備考2022數(shù)學(xué)專題18等腰、等邊三角形問題（原卷版）

1、專題18 等腰、等邊三角形問題一、等腰三角形1. 定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角.2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）3.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等4.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸5.等腰三角形的判定如果一個(gè)

2、三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.二、等邊三角形1. 定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形2. 性質(zhì)性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；性質(zhì)2：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線。3.判定（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。三

3、、解題方法要領(lǐng)1.等腰（邊）三角形是一個(gè)特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時(shí)幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長(zhǎng)一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。3.分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對(duì)已知的邊和角進(jìn)行討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類?！纠}1】（2020臨沂）如圖，在abc中，abac，a4

4、0°，cdab，則bcd（）a40°b50°c60°d70°【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖所示，點(diǎn)d是abc的邊ac上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），ad=bd，則下列結(jié)論正確的是（）aacbc bac=bc caabc da=abc【例題2】（2020寧波）bde和fgh是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形abc內(nèi)若求五邊形dechf的周長(zhǎng)，則只需知道（）aabc的周長(zhǎng)bafh的周長(zhǎng)c四邊形fbgh的周長(zhǎng)d四邊形adec的周長(zhǎng)【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖所示，在等邊三角形abc的邊bc、ac上分別取點(diǎn)d、e，使bd=ce，ad與be相交于點(diǎn)p則ape的度數(shù)為

5、°【例題3】（2020臺(tái)州）如圖，已知abac，adae，bd和ce相交于點(diǎn)o（1）求證：abdace；（2）判斷boc的形狀，并說明理由【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖，已知acbc，bdad，ac與bd交于點(diǎn)o，ac=bd.求證： (1)bc=ad； (2)oab是等腰三角形.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】已知：在abc中，ab=ac，d為ac的中點(diǎn)，deab，dfbc，垂足分別為點(diǎn)e，f，且de=df求證：abc是等邊三角形【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖，abc中，ab=ac，a=36°，ac的垂直平分線交ab于e，d為垂足，連接ec（1）求ecd的度數(shù)；（2）若ce=5，求bc長(zhǎng)一、選擇題1（2020聊城）如圖，

6、在abc中，abac，c65°，點(diǎn)d是bc邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)d作dfab交ac于點(diǎn)e，則fec的度數(shù)是（）a120°b130°c145°d150°2（2020南充）如圖，在等腰abc中，bd為abc的平分線，a36°，abaca，bcb，則cd（）aa+b2ba-b2cabdba3（2020徐州）如圖，ab是o的弦，點(diǎn)c在過點(diǎn)b的切線上，ocoa，oc交ab于點(diǎn)p若bpc70°，則abc的度數(shù)等于（）a75°b70°c65°d60°4.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)p為等邊三角形內(nèi)任意一

7、點(diǎn)，則點(diǎn)p到三邊的距離之和為（）a b c d不能確定5.（2019浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的。借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒oa，ob組成，兩根棒在o點(diǎn)相連并可繞o轉(zhuǎn)動(dòng)，c點(diǎn)固定，oc=cd=de，點(diǎn)d，e可在槽中滑動(dòng)，若bde=75°，則cde的度數(shù)是（    ）a. 60°                &

8、#160;             b. 65°                           c. 75°    

9、;                            d. 80°6.（2019湖南長(zhǎng)沙）如圖，rtabc中，c90°，b30°，分別以點(diǎn)a和點(diǎn)b為圓心，大于ab的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于m、n兩點(diǎn)，作直線mn，交bc于點(diǎn)d，連接ad，則cad的度數(shù)是（）a20°b

10、30°c45°d60°二、填空題7（2020臺(tái)州）如圖，等邊三角形紙片abc的邊長(zhǎng)為6，e，f是邊bc上的三等分點(diǎn)分別過點(diǎn)e，f沿著平行于ba，ca方向各剪一刀，則剪下的def的周長(zhǎng)是8（2020牡丹江）如圖，在rtabc中，cacb，m是ab的中點(diǎn)，點(diǎn)d在bm上，aecd，bfcd，垂足分別為e，f，連接em則下列結(jié)論中：bfce；aemdem；aece=2me；de2+df22dm2；若ae平分bac，則ef：bf=2：1；cfdmbmde，正確的有 （只填序號(hào)）9如圖所示，d是等邊abc的ac邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)e在bc的延長(zhǎng)線上，de=db，abc的周長(zhǎng)是9，則

11、e= °，ce= 10.(2019黑龍江綏化)如圖,在abc中,abac,點(diǎn)d在ac上,且bdbcad,則a_度.三、解答題11（2020紹興）問題：如圖，在abd中，babd在bd的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)e，c，作aec，使eaec若bae90°，b45°，求dac的度數(shù)答案：dac45°思考：（1）如果把以上“問題”中的條件“b45°”去掉，其余條件不變，那么dac的度數(shù)會(huì)改變嗎？說明理由（2）如果把以上“問題”中的條件“b45°”去掉，再將“bae90°”改為“baen°”，其余條件不變，求dac的度數(shù)12（2020涼山州）如圖，點(diǎn)p、q分別是等邊abc邊ab、bc上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)p、點(diǎn)q以相同的