備考2022中考數(shù)學 專題練習：軸對稱相關(guān)的幾何綜合題型（含答案）

1、2020中考數(shù)學 專題練習：軸對稱相關(guān)的幾何綜合題型（含答案）典例探究例題1. 在abc中，ad是abc的角平分線（1）如圖1，過c作cead交ba延長線于點e，若f為ce的中點，連結(jié)af， 求證：afad；（2）如圖2，m為bc的中點，過m作mnad交ac于點n， 若ab=4， ac=7，求nc的長例題2. 在圖-1至圖-3中，點b是線段ac的中點，點d是線段ce的中點四邊形bcgf和cdhn都是正方形ae的中點是m（1）如圖-1，點e在ac的延長線上，點n與點g重合時，點m與點c重合，求證：fm = mh，fmmh；（2）將圖-1中的ce繞點c順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖-2，求證：fmh是

2、等腰直角三角形；（3）將圖-2中的ce縮短到圖-3的情況，fmh還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）圖-1ahc(m)debfg(n)g圖-2ahcdebfnmahcde圖-3bfgmn例題3. 在abc中，m是ac的中點，p是線段bm上的動點，將線段pa繞點p順時針旋轉(zhuǎn)得到線段pq（1）若且點p與點m重合（如圖1），線段cq的延長線交射線bm于點d，請補全圖形，并寫出的度數(shù)；（2）在圖2中，點p不與點b，m重合，線段cq的延長線與射線bm交于點d，猜想的大小（用含的代數(shù)式表示），并加以證明；（3）對于適當大小的，當點p在線段bm上運動到某一位置（不與點b，m重合）時，能使得線段cq的延長線

3、與射線bm交于點d，且，請直接寫出的范圍題型精練1. 在四邊形abde中，c是bd邊的中點（1）如圖(1)，若ac平分，=90°, 則線段ae、ab、de的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為 ；（直接寫出答案）圖（1）（2）如圖（2），ac平分， ec平分，若，則線段ab、bd、de、ae的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；圖（2）（2）（2）（3）如圖（3），bd = 8，ab=2，de=8，則線段ae長度的最大值是_（直接寫出答案） 圖（3）2. 在abc中，已知d為直線bc上一點，若.（1）當d為邊bc上一點，并且cd=ca，時，則ab _ ac（填“=”或“”）；（2）如果把（1）中

4、的條件“cd=ca”變?yōu)椤癱d=ab”，且的取值不變，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立請寫出證明過程，若不成立請說明理由；（3）若cd= ca =ab，請寫出y與x的關(guān)系式及x的取值范圍.（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果） 3. 在rtabc中，acb=90°，a=30°，bd是abc的角平分線， deab于點e（1）如圖1，連接ec，求證：ebc是等邊三角形；（2）點m是線段cd上的一點（不與點c，d重合），以bm為一邊，在bm的下方作bmg=60°，mg交de延長線于點g請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出md，dg與ad之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3,點n是線

5、段ad上的一點，以bn為一邊，在bn的下方作bng=60°，ng交de延長線于點g試探究nd，dg與ad數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由4. 已知正方形紙片abcd的邊長為2操作：如圖1，將正方形紙片折疊，使頂點a落在邊cd上的點p處（點p與c、d不重合），折痕為ef，折疊后ab邊落在pq的位置，pq與bc交于點g探究：（1）觀察操作結(jié)果，找到一個與相似的三角形，并證明你的結(jié)論；（2） 當點p位于cd中點時，你找到的三角形與周長的比是多少（圖2為備用圖）？5. 直線cd經(jīng)過的頂點c，ca=cbe、f分別是直線cd上兩點，且（1）若直線cd經(jīng)過的內(nèi)部，且e、f在射線cd上，請解決下面兩個問題

6、：如圖1，若，則 （填“”，“”或“”號）；如圖2，若，若使中的結(jié)論仍然成立，則 與應滿足的關(guān)系是 ；（2） 如圖3，若直線cd經(jīng)過的外部，請?zhí)骄縠f、與be、af三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明abcefddabcefadfceb圖1圖2圖36. 在正方形abcd中，對角線ac，bd交于點o，點p在線段bc上（不含點b），bpeacb，pe交bo于點e，過點b作bfpe，垂足為f，交ac于點g（1） 當點p與點c重合時（如圖）求證：bogpoe；（2）通過觀察、測量、猜想：= ，并結(jié)合圖證明你的猜想；（3）把正方形abcd改為菱形，其他條件不變（如圖），若acb=，求的值（用含的式子表示）7.

7、 在矩形中，是邊上一點，交于點，過點作，交射線于點，交射線于點.（1）如圖1，當點與點重合時，求的長；（2）如圖2，當點在線段上時，設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）連結(jié)，當以點e，f，h為頂點的三角形與aec相似時，求線段的長.8. 如圖，四邊形abcd是正方形，abe是等邊三角形，m為對角線bd（不含b點）上任意一點，連結(jié)am、cm.（1） 當m點在何處時，amcm的值最??；（2）當m點在何處時，ambmcm的值最小，并說明理由；（3）當ambmcm的最小值為時，求正方形的邊長.9. 在abc中，ab=ac，ad，ce分別平分bac和acb，且ad與ce交于點m點n在

8、射線ad上，且na=nc過點n作nfce于點g，且與ac交于點f，再過點f作fhce，且與ab交于點h(1) 如圖1，當bac=60°時，點m，n，g重合請根據(jù)題目要求在圖1中補全圖形；連結(jié)ef，hm，則ef與hm的數(shù)量關(guān)系是_；(2) 如圖2，當bac=120°時，求證：af=eh；(3) 當bac=36°時，我們稱abc為“黃金三角形”，此時若eh=4，直接寫出gm的長圖1圖2備用圖10. 如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片abcd，點p為正方形ad邊上的一點（不與點a、點d重合）將正方形紙片折疊，使點b落在p處，點c落在g處，pg交dc于h，折痕為ef，

9、連接bp、bh（1）求證：apb=bph；（2）當點p在邊ad上移動時，pdh的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)ap為x，四邊形efgp的面積為s，請直接寫出s與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最小值 11. 如圖1，在四邊形中，分別是的中點，連結(jié)并延長，分別與的延長線交于點，則（不需證明）問題一：如圖2，在四邊形中，與相交于點，分別是的中點，連結(jié)，分別交于點，判斷的形狀，請直接寫出結(jié)論問題二：如圖3，在中，點在上，分別是的中點，連結(jié)并延長，與的延長線交于點，若，連結(jié)，判斷的形狀并證明12. 在rtabc中，acb=90°，abc=，點p在abc的內(nèi)部(1) 如圖1，ab=2ac

10、，pb=3，點m、n分別在ab、bc邊上，則cos=_， pmn周長的最小值為_；(2) 如圖2，若條件ab=2ac不變，而pa=，pb=，pc=1，求abc的面積；(3) 若pa=，pb=，pc=，且，直接寫出apb的度數(shù)13. 如圖1，在矩形abcd中，ab=2bc，m是ab的中點直接寫出bmd與adm的倍數(shù)關(guān)系； （2）如圖2，若四邊形abcd是平行四邊形， ab=2bc，m是ab的中點，過c作cead與ad所在直線交于點e若a為銳角，則bme與aem有怎樣的倍數(shù)關(guān)系，并證明你的結(jié)論；當時，上述結(jié)論成立；當 時，上述結(jié)論不成立 圖1 圖214. 如圖，在四邊形abcd中，對角線ac、bd

11、相交于點o，直線mn經(jīng)過點o，設(shè)銳角doc=，將doc以直線mn為對稱軸翻折得到doc，直線a d、b c相交于點p（1）當四邊形abcd是矩形時，如圖1，請猜想a d、b c的數(shù)量關(guān)系以及apb與的大小關(guān)系；（2）當四邊形abcd是平行四邊形時，如圖2，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（3）當四邊形abcd是等腰梯形時，如圖3，apb與有怎樣的等量關(guān)系？請證明15. 已知：在如圖1所示的銳角三角形abc中，chab于點h，點b關(guān)于直線ch的對稱點為d，ac邊上一點e滿足eda=a，直線de交直線ch于點f (1) 求證：bfac； (2) 若ac邊的中點為m，求證：； (3) 當ab=bc時（如圖2

12、），在未添加輔助線和其它字母的條件下，找出圖2中所有與be相等的線段，并證明你的結(jié)論參考答案典例探究例1 證明：ad為abc的角平分線，（1）cead ，.ac=aef為ec的中點，afbc afad（2）延長ba與mn延長線于點e，過b作bfac交nm延長線于點f.amdcbnef354412，m為bc的中點bmcm在bfm和cnm中，bfmcnm（aas）bfcnmnad ，.aean，bebf 設(shè)cn=x，則bf=x， aeanaccn7x，beabae47x47xx 解得 x5.5 cn5.5例2 證明：四邊形bcgf和cdhn都是正方形，圖-1ahc(m)debfg(n)又點n與點g

13、重合，點m與點c重合，fb = bm = mg = md = dh，fbm =mdh = 90°fbm  mdhfm = mh fmb =dmh = 45°，fmh = 90°fmhm （2）證明：連接mb、md，如圖2，設(shè)fm與ac交于點p圖2ahcdebfgnmpb、d、m分別是ac、ce、ae的中點，mdbc，且md = bc = bf；mbcd，且mb=cd=dh四邊形bcdm是平行四邊形 cbm =cdm 又fbp =hdc，fbm =mdhfbm 

14、60;mdhfm = mh， ahcde圖-3bfgmn且mfb =hmdfmh =fmdhmd =apmmfb =fbp = 90°fmh是等腰直角三角形 （3）是 例3 （1）；（2）連結(jié)pc、ad，易得pad=pcq=pqc，pad+pqd=，apq+adq=， 易得cdb=；(3) cdb=,pq=qd, pad=pcq=2cdb=,p不與m、b重合，badpadmad, 即， 題型精練1. （1） ae=ab+de ；（2）解：猜想：ae=ab+de+證明：在ae上取點f，使af=ab，連結(jié)cf

15、，在ae上取點g，使eg=ed，連結(jié)cgc是bd邊的中點，cb=cd=ac平分，bac=facaf=ab，ac=ac，abcafc. cf=cb，bca=fca同理可證：cd=cg，dce=gce cb=cd，cg=cf，bca+dce=180°-120°=60°fca+gce=60°fcg=60°fgc是等邊三角形fg=fc=ae=af+eg+fgae=ab+de+（3）2. （1）= （2）成立. 解法一： 解法二：如圖，作，交于點. ，. （3）解：()當d在線段bc上時，()（取等號時b、d重合）. ()當d在cb的延長線上時，()（取

16、等號時b、d重合）()當d在bc的延長線上時，(). 3. （1）證明：在rtabc中，acb=90°，a=30°，, bc= bd平分abc，.da=db deab于點eae=be=bc=be. bce是等邊三角形. adgcbme圖2（2）結(jié)論：ad = dgdm （3）結(jié)論：ad = dgdn理由如下：延長bd至h，使得dhdn . 由（1）得da=db，deab于點e圖31234567adgcbnehndh是等邊三角形 nh=nd， ,.即.在dng和hnb中，dnghnb（asa）dg=hb. hb=hddb=ndad,dg= ndad. ad = dgnd.4.

17、 解：（1）與相似的三角形是 證明：四邊形abcd是正方形，a=c=d=90°由折疊知 epq=a=90°1+3=90°，1+2=90°2=3 （2）設(shè)ed=x，則ae=，由折疊可知：ep=ae=點p是cd中點，dp=1d=90°，即解得 ， 與周長的比為43 121315. （1）= ； (2) +bca=180°； (3) 探究結(jié)論： ef=be+af. 證明：1+2+bca=180°, 2+3+cfa=180°.又bca=cfa，1=3. bec=cfa=,cb=ca,beccfa. be=cf , ec=a

18、f. ef=ec+cf=be+af. 6. 解：（1）證明：四邊形abcd是正方形，p與c重合，ob=op ， boc=bog=90°。pfbg ，pfb=90°，gbo=90°bgo，epo=90°bgo。gbo=epo 。bogpoe（aas）。（2）。證明如下：如圖，過p作pm/ac交bg于m，交bo于n，pne=boc=900， bpn=ocb。obc=ocb =450， nbp=npb。nb=np。mbn=900bmn， npe=900bmn，mbn=npe。bmnpen（asa）。bm=pe。bpe=acb，bpn=acb，bpf=mpf。p

19、fbm，bfp=mfp=900。又pf=pf， bpfmpf（asa）。bf=mf ，即bf=bm。bf=pe， 即。（3）如圖，過p作pm/ac交bg于點m，交bo于點n，bpn=acb=，pne=boc=900。由（2）同理可得bf=bm， mbn=epn。 bnm=pne=900，bmnpen。在rtbnp中， ，即。7. 解：（1），.，.，.，（2）過點作，垂足為點.，.，.，（3）矩形abcd，. ，.當以點e，f，h為頂點的三角形與相似時，）若，. ，.)若，如圖所示，記與交于點.，.， .，. .設(shè)，則，. .，. .綜上所述，線段的長為或1. 8. 解：（1）當m點落在bd的

20、中點時，amcm的值最小.（2）如圖，連接ce，當m點位于bd與ce的交點處時，ambmcm的值最小. 理由如下：m是正方形abcd對角線上一點am=cm又ab=bc,bm=bmabmcbmbam=bcm 又be=ba=bcbec=bcmbec=bam在ec上取一點n使得en=am,連結(jié)bn又eb=abbneabmebn=abm,bn=bm又ebn+nba=60°abm+nba=60°即nbm=60°bmn是等邊三角形.bmmn. ambmcmenmncm. 根據(jù)“兩點之間線段最短”，得enmncmec最短當m點位于bd與ce的交點處時，ambmcm的值最小，即等

21、于ec的長. （3）過e點作efbc交cb的延長線于febf90°60°30°設(shè)正方形的邊長為x，則bfx，ef在rtefc中，ef2fc2ec2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去負值）.正方形的邊長為圖19. 解：(1)補全圖形見圖1， ef與hm的數(shù)量關(guān)系是ef=hm ； (2)連接mf（如圖2）. ad，ce分別平分bac和acb，且bac=120°，圖2 1=2=60°，3=4. ab=ac， adbc. ngec， mdc =ngm =90°. 4+6=90°，5+6=90°.4=5.3=5. na=n

22、c，2=60°，anc是等邊三角形.an=ac. 在afn和amc中， afnamc. af=am.amf是等邊三角形.af=fm，7=60°.7=1.fmae.fhce，四邊形fhem是平行四邊形. eh=fm.af=eh. (3) gm的長為. 10. （1）證明： pe=be ， ebp=epb . 又eph=ebc=90°,abcdefghpq eph-epb=ebc-ebp . 即pbc=bph . 又adbc , apb=pbc . apb=bph . （2）phd的周長不變，為定值 8 證明：過b作bqph，垂足為q 由（1）知apb=bph 又 a

23、=bqp=90°，bp=bp abpqbp ap=qp, ab=bq 又 ab=bc bc = bq 又 c=bqh=90°，bh=bh bchbqh ch=qh phd的周長為： pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8（3） 配方得， ， 當x=2時，s有最小值611. （1）等腰三角形（2）判斷出直角三角形證明：如圖連結(jié)，取的中點，連結(jié)，是的中點，abcdfghe123，同理，-4分，是等邊三角形，即是直角三角形12. 解：（1）=，pmn周長的最小值為 3 ； 圖6 （2）分別將pab、pbc、pac沿直線ab、bc、ac翻折，點p的對稱點分別是點d

24、、e、f，連接de、df，（如圖6） 則pabdab，pcbecb，pacfac. ad=ap=af， bd=bp=be，ce=cp=cf. 由（1）知abc=30°，bac=60°，acb=90°， dbe=2abc=60°，daf=2bac=120°， fce=2acb=180°. dbe是等邊三角形，點f、c、e共線. de=bd=bp=，ef=ce+cf=2cp=2. adf中，ad=af=，daf=120°， adf=afd=30°.df=ad =. . dfe=90°. ， .圖7 . （3）

25、apb=150°. 說明：作bmde于m，andf于n.（如圖7） 由（2）知dbe=，daf=. bd=be=，ad=af=， dbm=，dan=. 1=，3=. dm =，dn=. de=df=ef. 2=60°. apb=bda=1+2+3=150°.13. （1）bmd= 3 adm （2）聯(lián)結(jié)cm，取ce的中點f，聯(lián)結(jié)mf，交dc于nm是ab的中點，mfaebc，aem=1，2=4，ab=2bc，bm=bc，3=4. ceae，mfec，又f是ec的中點，me=mc，1=2. 1=2=3.bme =3aem. （3）當0°<a<120°時，結(jié)論成立；當時，結(jié)論不成立. 14. 解：（1） a d=b c，apb= （2） a d=b c