第06講 動(dòng)點(diǎn)問題專題-備考2022年中考數(shù)學(xué)《二輪沖刺核心重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)15講》(全國(guó)通用)解析版

1、硬核：狙擊2020中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/熱點(diǎn)一、行程問題公式路程=速度×時(shí)間，即二、數(shù)軸工具1. 數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2. 數(shù)軸（坐標(biāo)軸）上任意兩點(diǎn)間的距離表示；3. 數(shù)軸（坐標(biāo)軸）知道一點(diǎn)及其這一點(diǎn)與另一點(diǎn)之間的距離，表示另一點(diǎn). 1. 針對(duì)不同的情況，多畫圖，充分利用數(shù)形結(jié)合的與分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題；2. 求出所有動(dòng)點(diǎn)在“起點(diǎn)、拐點(diǎn)、終點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的時(shí)間；3. 可借助數(shù)軸表示出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的時(shí)間，憑借各關(guān)鍵點(diǎn)的時(shí)間，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)；4. 畫出每種情形下的圖形，結(jié)合題意進(jìn)行解題；5. 掌握動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過的路程與相關(guān)線段長(zhǎng)度之間的區(qū)別與聯(lián)系.6. 解題的關(guān)鍵是從運(yùn)動(dòng)

2、圖與描述圖中獲取信息，根據(jù)圖象確定x的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與函數(shù)的關(guān)系，同時(shí)關(guān)注圖象不同情況的討論這類問題往往探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中的變化規(guī)律，如等量關(guān)系、圖形的特殊位置、圖形間的特殊關(guān)系等，且體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想【例題1】（2019大連）甲、乙兩人沿同一條直路走步，如果兩人分別從這條直路上的，兩處同時(shí)出發(fā)，都以不變的速度相向而行，圖1是甲離開處后行走的路程（單位：與行走時(shí)間（單位：的函數(shù)圖象，圖2是甲、乙兩人之間的距離（單位：與甲行走時(shí)間（單位：的函數(shù)圖象，則【解析】從圖1，可見甲的速度為，從圖2可以看出，當(dāng)時(shí)，二人相遇，即：，解得：乙的速度，乙的速度快，從圖2看出乙用了分鐘走完全程，甲用了分鐘

3、走完全程，故答案為【例題2】已知，矩形中，的垂直平分線分別交、與點(diǎn)、，垂足為（1）如圖1，連接、求證四邊形為菱形，并求的長(zhǎng)；（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)自停止，點(diǎn)自停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，已知點(diǎn)的速度為每秒，點(diǎn)的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值【解答】（1）證明：四邊形是矩形，的垂直平分線，在和中，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，設(shè)，則，四邊形是矩形，在中，由勾股定理得：，解得，即；（2）顯然當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在上，此時(shí)、四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在或上或在，在時(shí)不構(gòu)成平行四邊形，也不能構(gòu)成平行四邊形因此只

4、有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)的速度為每秒，點(diǎn)的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，解得以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，秒【例題3】將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相等的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒（1）用含的代數(shù)式表示，；是否存在，使得與平行？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由（2）求面積的最大值（3）如圖，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，且點(diǎn)的坐標(biāo)，求的值【解析】（1），四邊形是矩形，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿向終點(diǎn)

5、運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相等的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒時(shí)，則；存在，與平行，當(dāng)時(shí)，即，；（2），運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3），設(shè)，則，在中，【例題4】（2019春西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向以的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)（1）若動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒第一次垂直于？（2）若動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，且其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)，那么運(yùn)動(dòng)到第幾秒鐘時(shí)，點(diǎn)、以及的邊上一點(diǎn)恰能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？求出時(shí)間并請(qǐng)指出此時(shí)點(diǎn)的具體位置【解析】（1）如圖1，；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，四邊形是平

6、行四邊形，且，是等邊三角形，點(diǎn)在上，且離點(diǎn)；如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，四邊形是平行四邊形，且，是等邊三角形，點(diǎn)在上，且離點(diǎn)；如圖4，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，四邊形是平行四邊形，且，是等邊三角形，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意舍去；綜上所述：運(yùn)動(dòng)到第1秒或第3秒時(shí)，點(diǎn)、以及的邊上一點(diǎn)恰能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，點(diǎn)在上，離點(diǎn)或點(diǎn)在上，離點(diǎn)【例題5】（2019蘇州）已知矩形中，點(diǎn)為對(duì)角線上的一點(diǎn)，且如圖，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著的方向勻速運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，與的函數(shù)關(guān)系如圖所示（1）直接寫出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，的長(zhǎng)度為；（2）如圖，動(dòng)點(diǎn)重新從點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上按原來的速度和方向勻速運(yùn)動(dòng)，同

7、時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為已知兩動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過時(shí)間在線段上相遇（不包含點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，相遇后立即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，記此時(shí)與的面積分別為，求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的取值范圍；試探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值并確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）時(shí)，函數(shù)圖象發(fā)生改變，時(shí)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為：，時(shí)，時(shí)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，故答案為：2，10；（2）兩動(dòng)點(diǎn)，在線段上相遇（不包含點(diǎn)，當(dāng)在點(diǎn)相遇時(shí)，當(dāng)在點(diǎn)相遇時(shí)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的取值范圍為；過作于，交于，如圖3所示：則，解得：，在邊上可取，當(dāng)時(shí)，的最大值為【例題6】如圖， 已知直角梯形中，為的直徑， 動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開

8、始沿邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)， 動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以速度運(yùn)動(dòng) 、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)， 當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)， 另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)， 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，問：（1）為何值時(shí)，、兩點(diǎn)之間的距離為？（2）分別為何值時(shí)， 直線與相切？相離？相交？【解析】 （1），如圖 1 ：作于，由勾股定理， 得，解得或 8 ；（2） 當(dāng)與相切時(shí)， 如圖 2 ，由相切， 得，直線與相切，或；當(dāng)，當(dāng)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，相交或；相離【例題7】如圖1，在abc中，a30°，點(diǎn)p從點(diǎn)a出發(fā)以2cm/s的速度沿折線acb運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)q從點(diǎn)a出發(fā)以a(cm/s)的速度沿ab運(yùn)動(dòng)，p，q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)

9、運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，apq的面積為y(cm2)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象由c1，c2兩段組成，如圖2所示(1)求a的值；(2)求圖2中圖象c2段的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到線段bc上某一段時(shí)apq的面積大于當(dāng)點(diǎn)p在線段ac上任意一點(diǎn)時(shí)apq的面積，求x的取值范圍 【例題8】已知，如圖，在abcd中，ab3cm，bc5cm，acab，acd沿ac的方向勻速平移得到pnm，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)q從點(diǎn)c出發(fā)，沿cb方向勻速移動(dòng)，速度為1cm/s，當(dāng)pnm停止平移時(shí)，點(diǎn)q也停止移動(dòng)，如圖，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0t4），連接pq，mq，mc，解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，pqmn？（2）設(shè)qm

10、c的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使sqmc：s四邊形abqp1：4？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由（4）是否存在某一時(shí)刻t，使pqmq？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）在rtabc中，ac4，由平移的性質(zhì)得mnab，pqmn，pqab，t，（2）過點(diǎn)p作pebc于e，如圖cpecba，pet，pebc，sqmcsqpc，ysqmcqcpet（t）tt2（0t4），（3）sqmc：s四邊形abqp1：4，sqpc：s四邊形abqp1：4，sqpc：sabc1：5，（tt2）：61：5，t2，（4）若pqmq，則pqmpe

11、q，mpqpqe，peqmqp，pq2mpeq，pe2+eq2mpeq，ce，eqcecqt，（）2+（）25×，t10（舍去），t2，t時(shí)，pqmq1（2019營(yíng)口）如圖，在矩形中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)連接，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，若是以為底的等腰三角形，則的值為 【解析】如圖，過點(diǎn)作于，四邊形是矩形，故答案為：2（2019樂山）如圖1，在四邊形中，直線當(dāng)直線沿射線方向，從點(diǎn)開始向右平移時(shí)，直線與四邊形的邊分別相交于點(diǎn)、設(shè)直線向右平移的距離為，線段的長(zhǎng)為，且與的函數(shù)關(guān)系如圖2所示

12、，則四邊形的周長(zhǎng)是【解析】，直線，由圖可得，由圖象可得，又，是等邊三角形，四邊形的周長(zhǎng)是：，故答案為：3（2019菏澤）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作，當(dāng)與直線相切時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，或，【解析】直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，令，得，令，得，設(shè)與直線相切于，連接，則，或，或，故答案為：，或，4（2019濟(jì)寧）小王騎車從甲地到乙地，小李騎車從乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，兩人同時(shí)出發(fā)，沿同一條公路勻速前進(jìn)圖中的折線表示兩人之間的距離與小王的行駛時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系請(qǐng)你根據(jù)圖象進(jìn)行探究：（1）小王和小李的速度分別是多少？（2）求線段所表示的與之間的函數(shù)

13、解析式，并寫出自變量的取值范圍【解析】（1）由圖可得，小王的速度為：，小李的速度為：，答：小王和小李的速度分別是、；（2）小李從乙地到甲地用的時(shí)間為：，當(dāng)小李到達(dá)甲地時(shí)，兩人之間的距離為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)線段所表示的與之間的函數(shù)解析式為，得，即線段所表示的與之間的函數(shù)解析式是5（2019青島）已知：如圖，在四邊形中，垂直平分 點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：（1）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在的平分線上？（2）設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運(yùn)

14、動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使四邊形的面積最大？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）連接，在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）在中，垂直平分線段，易知：，當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí)，當(dāng)為4秒時(shí)，點(diǎn)在的平分線上（2）如圖，連接，（3）存在，時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為（4）存在如圖，連接，整理得：，解得或10（舍棄）當(dāng)秒時(shí)，6（2019天門）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，（1）直接寫出關(guān)于的函數(shù)

15、解析式及的取值范圍：；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）連接交于點(diǎn)，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，問的值是否變化？若不變化，請(qǐng)求出的值；若變化，請(qǐng)說明理由【解析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1所示當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：（2）當(dāng)時(shí)，整理，得：，解得：，（3）經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的值不變連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2所示，在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的值為 7如圖，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，分別為方程的兩根，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇時(shí)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，以為斜邊在

16、軸上方作等腰直角三角形，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（1）8，（2）當(dāng)取何值時(shí)，與矩形面積比為？（3）當(dāng)取何值時(shí)，的邊經(jīng)過點(diǎn)？（4）設(shè)和矩形重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式【解析】（1）解方程得，方程的兩根，故答案為：8，3；（2）由（1）知點(diǎn)，則，由得，根據(jù)題意知，解得，則；，且為等腰直角三角形，斜邊上的高為，則，解得或（舍去），故時(shí)，與矩形面積比為；（3）的邊經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，構(gòu)成等腰直角三角形，即，即當(dāng)秒時(shí)，的邊經(jīng)過點(diǎn)故答案為：1；（4）當(dāng)時(shí)，如答圖1所示設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，；當(dāng)時(shí)，如答圖2所示設(shè)交于點(diǎn)，交、于點(diǎn)、過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，則，；當(dāng)時(shí)，如答圖3所示設(shè)與交于點(diǎn)，則，綜上所述，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：

17、8（2019句容市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于，三點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒連接（1）填空：，；（2）在點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中，可能是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)在拋物線上，且的面積與的面積相等，求出點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為將代入得：，（2）在點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)過程中，不可能是直角三角形理由如下：連結(jié)在點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)過程中，、始終為銳角，當(dāng)是直角三角形時(shí)，則將代入拋物線的

18、解析式得：，在中，依據(jù)勾股定理得：在中，依據(jù)勾股定理可知：在中依據(jù)勾股定理可知：，在中，即解得：，由題意可知：不合題意，即不可能是直角三角形 是與的公共邊點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離即點(diǎn)到的距離等于所以的縱坐標(biāo)為4或把代入得，解得， 把代入得，解得，或，或，9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，6）動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)o出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)c從b出發(fā)，沿射線bo方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，以cp，co為鄰邊構(gòu)造平行四邊形pcod，在線段op延長(zhǎng)線上取點(diǎn)e，使peao，設(shè)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）直接寫出當(dāng)點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)到線段ob的中點(diǎn)時(shí)，求t的值及點(diǎn)e的坐標(biāo)（2）當(dāng)點(diǎn)c在線段ob上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形adec的面積為s求證：四邊形adec為平行四邊形寫出s與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出t的取值范圍（3）是否存在某一時(shí)刻，使oc是pc