八種求數(shù)列通項的方法已知遞推公式求通項公式

1、名師精編優(yōu)秀資料八種求數(shù)列通項公式的方法一、公式法例1已知數(shù)列an滿足an 2an - 3 2n，2=2，求數(shù)列a.的通項公式。解：an2an 3 2n兩邊除以2n 1，得開咻 ，則開綜彳，故數(shù)列罰是 以a1二2 /為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得色=1 - (n-1)-，21 2 22n231所以數(shù)列aJ的通項公式為an =(n- )2n。2 2aa3評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an 2an - 3 2n轉化為.-=，說明數(shù)列22 2務是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出務=1 - (n -1)-3，進而求出數(shù)列an的通項公式。二、累加法例2已知數(shù)列an滿

2、足an .1 =an 2n 1, a =1，求數(shù)列a.的通項公式。解：由 anan 2n 1 得 an 1 - an = 2n 1 則an =(an an)(anand) |l| (a3 -a2) (a? -印)-印二2 (n-1)1 2( n-2) 1 |l(2 2 1) (2 11)1-2(n -1) (n -2)|l( 2 1 (n -1) 1(n-1) 12=(n -1)(n1)1二 n22所以數(shù)列aJ的通項公式為a.二n。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an彳=an 2n 1轉化為an q - an = 2 nJ，進而求出(an-an)(an4-an JIII -(a3-a2)(a

3、2-q) 'a1，即得數(shù)列an的通項公式。名師精編優(yōu)秀資料例3已知數(shù)列an滿足anan- 2 3n1,a3，求數(shù)列a.的通項公式。解：由 anan 2 3n 1 得 an 勺.- =2 3n 1 則an =(an -an)* (an J - a2 )+川 + (a3 a2 ) + (a2 aJ + a!n 1n 221=(2 31)(2 31)|(231) (2 31) 3-2(3nl3n，1)1 3121=(匚=)<R)£: 3331111V3n 3n3n4 3n，31)(n -1)32 3(1-3心)1-3(n -1) 32a232n.mi (| 4) 33 33i

4、n 2)132=3n -3 n -1 3n=3 n _1所以 an =3n n -1.評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式 an嚴an 2 3n -1轉化為an彳- an =2 3n 1， 進而求出an = （a* - a*）（a*-a*） III （as - a?） 2 -Q）印，即得數(shù)列an的通 項公式。例4 已知數(shù)列耳滿足an d -3an - 2 3n 1，a -3，求數(shù)列a.的通項公式。解：an + =3s +2匯3n +1兩邊除以3曲，得:n： = 3n *十3二，3333貝y也_色=2 3n 13n3 3)-(歸 _) . (5n _ a). n -2n/n J3因此£3

5、 ”3n 31-312 2 3n則an1n 3n_ 3n*n _4333名師精編 _優(yōu)秀資料評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式 an# =3an +2漢3n +1轉化為 七-肆=2 +二, 3n 3n 33進而求出（3 -開廠（巽-耗）（霽-罷）川（-卻號，即得數(shù)列a的通項公式，最后再求數(shù)列 an的通項公式。三、累乘法例5已知數(shù)列a.滿足a.1= 2（n1）5na.,a =3，求數(shù)列a.的通項公式。a解：因為 an .1 二 2(n 1)5n an，a = 3，所以 a. = 0，則丄1 二 2(n - 1)5n，故anan an 二anan _2a2 ai-2(n1 1)5nJ2(n 2 1

6、)5心川2(2 1) 522(11) 51 32nln(n_1)3 2 5(2)(心"21 3n (n -1)=3 2nl 5 n!n（n-J）所以數(shù)列aJ的通項公式為an =3 2nd 5弓n!.評注：本題解題的關鍵是把遞推關系a4彳-2( nJ)/ an轉化為n1 -2 (n 1)5n，進而求 an出宜.丑川.西電印，即得數(shù)列s的通項公式。 %an Qa2 a1例 6 已知數(shù)列an滿足 a1 =1，an2a2 3a3 川（1）anJ（n _ 2），求an的通項公式。解：因為an二q 2a2 3a3川（n -1歸心（n 一 2）所以 a. 1 二 a 2a? 3a3 川(n -1總

7、4 na. 用式式得an 丁 -an二nan.則 an 1 =(n 1)an(n -2)故二 n 1(n _ 2)所以anan丨川懇a2十(7川4 3際尹.由 an =ay 2a2 3a3 HI - (n -1)an(n _2),取n =2得a2 -a 2a2，則 a2 =印,又知 n!a! =1,則 a2 = 1，代入得 a* = 1 3 4 5 |l( n =2n !所以，an的通項公式為an=.2a評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an (n - 1)an(n _ 2)轉化為 亠 =n 1(n _ 2),anaaa進而求出 嚶 3 a2，從而可得當n_2時，an的表達式，最后再求出數(shù)列的

8、 an J an _2a2通項公式。四、待定系數(shù)法例7已知數(shù)列an滿足an2an 3 5n，a6，求數(shù)列l(wèi)aj的通項公式。解：設 anx 5n2(an x 5n)將a. 1二2an35n代入式，得2an35"x5n2a51，等式兩邊消去2an，得351x5"51，兩邊除以5n，得35= 2x則x = - 1代入式得an1 -5n1 =2(an-5n)n 1a 斤由a“ -51 =6-5 =1 =0及式得an-5n=0,則 亠 =2，則數(shù)列an-5n是以 a-5印-51 =1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則 an -52n4，故an =2n_l，5n。評注：本題解題的關鍵是把

9、遞推關系式an 2an 3 5n轉化為an, -5n 1 =2(an -5n)，從而可知數(shù)列an -5n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 an -5n的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。例8已知數(shù)列an滿足an 3an 5 2n 4, a1,求數(shù)列an的通項公式。解軍：設 an出+xx2n* + y =3(an+xx2n + y) 將an , =3an 5 2n - 4代入式，得3an 5 2n 4 x 2n 1 y = 3(an x 2n y)整理得(5 2x) 2n 4 y = 3x 2n 3y。(5 2x =3x x = 5令，則，代入式得4 y = 3y y = 2an , 5 2n 1

10、 2 =3(an 5 2n 2)由耳 5 21 2 =1 12 =13 = 0 及式，得 an 5 2n 2=0，則 an 1 5 2：2 =3，an 5 2n 2故數(shù)列an52n2是以a15 21 2=1 12=13為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此 an52n*2=133nJ，則an=133nJ-52n-2。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an3an 5 2n 4轉化為an 1 5 2n 1 2 = 3n 5 2n 2)，從而可知數(shù)列an 5 2n 2是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an 5 2n 2的通項公式，最后再求數(shù)列 耳的通項公式。例9已知數(shù)列an滿足an 2an 3n2 4n 5, a

11、 =1，求數(shù)列aj的通項公式。解：設 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z 二 2(an xn2 yn z) 2將an 2an 3n 4n 5代入式，得名師精編 _優(yōu)秀資料2 2 22an 3n 4n 5 x(n 1) y(n 1) z = 2(an xn yn z)，貝U2 22an (3 x)n(2x y 4)n (x y z 5) = 2an 2xn 2yn 2z等式兩邊消去 2an，得(3 x)n 2 an 3n 10n 18是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an 3n 10n 18的通項公式，最后再求出數(shù)列耳的通項公式。五、對數(shù)變換法例10已知數(shù)列an滿足an 1 = 2 3n a：，a

12、7，求數(shù)列an的通項公式。解：因為a.1 = 23na；,a = 7，所以0，an 10。在an23na；式兩邊取 (2x y 4) n (x y z 5) = 2xn2 2yn 2z,f 3 x = 2x1 x = 3I I解方程組 2x y 2y ，貝U y =10，代入式，得x y z5=2z z=18an1 3(n 1)2 10( n 1) 18=2(an 3 n2 10 n 18)由 a1 3 12 10 1 18 = 1 31 =32 = 0及式，得 an 3n2 10n 18=02則帚13(n110(n 18 二 2，故數(shù)列an 3n210n18為以K+3n2+10 n+182a

13、1 3 110 1 1T 332為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此an 3n2 10n 18 =32 2nJ，則 an =2n 常用對數(shù)得 lgan =5lg an，nlg3 lg2 設 lg an 1 x(n 1) y =5(lgan xn y) -3n2 -10n-18。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an2an 3n2 4n 5轉化為2 2an 1 3(n 1) 10(n 1) 18 二 2(an 3n 10n 18)，從而可知數(shù)列將式代入 (H式，得5lgan n lg 3 lg 2x n( 1)y = 5gg xn y，兩邊消去5lgan 并整理，得(lg3 x)n x y lg

14、2 = 5xn 5y，貝Ulg3x -Fg3+x=5x故 I42，故彳x y Ig2 =5ylg 3 lg 2V 164飛飛3®)4164lg 3lg 3 lg 2代入迪式，得 lgan.iy (n 1)5(lg a.4164由 lg a1 1 Ig3 Ig2 = lg 71 .必.必=O 及式,41644164lg 3 lg 3 lg 2 得lg ann亠 亠 0,4164lg an 1(n 1)lg316lg3 lg3 lg2 lg an =(lg7n4161 1= (lg7 lg34 lg361 1 11二 lg(7 345 n=lg(75n 4= lg(711n3憶 24)5

15、n4 -lg(34 316 24)5n i5n T5nT3 43 162 4 )5n 4n J5n 丄 J3 162 4 )也n也壓n 4164所以數(shù)列l(wèi)g an n 必也2是以lg 7 朋或為首項，以5為公比的等41644164比數(shù)列，Vlg an於n 也咗=（lg 7 宴朋g2）51，因此41644164)5n Ig3門 Ig3 Ig24 )4641n11Ig24)5n，Ig34 Ig316 lg 241 1-lg(7 34 316 24)5n4 -lg(34 316 24)5n 4n 45nA4n 1則 an = 753 162 4評注：本題解題的關鍵是通過對數(shù)變換把遞推關系式an1 =

16、 2 3n an轉化為名師精編優(yōu)秀資料lg3lg 3 lg 2lg 3 Ig 3 Ig 2Ig an i (n 1)5(lg a.n)，從而可知數(shù)列41644164lg 3 lg 3 lg 2lg 3 lg 3 lg 2lg a.n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 lg a. n的通項41644164公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。六、迭代法例11已知數(shù)列an滿足an a3(n 1)2", a, =5，求數(shù)列an的通項公式。解:因為a n 13( n 1)2 n二 an所cnd亠n n 2小(3n -2 n _ 二an-2n3an二 an-132( n-1) n 2(2)(nJ)二 a-

17、23( n 2) 2n-3 32 ( n_1) n 2(2)(nJ)一 a n 3=33 ( n 2)( n -1) n 2(心)*)嘰 n/)一 a n 一3=III32 2n 2)彳 n 1) n 21*2勺川“+< 2)“二円 n_i)=a1n ( n J)32 n! 2 =a1n(n1)又& =5，所以數(shù)列an的通項公式為尹 n!2 2an 二 5評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式ana3(n 1)2°兩邊取常用對數(shù)得lgan1 =3(n 1) 2n lgan，即也旦口 =3(n 1)2n，再由累乘法可推知n(n-1)lg an

18、©an譙豐川眶血=95宀尸，從而會5宀呼。lg a2 lgq七、數(shù)學歸納法例12已知數(shù)列an滿足an .1二an8( n +1)2 2(2n 1) (2n 3)8-，求數(shù)列an的通項公式。9解：由 an1"n (2n 黑(2：)3)(2 k 3)2( k 1) 12 -12( k 1) 12 及 ai 詣，得8(1+1)88x224a2 = a22(2 1 1)2(2 1 3)2 9 9 25 258(2+1)248漢 348a = a222(2 2 1)2(2 2 3)225 25 49 498(3 + 1)488x480a4 = a3(2 3 1)2(2 3 3)249 49 81812由此可猜測往下用數(shù)學歸納法證明這個結論。(2n 1) -1(2n 1)28，所以等式成立。9(1 )當 n =1 時,2(2 1 1)-1(2 1 1)2(2)假設當n二k時等式成立，即ak 二(2 k 1)2 -1(2 k 1)2，則當n k 1時,ak 1 = ak8(k +1)2 2 (2k 1) (2k 3)(2k 1)2 -18(k 1)(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)(2 k +1)2(2k+3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k