大學(xué)高等數(shù)學(xué)2(4)-隱函數(shù)及參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)

1、1第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程求導(dǎo)相關(guān)變化率2定義定義由二元方程由二元方程)(xfy 0),( yxF)(xfy 1. 隱函數(shù)的定義隱函數(shù)的定義)(xyy 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)0),( yxF一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率稱為稱為隱函數(shù)隱函數(shù)(implicit function).顯函數(shù)顯函數(shù).隱函數(shù)的隱函數(shù)的013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù);13xy 例例),10(sin

2、 yxy開普勒方程開普勒方程顯式顯式? ?顯化顯化. .32. 隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則 用用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到并注意到將方程兩邊對將方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo).變量變量 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化，隱函數(shù)不易顯化或不能顯化， 如何求導(dǎo)如何求導(dǎo)4例例解解.,00 xyxyyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程)!(xyy 其中其中隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3、 相關(guān)變化率相關(guān)變化率, 0 yxeexy將此恒等式兩邊同時(shí)對將此恒等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)求導(dǎo),xxy)( xxe )( xye )( )0( 注意到注意到 y 是是x的函數(shù)的函數(shù), 是是x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù),ye復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法:yyx xe ye y 0 xeyeyyx . 1 0, 0 yx0 y0 x0 y0 x:dxd5隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率例例解解, 0sin yxey設(shè)設(shè).xy 求求法一法一隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法.ycosxy ye 1yex xy 0 yyxxeyey cos;法二法二 反函數(shù)

4、求導(dǎo)法反函數(shù)求導(dǎo)法 xyeysin :dxd yx,sincosyeyy yxxy 1yyxeye cosyyye)sin( 6例例.,)23,23(,333線通過原點(diǎn)線通過原點(diǎn)并證明曲線在該點(diǎn)的法并證明曲線在該點(diǎn)的法切線方程切線方程的的求過點(diǎn)求過點(diǎn)設(shè)曲線方程設(shè)曲線方程xyyx 解解23xxyxyy 22. 1 切線方程切線方程),23(23 xy. 03 yx,2323 xy, xy 23y y3 yx 3y 法線方程法線方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率通過原點(diǎn)通過原點(diǎn). 23,23 23,23:dxd7例例.)1 , 0(,

5、 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解34xy 212x.161 34y y yx y 0 y y yx yyy 21234y y 0 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率)1 , 0(41 y )1 , 0(:dxd:dxd8.)1 , 0(, 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 或解或解04433 yyyxyx,4433xyxyy 得得求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊再對兩邊再對將將,4433xxyxyy y隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率;41 )1 , 0(y )

6、1 , 0(y .161 :dxd,)4(?23xy 9.)2, 2(2282222處垂直相交處垂直相交在點(diǎn)在點(diǎn)與曲線與曲線試證曲線試證曲線yxyx 證證, 8222 yx, 042 yyx )2, 2(y,222xy ,2xy )2, 2(y隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率兩曲線在該點(diǎn)兩曲線在該點(diǎn)切線斜率乘積為負(fù)切線斜率乘積為負(fù) 1 .21 . 2,)2, 2(是兩曲線的交點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn):dxd )2, 2(2yx10隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率確定，確定，由由已

7、知已知016)(2 xxyexyyy )0(y則則解解yey yx 6y6 x2 , 0 , 0 x0 y2 :ddx:ddxyey y y 6y 62 0 ye y yx 6, 0)0( y11.)()2()(xvxu冪指函數(shù)冪指函數(shù)3. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法(1) 許多因子相乘除、開方的函數(shù)（連乘積）許多因子相乘除、開方的函數(shù)（連乘積）.,)4(1)1(23xexxxy 如如.sin xxy 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 適用于適用于方方 法法方程兩邊取對數(shù)方程兩邊取對數(shù), 再利用隱函數(shù)再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法。求導(dǎo)法。12例例解

8、解 yln:ddxy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)142)1(3111 xxxy 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 xexxxy23)4(1)1()1ln( xx )1ln(31 x)4ln(2 x 隱函數(shù)隱函數(shù)142)1(3111 xxx13例例解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)xxysinlnln :ddx yy1)1sinln(cosxxxxyy ).sinln(cossinxxxxxx 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率xx lnsin xx

9、 lncosxx1sin 14注注復(fù)合函數(shù)，再求導(dǎo)。復(fù)合函數(shù)，再求導(dǎo)。xxysin xxxylnsin xx ln(cos )sinxx ,lnsinxxe 化冪指函數(shù)為化冪指函數(shù)為隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率)0( x15例例.,22yxyxxx 求求設(shè)設(shè)解解,21yyy ,21xxy ,2ln2xxey 1ln y 11yy21xxy xxxexln xxy22ln2 xxy22ln2.21yyy 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率,ln22xxxx )()( xx

10、eln),1(ln x)ln( xx xx2lnxx,ln2xx ,)( xx .ln2xxx ),ln1(xxx 16有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便. .例例)1,0,0( babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)：兩邊取對數(shù)： yln兩邊對兩邊對x求導(dǎo)：求導(dǎo)： yybalnxa baxaxxbbay baxln lnlnxbalnlnaxb 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率xb xbxabaln17.,1. 12sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解答解答)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2x

11、xx yy隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率等式兩邊取對數(shù)等式兩邊取對數(shù):ddxxx lncos xxsin 212xx 2sin1xxyx )12sinln(cos2xxxxxx 18.,. 2yyxxy 求求設(shè)設(shè)解答解答xyxy ln.lnln22xxyxyyyxy 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率,lnlnyxxy :ln:ddx,lnyyxy 19二、由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()(tytx 若若如如 ,22tytx,42xy xy21 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定

12、的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 稱為由稱為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù). 消參數(shù)困難或無法消參數(shù)消參數(shù)困難或無法消參數(shù) 如何求導(dǎo)如何求導(dǎo).消去參數(shù)消去參數(shù) t ，,間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定xy20,)(),(都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)tytx xyddtydd ,)()(tt txtyxydddddd ,)()(中中在方程在方程 tytx 具有具有設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(tx tyddxtdd 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率),(1xt 單調(diào)連續(xù)的單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)反函數(shù)由

13、由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則:txdd1 , 0)( t 且且 y)(1x 21例例解解txtyxydddddd ,cos1sintt taatacossin 22cos1sindd ttttxy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t 所求切線方程所求切線方程：)12( axay).22( axy),12( ax. ay 22設(shè)由方程設(shè)由方程 )10(1sin 222 yytttx確定函數(shù)確定函數(shù), )(x

14、yy 求求.ddxy方程組兩邊對方程組兩邊對t 求導(dǎo)求導(dǎo): : xydd.)cos1)(1(ytt txdd t2,cos12yt , 22 tycos tydd 0 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率例例解解txddtyddtyddtydd23例例.42sin處處的的法法線線方方程程在在求求曲曲線線 ar解解 將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 為參數(shù)為參數(shù) 曲線的切線斜率？曲線的切線斜率？ )()(dd yxxy cos2sinsin2co

15、s2aa 1 法線斜率為法線斜率為1，切點(diǎn)：，切點(diǎn)：隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法線方程：故法線方程：axay2222 . 0 yx參數(shù)方程。參數(shù)方程。24,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx xyxxydddddd22 xyt ddddxtdd 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 )()(ddttt txdd25 33ddxy注注求二階或更高階導(dǎo)數(shù)不必死套公式求二階或更高階導(dǎo)數(shù)不必死

16、套公式,只要理解其含義。只要理解其含義。 22ddddxyxtxydddd22 txydddd22 xtdd 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率txdd26例例解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd ttacossin32 ,tant )dd(dddd22xyxxy )tan( tttatsincos3sec22 .sin3sec4tat 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率)sin(cos32tta

17、 )cos(3 ta27.dd,2022 tyttxyeeetx求求設(shè)設(shè)解解);1(ddtetxt , 0dd tyeeyt, 1dd0 ttx.ddytety 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 22ddxy tety1dd)(1tx 2)1(t ye )(ty )1(t ye 022dd txy. 011 )(1txt 0)0(, 0)0( yx xydd.)1(tey 1dd0 tty)1(teetyt 28)(, )(tyytxx 為可導(dǎo)函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)yx ,有函數(shù)關(guān)系有函數(shù)關(guān)系tytxdd,dd的關(guān)系的關(guān)系-相關(guān)變化率解法三

18、步驟相關(guān)變化率解法三步驟找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對對t 求導(dǎo)求導(dǎo)相關(guān)變化率相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)變化率0),( yxFtytxdddd和和之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式 代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)29例例解解,秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升t.500tanh :求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對對 t 2sec(1)(2)?,500./140,500多少多少員視線的仰角增加率是員視線的仰角增加率是觀察觀察米時(shí)米時(shí)當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為秒秒米米其速率為其速率為米處離地面鉛直上升米處離地面鉛直上升一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員),(th其高度為其高度為),(t 的仰角為