高中數(shù)學(xué)中球的應(yīng)用

1、    高中數(shù)學(xué)中球的應(yīng)用    周進壯摘 要：高中數(shù)學(xué)教師在立體幾何教學(xué)中，主要注重培養(yǎng)學(xué)生研究幾何體的應(yīng)用意識。學(xué)生對球的知識應(yīng)用缺乏一個整體的分析，也就很難對所面臨的問題有很好的把握。根據(jù)這一原因，教師在日常教學(xué)過程中應(yīng)該經(jīng)常幫助學(xué)生掌握研究幾何體的基本方法。下面從幾個方面研究球的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：幾何體；組合體；四面體一、球與棱柱的組合體問題常見的有關(guān)正方體的內(nèi)切球與外接球問題：設(shè)正方體的棱長為a，求：（1）內(nèi)切球半徑；（2）與棱相切的球半徑；（3）外接球半徑。（1）截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得r=；（2）對于與正方體abcd-a的所有棱都能相切的球：

2、球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，作截面圖，易得r=a。注意，學(xué)生在解答這一類問題時，關(guān)于外接球問題，先要確定柱體上下底面的外接圓的圓心，連接兩個外接圓的圓心確定連心線的中點即為外接球的球心，然后連接球心與柱體的任意一個頂點，再把柱體的頂點與外接圓的圓心連接，構(gòu)成一個直角三角形，然后利用勾股定理解答球的半徑。例1.已知三棱柱abc-a1b1c1的六個頂點都在球o的球面上，若aa1平面a1b1c1，a1b1b1c1，aa1=8，a1c1=2，則球o的體積為（ ）a.200 b. c. d.答案：c二、球與棱錐的組合體問題在解答有關(guān)立體幾何中球與棱錐的組合體問題時，學(xué)生往往簡單地根據(jù)題意可以

3、畫出一個簡單的圖形，但由于我們的學(xué)生自從接觸了空間向量之后，似乎已經(jīng)不會利用實際的圖形進行解答，因為有關(guān)球的實際應(yīng)用很難利用空間直角坐標(biāo)系求解，又由于我們大多數(shù)的學(xué)生缺乏對幾何體尤其是有關(guān)球的組合體的整體分析，更是無從下手，也就很難理解問題的實質(zhì)。所以，我們要讓學(xué)生學(xué)會利用好有關(guān)錐體軸截面的不同特征來解決，讓學(xué)生學(xué)會從圍成的空間幾何體的面分清所利用的圖形，注意位置關(guān)系的變化。有些特殊的幾何體，例如與正四面體有關(guān)的內(nèi)切球、外接球的半徑及性質(zhì)應(yīng)該熟練推導(dǎo)，最好能記住特殊的結(jié)論。正四面體（棱長為a）的外接球半徑r與內(nèi)切球半徑r之比為r：r=3：1。外接球半徑：r=a內(nèi)切球半徑：ra特殊結(jié)論：正四面體

4、與球的接切問題，可以引導(dǎo)學(xué)生通過線面的位置關(guān)系解答，而且還需要學(xué)生注意同一個正四面體的內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，注意記住球心為正四面體高的四等分點，也就是正四面體內(nèi)切球的半徑r=h（h為正四面體的高），且正四面體外接球的半徑r=3r。例2.已知三棱錐o-abc中，a、b、c三點均在球心為o的球面上，且ab=bc=1，abc=120°，若求o的體積為，則三棱錐o-abc的體積是 。答案：。解析：三棱錐o-abc中，a、b、c三點均在球心為o的球面上，且ab=bc=1，abc=120°，則ac=，所以sabc=×1×1×sin120

5、6;=，設(shè)球的半徑為r，由球的體積v=r3=，解得r=4.設(shè)abc外接圓的圓心為g，所以og垂直于平面圓g，外接圓的半徑ga=1所以og=所以三棱錐o-abc的體積為v=sabc·og=··=對于四面體內(nèi)切球問題，關(guān)鍵是根據(jù)“球心到四面體每個面的距離等于球的半徑”找等量關(guān)系。注意：我們引導(dǎo)學(xué)生在解決有關(guān)球與正四面體四個面相切的問題時，要注意球是正四面體的內(nèi)切球，球心到正四面體四個面的距離相等，都為球半徑?？梢岳玫润w積轉(zhuǎn)換的方法進行解答，這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為求球心到三棱錐面的距離，而點面距離?？梢杂玫润w積法解決，這樣一來問題就可以解答了。例3.三棱錐p-abc中

6、，底面abc滿足ba=bc，abc=，p在面abc的射影為ac的中點，且該三棱錐的體積為，當(dāng)其外接球的表面積最小時，p到面abc的距離為（ ）a.2 b.3 c.2 d.3解：設(shè)ab=bc=x，od= vp-abc=pdsabc=所以pd=r+所以54r=+x4=+x433=所以r，當(dāng)且僅當(dāng)=x4時取到等號，x=3，則pd=3所以p到面abc的距離為3。注意：對于“內(nèi)切”和“外接”等有關(guān)問題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系，主要包括特殊的點、線、面之間的關(guān)系，分析空間幾何體重要的是能利用空間幾何體本身的特點，抓住棱與面的關(guān)系，建立有關(guān)的等量關(guān)系，進行比較細致的研究并且作出準確的分析與判斷，這是解決有關(guān)球的內(nèi)切和外接問題的重要前提。三、多面體通過補形的方法研究外接球與內(nèi)切球?qū)⒍嗝骟w補成長方體或正方體的方法是，對于正方體或長方體來說，它們的外