適合于尋求簡單三角不等式的解集或探求三角函數(shù)的定義域（2）丁 型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2，此類三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的尋求“三部曲”為1換元、分解：令 u=，將所給函數(shù)分解為內(nèi)、外兩層：y 二 f (u), u ;2套用公式：根據(jù)對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知，確定出f (u)的單調(diào)性，而后利用(1)中公式寫出關(guān)于 u 的不等式；3還原、結(jié)論：將 u=A 代入中 u 的不等式，解出 x 的取值范圍，并用集合

7、或區(qū)間 形成結(jié)論正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):/y si nxy cosxy tanxycotxy(A、As in x 0)定義域RRx | x R且x k 1 ,k Zx|xR 且 x k ,k ZR值域1, 11, 1RRA, A周期性222奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)2k 1 ,k , k2 2k,k1 上為減函2 2k ,2k ;數(shù) (kZ )2k2(A),2k 上為增函上為增函數(shù)2數(shù)(k Z )2k1上為增函2k ,2( A(A)數(shù)；2k 1 單調(diào)性上為減函上為增函數(shù)；【22k ,數(shù)2k3(k Z )2(A),2k 22k3上為減函2_ / A數(shù)

8、(k Z )(A)上為減函數(shù)(kZ )注意：ysinx與y sinx的單調(diào)性正好相反；y cosx與y cosx的單調(diào)性也同樣相反.一般sin x與y COS x的周期是.y sin( x )或y cos( x )的周期為2(T2(k Z)，對稱中心(k ,0) ;y cos( x )的對稱軸方o) ；y tan( x )的對稱中心(,0).,o2地，若y f(x)在a,b上遞增(減)，則y f (x)在a,b上遞減(增).2，20)的周期T .如圖，翻折無效).y sin( x )的對稱軸方程是程是x k(k Z)，對稱中心(k-2關(guān)于原點(diǎn)對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù):f(

9、x)f (x)，奇函數(shù)：f( x) f (x)奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函數(shù),tan(x1）是非奇非偶.（定義域不3關(guān)于原點(diǎn)對稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若 0 x 的定義域，則f （x）一定有f（0）0.(0 x 的定義域，貝 U 無此性質(zhì)）y sinx不是周期函數(shù)；ysin x為周期函數(shù)（T）;cosx是周期函數(shù)（如圖）；ycos x為周期函數(shù)（T）；1的周期為 （如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期,例如:y f(x) 5f (x k), kR.y a cosb sin.a2 2b sin() cos二、形如yA sin( x）的函數(shù)：11、幾個(gè)物理量：A振幅；f頻率T

10、2、函數(shù)yAsin( x）表達(dá)式的確疋：定，如f（x）A sin( x)(A0,0,|相位;|2）的圖象如圖所示，則f（x）1/2y=| cos2x+1/21 圖象初相;由圖象上的特殊點(diǎn)確3 .函數(shù)y A sin( x)B (其中 A 0,0）最大值是 A B，最小值是 B A，周期是J 最小正周期Tn頻率是f廠相位是x，初相是其圖象的對稱軸是直線xk2(k Z)，凡5當(dāng)tan tan 1,k y（k Z）;tan tan 1,kfk Z）.6y cosx與y sin x 2k是同一函數(shù)，而y （ x）是偶函數(shù)，貝 U21y （ x ） sin（ x k ） cos（ x）.27函數(shù) y ta

11、nx 在 R 上為增函數(shù).（為只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域,y tanx 為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的.定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是f （x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件:y cos 2 x原點(diǎn)對稱cos( 2x) cos 2x是定義域y= cos|x|圖象y(答: f(x)A 由最值確定；由周期確定;cos2x2（周期的倒數(shù)）;x2sin(15x -);b有a2b2y.a22是該圖象與直線y B的交點(diǎn)都是該圖象的對稱中心4、研究函數(shù)y Asin（ x ）性質(zhì)的方法：類比于研究y sin x的性質(zhì)，只需將y Asin（ x ）中的 x 看成y sinx中的x，但在求y As

12、in（ x ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意 A 和 的 符號，通過誘導(dǎo)公式先將 化正。如A。，。）的簡圖，是將x看著一個(gè)整體，先令x忖牛2列表求出對應(yīng)的x的值 與y的值，用平滑曲線連結(jié)各點(diǎn)，即可得到其在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。圖象變換法： 這是作函數(shù)具體變換方法：三角函數(shù)圖象的平移和伸縮函數(shù)y Asin（ x ） k的圖象與函數(shù)y sin x的圖象之間可以通過變化A， ，k來相互轉(zhuǎn)化.A影響圖象的形狀，k影響圖象與x軸交點(diǎn)的位置.由A引起的變換稱振幅變換，由 引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由 引起的變換稱 相位變換，由k引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換.既可以將三角函數(shù)的圖象先平 移

13、后伸縮也可以將其先伸縮后平移.（一）先平移后伸縮向左（0）或向右（0）ysin x的圖象平移1|個(gè)單位長度得ysin (x)6.函數(shù)y Asin(x )k的圖象與y si nx圖象間的關(guān)系：圖象變換（1）振幅變換 ysin x, xR所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（A 1）或縮短（0 A 1）到原來的 A 倍y A sinx,x R所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（11）或伸長（0 1）到原來的倍（2）周期變換 ysin x, xRysin x, x R（3）相位變換 ysin x, xR所有點(diǎn)向左（0）或向右（0）平移 1 1 個(gè)單位長度ysin (x),x R簡圖常用方法=由ysin x圖象推y Asin( x）k

14、的圖象上下平移（縱向平移變換）:是由 k 的變化引起的.k 0,上移；kv0,下移（1）函數(shù)y sin（ 2x ）的遞減區(qū)間是3（2）y logicos（-一）的遞減區(qū)間是_234一一(答: k（答：6k51234,k,6k5、函數(shù)y Asin（ x ）圖象的畫法：（1 ）利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)(k123T(kAsin( xZ）；Z）；),x R(其中ysin (x）的圖象橫坐標(biāo)伸長（0 1）1到原來的一（縱坐標(biāo)不變）得ysin( x )ysin( x）的圖象縱坐標(biāo)伸長（A 1）或縮短（0A1）為原來的 A 倍（橫坐標(biāo)不變）得yAsin( x)yAsi n(向上（k 0）或向下（k 0）x）的圖

15、象平移 k 個(gè)單位長度得yAsin(x )k圖象（二）先伸縮后平移縱坐標(biāo)伸長（A 1）或縮短（0 A 1）y sin x的圖象為原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）得yAsinx.橫坐標(biāo)伸長（01）或縮短（1）- . .yAsinx的圖象到原來的丄（丄（縱坐標(biāo)不變）得ysin（x）向上（k 0）或向下（k 0）y Asinx（ x ）的圖象平移|k|個(gè)單位長度得y Asin（ x ） k圖象無論哪種變形，請切記每一個(gè)變換總是對字母x 而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 特別注意，若由 y sin x 得到 y sin x的圖象，則向左函數(shù) y 2si n（2x -） 1 的圖象

16、經(jīng)過怎樣的變換才能得到-）1向上平移 1 個(gè)單位得y 2sin（2x -）的圖象，再向橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的 2 倍得y2sinx的圖象，最后將縱1坐標(biāo)縮小到原來的丄即得y sin x的圖象）;2三、正切函數(shù) y tanx 的圖象和性質(zhì)：（1 ）定義域：x|x k ,k Z。（2）值域是 R,在上面定義域上無最大值也無最小值；2（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線 y a 的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期 絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其 周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，k - k k Z內(nèi)都2 2；上質(zhì)具有單調(diào)性。三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì),0k Z2對稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線與（4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是，特別提醒：正（余）切型函數(shù)的x軸的交點(diǎn)，但無對稱軸，這是y Asin( x)的圖象向左（0）或向右（0）平移個(gè)單位得y Asinx( x或向右平移應(yīng)平移| |個(gè)單位，例如:y sinx的圖象？（答：y 2sin