信號(hào)與系統(tǒng)-5

1、信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換5.2 5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換5.4 5.4 （系統(tǒng)的）復(fù)頻域分析（系統(tǒng)的）復(fù)頻域分析* * 5.5 5.5 雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域（連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域（S S域）分析域）分析信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平（1）有些信號(hào)不存在傅里葉變換，如）有些信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2t(t);（2）有些信號(hào)的傅里葉變換求解困難

2、，）有些信號(hào)的傅里葉變換求解困難， 甚至用不同的方法會(huì)得出不同的結(jié)論；甚至用不同的方法會(huì)得出不同的結(jié)論；（2）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析回顧：頻域分析回顧：頻域分析基本信號(hào)基本信號(hào)：虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ejt任意信號(hào)任意信號(hào)：分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和零狀態(tài)響應(yīng)的求解得到簡化零狀態(tài)響應(yīng)的求解得到簡化物理意義清楚物理意義清楚不不足足優(yōu)優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平頻域頻域傅立葉變換傅立葉變換復(fù)頻域復(fù)頻域拉普拉斯變換拉普拉斯變換基本信號(hào)基本信號(hào)：

3、復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)est任意信號(hào)任意信號(hào)：分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和引入復(fù)頻率引入復(fù)頻率 s = +j信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換若若f(t)不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換困難不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換困難適當(dāng)選取適當(dāng)選取 的值的值引入衰減因子引入衰減因子e- t( 為實(shí)常數(shù)）為實(shí)常數(shù)）f(t) e- tf(t) e- t的傅里葉變換存在的傅里葉變換存在當(dāng)當(dāng)t時(shí)時(shí)f(t) e- t幅度趨近于幅度趨

4、近于0信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平傅里葉逆變換傅里葉逆變換f(t) e- t= de)(21tjbjFF Fb b( ( +j+j )=)= f(t) e- t= ttfttftjtjtde)(dee)()(de)(21)()(tjbjFtf令令s = + j tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb雙邊拉普拉斯變換對(duì)雙邊拉普拉斯變換對(duì)信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstbFb(s)稱為稱為f(t)的雙

5、邊拉氏變換（的雙邊拉氏變換（f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)）f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（的雙邊拉氏逆變換（ Fb(s)原函數(shù)原函數(shù)）只有只有選擇適當(dāng)?shù)倪x擇適當(dāng)?shù)?值值才能使才能使積分收斂積分收斂，信號(hào)，信號(hào)f(t)的雙邊的雙邊拉普拉斯變換才存在。拉普拉斯變換才存在。使使 f(t)拉氏變換存在拉氏變換存在 的取值范圍稱為的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域的收斂域。二、收斂域二、收斂域信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例：例：因果信號(hào)因果信號(hào)f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解 elim1 )(1)

6、(edee)()(0)(01tjtttssttbesstsF，無界，不定Re,1ss對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Res= 時(shí)，其拉氏變換存在。時(shí)，其拉氏變換存在。j0收斂域收斂域收斂邊界收斂邊界信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例：反因果信號(hào)例：反因果信號(hào)f2(t)= e t (-t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解 elim1 )(1)(edee)()(0)(02tjtttssttbesstsF，不定無界)(1.Re,ss對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Res= 時(shí)，其收斂域時(shí)，其收斂域?yàn)闉?Res 22131

7、)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 2象函數(shù)相同，但收斂域不同象函數(shù)相同，但收斂域不同雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域!信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平有始信號(hào)，設(shè)其初始時(shí)刻為有始信號(hào)，設(shè)其初始時(shí)刻為t0t （可以省略）（可以省略）本課程主要討論單邊拉氏變換本課程主要討論單邊拉氏變換單邊拉氏變換單邊拉氏變換信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst簡記為：簡記為：

8、F(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或或 f(t) F(s)三、單邊拉氏變換三、單邊拉氏變換信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例例:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)t0時(shí)，f2(t)=f1(t)單邊拉氏變換的定義并沒有限定單邊拉氏變換的定義并沒有限定f(t)必須為有始必須為有始信號(hào)，信號(hào)，雙邊信號(hào)同樣可以有單邊拉氏變換雙邊信號(hào)同樣可以有單邊拉氏變換注意注意信號(hào)與系統(tǒng) signal &

9、amp; System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換1、 (t) 1， -2、 (t)或或1 1/s ， 03、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)e-s0t 01ss -Res0cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020sS0可以為復(fù)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平4、周期信號(hào)、周期信號(hào)fT(t) 0)1(200de)(.de)(de)(de)()(nTnnTstTTTstTTstTstTTttft

10、tfttfttfsFTsTsTTsTnnsTnTttfnTf000de)(e11de)(e令特例特例： T(t) 1/(1 e-sT) 信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)若若 f1(t)F1(s) Res 1 f2(t)F2(s) Res 2則則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例例:

11、f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?解：解：cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4) 42222242224)(222ssssssF信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平若若 f(t) F(s) , Res 0則則 f(at) )(1asFaResa 0 二、尺度變換二、尺度變換其中：其中：a為實(shí)數(shù)，且為實(shí)數(shù)，且a0信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例：如圖信號(hào)例：如圖信號(hào)f(t)的拉氏變換的拉氏變換F(s) =)ee1 (e2sssss求圖中信

12、號(hào)求圖中信號(hào)y(t)的拉氏變換的拉氏變換Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t解：解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平若若 f(t) F(s) , Res 0,則則 f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 時(shí)移與尺度變換相結(jié)合時(shí)移與尺度變換相結(jié)合f(at-t0) (at-t0)asFasat0e1三、時(shí)移（延時(shí)）特性三、時(shí)移（延時(shí)）特性其中其中t0為實(shí)常數(shù)且為實(shí)常數(shù)且t00信號(hào)與

13、系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例例:已知已知f1(t) F1(s), 求求f2(t) F2(s)=？解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例例:求求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?2Re21)(2Re21)()1(22SeSteSSteStt解：?2Re2)(

14、.)(222)1(2SSeteetett正確解法：信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例例:求求f1(t)= e-2t(t1) F 1(s)=? f2(t)= e-2(t-1)(t1) F 2(s)=?信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平若若 f(t) F(s) , Res 0 , 則則 f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a其中其中Sa為復(fù)常數(shù)，為復(fù)常數(shù)， sa= a+j a,例例:已知因果信號(hào)已知因果信號(hào)f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)

15、。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss四、復(fù)頻移（四、復(fù)頻移（s域平移）特性域平移）特性信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平若若 f(t) F(s) , Res 0, 則則 f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 10)(1)0(nmmmnfs若若f(t)為因果信號(hào)，則為因果信號(hào)，則f(n)(t) snF(s) 五、時(shí)域的微分特性（微分定理）五、時(shí)域的微分特性（微分定理）信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信

16、息工程學(xué)院 馬忠平例例1: (n)(t) ? 例例2:?2cosddtt例例3:?)(2cosddttt信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例例:已知因果信號(hào)已知因果信號(hào)f(t)如圖如圖 ,求求F(s)f(t)t022解解：對(duì)：對(duì)f(t)求導(dǎo)得求導(dǎo)得f(t)，如圖，如圖f(t)t(-2)120f(t)=(t)(t 2) 2(t 2) F1(s)(e2)e1 (122SSFsssssFsF)()(1ssSs222e2)e1 (1信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平若若f(t) F(s) , Res 0

17、, 則則 )0(1)(1d)()(10mmnnntfssFsxxf)0()(d)()()1(11)1(fssFsxxftft例例: t2 (t)? )(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt六、時(shí)域積分特性（積分定理）六、時(shí)域積分特性（積分定理）信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 若若因果函數(shù)因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復(fù)頻域（復(fù)頻域（s域）卷積定理域）卷積定理 j

18、cjcsFFtftfd)()(j21)()(2121七、卷積定理七、卷積定理信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例：例：時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)求輸入為，系統(tǒng)沖激響應(yīng))()()()(2tetftethLTItt112111.21)().()()(*)()(SSSSSHSFSYthtftyff解：)()(2teetyttf信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例例1：t2e-2t (t) ?解：解： e-

19、2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322)2(2)21(ddssssdFttf)()(八、八、s域微分和積分域微分和積分信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平例例2：?)(sinttt11)(sin2stt解：sstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例例3：?e12tt211e12sst解：sstesst2ln2lnd)211(12信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平初值定理初值定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)不含不含 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)，及其各階導(dǎo)數(shù)，并且并

20、且 f(t) F(s)，則則 )(lim)(lim)0(0ssFtffst終值定理終值定理 若若f(t)當(dāng)當(dāng)t 時(shí)存在，并且時(shí)存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，則，則 )(lim)(0ssFfs九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接直接求求f(0+)和和f(），而不必求出原函數(shù)），而不必求出原函數(shù)f(t)(lim)0(ssFfs)(lim)(0ssFfs信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息

21、工程學(xué)院 馬忠平例例)()0(,222)(2ffssssF、求2222lim)(lim)0(22sssssFfss解：0222lim)(lim)(2200sssssFfss信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平通常的方法通常的方法 （1）查表）查表 （2）利用性質(zhì)）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開部分分式展開5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換)(de)(j21)(jjtssFtfst復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。結(jié)合結(jié)合信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平若象函數(shù)若象函數(shù)F(s)是是

22、s的有理分式，可寫為的有理分式，可寫為 01110111.)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm若若mn （假分式）（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分分解為有理多項(xiàng)式解為有理多項(xiàng)式P(s)與與有理真分式有理真分式之和。之和。 )()()()(0sAsBsPsF信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF例：)(2)(2tts)()()(00taSaSPiniiinii有理多項(xiàng)式信號(hào)與系統(tǒng) signal & System

23、 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平部分分式展開法部分分式展開法若若F(s)是是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（的實(shí)系數(shù)有理真分式（m 0 ttfFtde)()(jj要討論其關(guān)系，要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號(hào)必須為因果信號(hào)。 根據(jù)收斂坐標(biāo)根據(jù)收斂坐標(biāo) 0的值可分為三種情況的值可分為三種情況（1） 00，收斂域不包含虛軸收斂域不包含虛軸五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平（1） 0-2則則 F(j )=1/( j +2)Ot t t eOj 信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平（2） 0 0，F(xiàn)(j )不存在。不存在。 例例f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) 2其傅里葉變換不存在。其傅里葉變換不存在。Ot tuteOj信號(hào)與系統(tǒng) signal & System 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 馬忠平（3） 0 =0，即即F(s)的收斂邊界為的收斂邊界為j 軸，軸， 如如f(t)= (t)F(s)=1/s F(j )= ( ) + 1/j jSS1如何由如何由F(S)求求F(j )?信號(hào)與系統(tǒng)