機(jī)器人軌跡規(guī)劃ppt課件

1、第四章 機(jī)器人軌跡規(guī)劃,本章主要內(nèi)容,4.1 機(jī)器人軌跡規(guī)劃概述 4.2 插補(bǔ)方式分類與軌跡控制 4.3 機(jī)器人軌跡插補(bǔ)計(jì)算 4.4 軌跡的實(shí)時生成,所謂機(jī)器人的規(guī)劃(P1anning)，指的是機(jī)器人根據(jù)自身的任務(wù)，求得完成這一任務(wù)的解決方案的過程。這里所說的任務(wù)，具有廣義的概念，既可以指機(jī)器人要完成的某一具體任務(wù)，也可以是機(jī)器人的某個動作，比如手部或關(guān)節(jié)的某個規(guī)定的運(yùn)動等,4.1 機(jī)器人軌跡規(guī)劃概述,一、機(jī)器人規(guī)劃的概念,為說明機(jī)器人規(guī)劃的概念，我們舉下面的例子： 在一些老齡化比較嚴(yán)重的國家，開發(fā)了各種各樣的機(jī)器人專門用于伺候老人，這些機(jī)器人有不少是采用聲控的方式比如主人用聲音命令機(jī)器人“給

2、我倒一杯開水”，我們先不考慮機(jī)器人是如何識別人的自然語言，而是著重分析一下機(jī)器人在得到這樣一個命令后，如何來完成主人交給的任務(wù),一、機(jī)器人規(guī)劃的概念,首先，機(jī)器人應(yīng)該把任務(wù)進(jìn)行分解，把主人交代的任務(wù)分解成為“取一個杯子”、“找到水壺”、“打開瓶塞”、“把水倒人杯中”、“把水送給主人”等一系列子任務(wù)。這一層次的規(guī)劃稱為任務(wù)規(guī)劃(Task planning)，它完成總體任務(wù)的分解。 然后再針對每一個子任務(wù)進(jìn)行進(jìn)一步的規(guī)劃。以“把水倒入杯中”這一子任務(wù)為例，可以進(jìn)一步分解成為一系列動作，這一層次的規(guī)劃稱為動作規(guī)劃，它把實(shí)現(xiàn)每一個子任務(wù)的過程分解為一系列具體的動作,為了實(shí)現(xiàn)每一個動作，需要對手部的運(yùn)動

3、軌跡進(jìn)行必要的規(guī)定，這是手部軌跡規(guī)劃(Hand trajectory planning )。 為了使手部實(shí)現(xiàn)預(yù)定的運(yùn)動，就要知道各關(guān)節(jié)的運(yùn)動規(guī)律，這是關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃(Joint trajectory planning)。 最后才是關(guān)節(jié)的運(yùn)動控制(Motion control,上述例子可以看出，機(jī)器人的規(guī)劃是分層次的，從高層的任務(wù)規(guī)劃，動作規(guī)劃到手部軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃。在上述例子中，我們沒有討論力的問題，實(shí)際上，對有些機(jī)器人來說，力的大小也是要控制的，這時，除了手部或關(guān)節(jié)的軌跡規(guī)劃，還要進(jìn)行手部和關(guān)節(jié)輸出力的規(guī)劃。 智能化程度越高，規(guī)劃的層次越多，操作就越簡單,軌跡規(guī)劃的目的是將操作人員輸入的

4、簡單的任務(wù)描述變?yōu)樵敿?xì)的運(yùn)動軌跡描述。 例如，對一般的工業(yè)機(jī)器人來說，操作員可能只輸入機(jī)械手末端的目標(biāo)位置和方位，而規(guī)劃的任務(wù)便是要確定出達(dá)到目標(biāo)的關(guān)節(jié)軌跡的形狀、運(yùn)動的時間和速度等。這里所說的軌跡是指隨時間變化的位置、速度和加速度,簡言之，機(jī)器人的工作過程，就是通過規(guī)劃，將要求的任務(wù)變?yōu)槠谕倪\(yùn)動和力，由控制環(huán)節(jié)根據(jù)期望的運(yùn)動和力的信號，產(chǎn)生相應(yīng)的控制作用，以使機(jī)器人輸出實(shí)際的運(yùn)動和力，從而完成期望的任務(wù)。如下圖所示。這里，機(jī)器人實(shí)際運(yùn)動的情況通常還要反饋給規(guī)劃級和控制級，以便對規(guī)劃和控制的結(jié)果做出適當(dāng)?shù)男拚?要求的任務(wù)由操作人員輸入給機(jī)器人，為了使機(jī)器人操作方便、使用簡單，必須允許操作人員

5、給出盡量簡單的描述。 期望的運(yùn)動和力是進(jìn)行機(jī)器人控制所必需的輸入量，它們是機(jī)械手末端在每一個時刻的位姿和速度，對于絕大多數(shù)情況，還要求給出每一時刻期望的關(guān)節(jié)位移和速度，有些控制方法還要求給出期望的加速度等,4.1 機(jī)器人軌跡規(guī)劃概述,軌跡規(guī)劃？ 機(jī)器人在作業(yè)空間要完成給定的任務(wù)，其手部運(yùn)動必須按一定的軌跡(trajectory)進(jìn)行。 軌跡的生成一般是先給定軌跡上的若干個點(diǎn)，將其經(jīng)運(yùn)動學(xué)反解映射到關(guān)節(jié)空間，對關(guān)節(jié)空間中的相應(yīng)點(diǎn)建立運(yùn)動方程，然后按這些運(yùn)動方程對關(guān)節(jié)進(jìn)行插值，從而實(shí)現(xiàn)作業(yè)空間的運(yùn)動要求，這一過程通常稱為軌跡規(guī)劃,二、軌跡規(guī)劃的一般性問題,工業(yè)機(jī)器人的作業(yè)可以描述成工具坐標(biāo)系T相對

6、于工件坐標(biāo)系S的一系列運(yùn)動,圖4.1 機(jī)器人將銷插入工件孔中的作業(yè)描述,圖4.1所示的將銷插入工件孔中的作業(yè)，可以借助工具坐標(biāo)系的一系列位姿Pi (i=1，2，n)來描述,二、軌跡規(guī)劃的一般性問題,用工具坐標(biāo)系相對于工件坐標(biāo)系的運(yùn)動來描述作業(yè)路徑是一種通用的作業(yè)描述方法。 它把作業(yè)路徑描述與具體的機(jī)器人、手爪或工具分離開來，形成了模型化的作業(yè)描述方法，從而使這種描述既適用于不同的機(jī)器人，也適用于在同一機(jī)器人上裝夾不同規(guī)格的工具,圖4.2 機(jī)器人的初始狀態(tài)和終止?fàn)顟B(tài),對點(diǎn)位作業(yè)(pick and place operation)的機(jī)器人，需要描述它的起始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)，即工具坐標(biāo)系的起始值T0，

7、目標(biāo)值Tf。在此，用“點(diǎn)”這個詞表示工具坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)(簡稱位姿),對于另外一些作業(yè)，如弧焊和曲面加工等，不僅要規(guī)定操作臂的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，而且要指明兩點(diǎn)之間的若干中間點(diǎn)(稱路徑點(diǎn))，必須沿特定的路徑運(yùn)動(路徑約束)。這類稱為連續(xù)路徑運(yùn)動(continuousPath motion)或輪廓運(yùn)動(contour motion) 。 在規(guī)劃機(jī)器人的運(yùn)動時還需要弄清楚在其路徑上是否存在障礙物(障礙約束,主要討論連續(xù)路徑的無障礙的軌跡規(guī)劃方法。 軌跡規(guī)劃器可形象地看成為一個黑箱，其輸入包括路徑的“設(shè)定”和“約束”，輸出的是操作臂末端手部的“位姿序列”，表示手部在各離散時刻的中間形位,軌跡規(guī)劃既可在

8、關(guān)節(jié)空間也可在直角空間中進(jìn)行，但是所規(guī)劃的軌跡函數(shù)都必須連續(xù)和平滑，使機(jī)器人的運(yùn)動平穩(wěn)，不平穩(wěn)的運(yùn)動將加劇機(jī)械部件的磨損，并導(dǎo)致機(jī)器人的振動和沖擊。為此，要求所選擇的運(yùn)動軌跡描述函數(shù)必須連續(xù)，而且它的一階導(dǎo)數(shù)(速度)，有時甚至二階導(dǎo)數(shù)(加速度)也應(yīng)該連續(xù) 。 在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行規(guī)劃時是將關(guān)節(jié)變量表示成時間的函數(shù)，并規(guī)劃它的一階和二階時間導(dǎo)數(shù)。 在直角空間進(jìn)行規(guī)劃是指將手部位姿、速度和加速度表示為時間的函數(shù)。而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度由手部的信息導(dǎo)出。通常通過運(yùn)動學(xué)反解得出關(guān)節(jié)位移、用逆稚可比求出關(guān)節(jié)速度，用逆雅可比及其導(dǎo)數(shù)求解關(guān)節(jié)加速度,三、軌跡的生成方式,1) 示教-再現(xiàn)運(yùn)動。這種運(yùn)動由人手

9、把手示教機(jī)器人，定時記錄各關(guān)節(jié)變量，得到沿路徑運(yùn)動時各關(guān)節(jié)的位移時間函數(shù)q(t)；再現(xiàn)時，按內(nèi)存中記錄的各點(diǎn)的值產(chǎn)生序列動作。 (2) 關(guān)節(jié)空間運(yùn)動。這種運(yùn)動直接在關(guān)節(jié)空間里進(jìn)行。由于動力學(xué)參數(shù)及其極限值直接在關(guān)節(jié)空間里描述，所以用這種方式求最短時間運(yùn)動很方便。 (3) 空間直線運(yùn)動。這是一種直角空間里的運(yùn)動，它便于描述空間操作，計(jì)算量小，適宜簡單的作業(yè)。 (4) 空間曲線運(yùn)動。這是一種在描述空間中用明確的函數(shù)表達(dá)的運(yùn)動，如圓周運(yùn)動、螺旋運(yùn)動等,4.2插補(bǔ)方式分類與軌跡控制,一、插補(bǔ)方式分類,點(diǎn)位作業(yè)（PTP=point-to-point motion） 連續(xù)路徑作業(yè)（CP=continuou

10、s-path motion,二、 機(jī)器人軌跡控制過程,圖4.3 機(jī)器人軌跡控制過程,機(jī)器人的基本操作方式是示教-再現(xiàn)，即首先教機(jī)器人如何做，機(jī)器人記住了這個過程，于是它可以根據(jù)需要重復(fù)這個動作。操作過程中，不可能把空間軌跡的所有點(diǎn)都示教一遍使機(jī)器人記住，這樣太繁瑣，也浪費(fèi)很多計(jì)算機(jī)內(nèi)存。實(shí)際上，對于有規(guī)律的軌跡，僅示教幾個特征點(diǎn)，計(jì)算機(jī)就能利用插補(bǔ)算法獲得中間點(diǎn)的坐標(biāo)，如直線需要示教兩點(diǎn)，圓弧需要示教三點(diǎn)，通過機(jī)器人逆向運(yùn)動學(xué)算法由這些點(diǎn)的坐標(biāo)求出機(jī)器人各關(guān)節(jié)的位置和角度(1, , n)，然后由后面的角位置閉環(huán)控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)要求的軌跡上的一點(diǎn)。繼續(xù)插補(bǔ)并重復(fù)上述過程，從而實(shí)現(xiàn)要求的軌跡,4.3

11、機(jī)器人軌跡插值計(jì)算,一、 直線插補(bǔ),空間直線插補(bǔ)是在已知該直線始末兩點(diǎn)的位置和姿態(tài)的條件下，求各軌跡中間點(diǎn)(插補(bǔ)點(diǎn))的位置和姿態(tài),已知直線始末兩點(diǎn)的坐標(biāo)值P0(X0，Y0，Z0)、Pe(Xe，Ye，Ze)及姿態(tài)，其中P0、Pe是相對于基坐標(biāo)系的位置。這些已知的位置和姿態(tài)通常是通過示教方式得到的。設(shè)v為要求的沿直線運(yùn)動的速度；ts為插補(bǔ)時間間隔,直線長度,直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)是機(jī)器人系統(tǒng)中的基本插補(bǔ)算法。對于非直線和圓弧軌跡，可用直線或圓弧逼近，以實(shí)現(xiàn)這些軌跡,ts間隔內(nèi)行程d = vts,插補(bǔ)總步數(shù)N為L/d +1的整數(shù)部分,各軸增量,各插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)值,式中：i=0，1，2，N,可見，兩個插補(bǔ)點(diǎn)之

12、間的距離正比于要求的運(yùn)動速度，只有插補(bǔ)點(diǎn)之間的距離足夠小，才能滿足一定的軌跡控制精度要求。 機(jī)器人控制系統(tǒng)易于實(shí)現(xiàn)定時插補(bǔ)，例如采用定時中斷方式每隔ts中斷一次進(jìn)行一次插補(bǔ)，計(jì)算一次逆向運(yùn)動學(xué)，輸出一個給定值。由于ts僅為幾毫秒，機(jī)器人沿著要求軌跡的速度一般不會很高，且機(jī)器人總的運(yùn)動精度不高，故大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人采用定時插補(bǔ)方式,二、圓弧插補(bǔ),1.平面圓弧插補(bǔ) 平面圓弧是指圓弧平面與基坐標(biāo)系的三大平面之一重合，以XOY平面圓弧為例。已知不在一條直線上的三點(diǎn)P1、P2、P3及這三點(diǎn)對應(yīng)的機(jī)器人手端的姿態(tài)，如圖4.5及圖4.6所示,圖4.5 由已知的三點(diǎn)P1、P2、P3決定的圓弧 圖4.6 圓弧插補(bǔ)

13、,設(shè)v為沿圓弧運(yùn)動速度；ts為插補(bǔ)時時間隔。 (1) 由P1、P2、P3決定的圓弧半徑R。 (2) 總的圓心角=1+2，即,3) ts時間內(nèi)角位移量=tsv/R,4) 總插補(bǔ)步數(shù)(取整數(shù)) N = / + 1 對Pi+1 點(diǎn)的坐標(biāo)，有 式中：Xi=R cosi；Yi=Rsini,由i+1=i +可判斷是否到插補(bǔ)終點(diǎn)。若i+1，則繼續(xù)插補(bǔ)下去；當(dāng) i+1時，則修正最后一步的步長,故平面圓弧位置插補(bǔ)為,2.空間圓弧插補(bǔ),空間圓弧是指三維空間任一平面內(nèi)的圓弧。 空間圓弧插補(bǔ)可分三步來處理： (1) 把三維問題轉(zhuǎn)化成二維，找出圓弧所在平面。 (2) 利用二維平面插補(bǔ)算法求出插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)(Xi+1, Yi

14、+1)。 (3) 把該點(diǎn)的坐標(biāo)值轉(zhuǎn)變?yōu)榛A(chǔ)坐標(biāo)系下的值，如圖4.7所示,通過不在同一直線上的三點(diǎn)P1、P2、P3可確定一個圓及三點(diǎn)間的圓弧，其圓心為OR,半徑為R，圓弧所在平面與基礎(chǔ)坐標(biāo)系平面的交線分別為AB、BC、CA。 建立圓弧平面插補(bǔ)坐標(biāo)系，即把ORXRYRZR坐標(biāo)系原點(diǎn)與圓心OR重合，設(shè)ORXRYR平面為圓弧所在平面，且保持ZR為外法線方向。 求解兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。 令TR表示由圓弧坐標(biāo)ORXRYRZR 至基礎(chǔ)坐標(biāo)系OX0Y0Z0的轉(zhuǎn)換矩陣,若ZR軸與基礎(chǔ)坐標(biāo)系Z0軸的夾角為，XR軸與基礎(chǔ)坐標(biāo)系的夾角為，則可完成下述步驟： 將XRYRZR的原點(diǎn)OR放到基礎(chǔ)原點(diǎn)O上； 繞ZR軸轉(zhuǎn)，使X

15、0與XR平行； 再繞XR軸轉(zhuǎn)角，使Z0與ZR平行,這三步完成了XRYRZR向X0Y0Z0的轉(zhuǎn)換，故總轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)為,欲將基礎(chǔ)坐標(biāo)系的坐標(biāo)值表示在ORXRYRZR坐標(biāo)系，則要用到TR的逆矩陣,三、關(guān)節(jié)空間插補(bǔ),路徑點(diǎn)(結(jié)點(diǎn))通常用工具坐標(biāo)系相對于工件坐標(biāo)系位姿來表示。為了求得在關(guān)節(jié)空間形成所要求的軌跡，首先用運(yùn)動學(xué)反解將路徑點(diǎn)轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)矢量角度值，然后對每個關(guān)節(jié)擬合一個光滑函數(shù)，使之從起始點(diǎn)開始，依次通過所有路徑點(diǎn)，最后到達(dá)目標(biāo)點(diǎn),對于每一段路徑，各個關(guān)節(jié)運(yùn)動時間均相同，這樣保證所有關(guān)節(jié)同時到達(dá)路徑點(diǎn)和終止點(diǎn)，從而得到工具坐標(biāo)系應(yīng)有的位置和姿態(tài)。但是，盡管每個關(guān)節(jié)在同一段路徑中的運(yùn)動時間相同，各個

16、關(guān)節(jié)函數(shù)之間卻是相互獨(dú)立的,三、關(guān)節(jié)空間插補(bǔ),在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃，需要給定機(jī)器人在起始點(diǎn)、終止點(diǎn)手臂的形位。 對關(guān)節(jié)進(jìn)行插值時，應(yīng)滿足一系列約束條件，在滿足所要求的約束條件下，可以選取不同類型的關(guān)節(jié)插值函數(shù)生成不同的軌跡,三、關(guān)節(jié)空間插補(bǔ),1.三次多項(xiàng)式插值,在操作臂運(yùn)動的過程中，由于相應(yīng)于起始點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度0是已知的而終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)角f可以通過運(yùn)動學(xué)反解得到，因此，運(yùn)動軌跡的描述，可用起始點(diǎn)關(guān)節(jié)角與終止點(diǎn)關(guān)節(jié)角度的一個平滑插值函數(shù)(t)來表示。(t)在t0=0時刻的值是起始關(guān)節(jié)角度0，終端時刻tf的值是終止關(guān)節(jié)角度f,為實(shí)現(xiàn)單個關(guān)節(jié)的平穩(wěn)運(yùn)動，軌跡函數(shù)(t)至少需要滿足四個約束條件，即兩端

17、點(diǎn)位置約束和兩端點(diǎn)速度約束。 端點(diǎn)位置約束是指起始位姿和終止位姿分別所對應(yīng)的關(guān)節(jié)角度。(t)在時刻t0=0時的值是起始關(guān)節(jié)角度0，在終端時刻tf時的值是終止關(guān)節(jié)角度f，即,1.三次多項(xiàng)式插值,為滿足關(guān)節(jié)運(yùn)動速度的連續(xù)性要求，兩外還有兩個約束條件，即在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度要求。為了滿足關(guān)節(jié)運(yùn)動速度連續(xù)性的要求，起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度可簡單地設(shè)定為零,1.三次多項(xiàng)式插值,上面給出的四個約束條件可以惟一地確定一個三次多項(xiàng)式,運(yùn)動過程中的關(guān)節(jié)速度和加速度則為,為求得三次多項(xiàng)式的系數(shù)a0，a1，a2和a3，代以給定的約束條件，有方程組,求解該方程組，可得,對于起始速度及終止速度為零的關(guān)節(jié)運(yùn)動，滿足

18、連續(xù)平穩(wěn)運(yùn)動要求的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)為,關(guān)節(jié)角速度和角加速度的表達(dá)式為,這里再次指出：這組解只適用于關(guān)節(jié)起始、終止速度為零的運(yùn)動情況,圖4.8 三次多項(xiàng)式插值的關(guān)節(jié)運(yùn)動軌跡,三次多項(xiàng)式插值的關(guān)節(jié)運(yùn)動軌跡曲線如圖4.8所示。由圖可知，其速度曲線為拋物線，相應(yīng)的加速度曲線為直線,例：設(shè)有一臺轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的機(jī)器人，其在執(zhí)行一項(xiàng)作業(yè)時關(guān)節(jié)運(yùn)動歷時3s。根據(jù)需要，其上某一關(guān)節(jié)必須運(yùn)動平穩(wěn)，并具有如下作業(yè)狀態(tài)：初始時，關(guān)節(jié)靜止不動，位置0=15；運(yùn)動結(jié)束時f =75，此時關(guān)節(jié)速度為0。試根據(jù)上述要求規(guī)劃該關(guān)節(jié)的運(yùn)動,2.過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值,一般情況下要求規(guī)劃過路徑點(diǎn)的軌跡。如圖4.9所示，機(jī)器人作業(yè)除在

19、A、B點(diǎn)有位姿要求外，在路徑點(diǎn)C、D也有位姿要求。對于這種情況，假如末端執(zhí)行器在路徑點(diǎn)停留，即各路徑點(diǎn)上速度為0，則軌跡規(guī)劃可連續(xù)直接使用前面介紹的三次多項(xiàng)式插值方法；但若末端執(zhí)行器只是經(jīng)過，并不停留，就需要將前述方法推廣,實(shí)際上，可以把所有路徑點(diǎn)看作是“起始點(diǎn)”或“終止點(diǎn)”，求解逆運(yùn)動學(xué)，得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)矢量值。然后確定所要求的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)，把路徑點(diǎn)平滑地連接起來。但是，在這些“起始點(diǎn)”和“終止點(diǎn)“的關(guān)節(jié)運(yùn)動速度不再是零,設(shè)路徑點(diǎn)上的關(guān)節(jié)速度已知，在某段路徑上，起始點(diǎn)為0和 ，終止點(diǎn)為f和 ，這時，確定三次多項(xiàng)式系數(shù)的方法與前所述完全一致，只是速度約束條件變?yōu)?利用約束條件確定三次多項(xiàng)式

20、系數(shù)，有下列方程組,求解方程組，得,如何來確定路徑點(diǎn)上的關(guān)節(jié)速度,由上式確定的三次多項(xiàng)式描述了起始點(diǎn)和終止點(diǎn)具有任意給定位置和速度約束條件的運(yùn)動軌跡,如何確定路徑點(diǎn)上的關(guān)節(jié)速度,1）根據(jù)工具坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)空間中的瞬時線速度和角速度來確定每個路徑點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度。 該方法利用操作臂在此路徑點(diǎn)上的逆雅可比，把該點(diǎn)的直角坐標(biāo)速度“映射”為所要求的關(guān)節(jié)速度。當(dāng)然，如果操作臂的某個路徑點(diǎn)是奇異點(diǎn)，這時就不能任意設(shè)置速度值。 按照該方法生成的軌跡雖然能滿足用戶設(shè)置速度的需要，但是逐點(diǎn)設(shè)置速度畢竟要耗費(fèi)很大的工作量,如何確定路徑點(diǎn)上的關(guān)節(jié)速度,2) 在直角坐標(biāo)空間或關(guān)節(jié)空間中采用適當(dāng)?shù)膯l(fā)式方法，由控制系統(tǒng)自

21、動地選擇路徑點(diǎn)的速度。 圖表示一種啟發(fā)式選擇路徑點(diǎn)速度的方式。圖中0為起始點(diǎn)；D為終止點(diǎn)，A，B和C是路徑點(diǎn)，用細(xì)實(shí)線表示過路徑點(diǎn)時的關(guān)節(jié)運(yùn)動速度。這里所用的啟發(fā)式信息從概念到計(jì)算方法都很簡單，即，假設(shè)用直線段把這些路徑點(diǎn)依次連接起來，如果相鄰線段的斜率在路徑點(diǎn)處改變將號，則把速度選定為零；如果相鄰線段不改變符號，則選取路徑點(diǎn)兩側(cè)的線段斜率的平均值作為該點(diǎn)的速度。因此，根據(jù)規(guī)定的路徑點(diǎn)，系統(tǒng)就能夠按此規(guī)則自動生成相應(yīng)的路徑點(diǎn)速度,如何確定路徑點(diǎn)上的關(guān)節(jié)速度,3)為了保證每個路徑點(diǎn)上的加速度連續(xù)，由控制系統(tǒng)按此要求自動地選擇路徑點(diǎn)的速度。 該方法為了保證路徑點(diǎn)處的加速度連續(xù)，可以設(shè)法用兩條三次曲

22、線在路徑點(diǎn)處按一定規(guī)則聯(lián)接起來，拼湊成所要求的軌跡。 其約束條件是：聯(lián)接處不僅速度連續(xù)，而且加速度也連續(xù)，下面具體地說明這種方法,設(shè)所經(jīng)過的路徑點(diǎn)處的關(guān)節(jié)角度為v，與該點(diǎn)相鄰的前后兩點(diǎn)的關(guān)節(jié)角分別為0和g。設(shè)其路徑點(diǎn)處的關(guān)節(jié)加速度連續(xù)。如果路徑點(diǎn)用三次多項(xiàng)式連接，試確定多項(xiàng)式的所有系數(shù)。 該機(jī)器人路徑可分為0到v段及v到g段兩段，可通過由兩個三次多項(xiàng)式組成的樣條函數(shù)連接。設(shè)從0到v的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)為,而從v到g的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)為,時間區(qū)間分別是0,tf1、0,tf2；約束是,對于第一個方程,對于第二個方程,二個方程： 第一條曲線在t=tf1時的速度等于第二條曲線在t=0的速度； 第一條

23、曲線在t=tf1時的加速度等于第二條曲線在t=0時的加速度,兩個方程共有8個未知數(shù),已知條件有8個,第一方程,第二方程,第一條曲線在t=tf1時的速度等于第二條曲線在t=0的速度； 第一條曲線在t=tf1時的加速度等于第二條曲線在t=0時的 加速度,當(dāng)tf1=tf2=tf時的解為,3. 高階多項(xiàng)式插值 如果對于運(yùn)動軌跡的要求更為嚴(yán)格，約束條件增多，那么三次多項(xiàng)式就不能滿足需要，必須用更高階的多項(xiàng)式對運(yùn)動軌跡的路徑段進(jìn)行插值。例如， 對某段路徑的超始點(diǎn)和終止點(diǎn)都有規(guī)定了關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度要求，則要用一個五次多項(xiàng)式進(jìn)行插值,1）超始點(diǎn)的位置0、速度0 、加速度0 ； 2）終止點(diǎn)的位置f、速度

24、f 、加速度f ； 在給定六個約束條件下，方程的解為,五次多項(xiàng)式有六個系數(shù)，必須滿足六個約束條件： 六個約束條件是,4.用拋物線過渡的線性插值,在關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃中，對于給定起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的情況選擇線性函數(shù)插值較為簡單，如圖4.10所示。 然而，單純線性插值會導(dǎo)致起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)運(yùn)動速度不連續(xù)，且加速度無窮大，顯然，在兩端點(diǎn)會造成剛性沖擊,為此應(yīng)對線性函數(shù)插值方案進(jìn)行修正，在線性插值兩端點(diǎn)的鄰域內(nèi)設(shè)置一段拋物線形緩沖區(qū)段。由于拋物線函數(shù)對于時間的二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，即相應(yīng)區(qū)段內(nèi)的加速度恒定，這樣保證起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的速度平滑過渡，從而使整個軌跡上的位置和速度連續(xù)。線性函數(shù)與兩段拋物線函數(shù)平滑地銜

25、接在一起形成的軌跡稱為帶有拋物線過渡域的線性軌跡，如圖4.11所示,為了構(gòu)造這段運(yùn)動軌跡，假設(shè)兩端的拋物線軌跡具有相同的持續(xù)時間，具有大小相同而符號相反的恒加速度。對于這種路徑規(guī)劃存在有多個解，其軌跡不惟一。但是，每條路徑都對稱于時間中點(diǎn)th和位置中點(diǎn)h。 要保證路徑軌跡的連續(xù)、光滑，即要求拋物線軌跡的終點(diǎn)速度必須等于線性段的速度，故有下列關(guān)系,設(shè)關(guān)節(jié)從起始點(diǎn)到終止點(diǎn)的總運(yùn)動時間為tf ，則tf=2th，并注意到,當(dāng)上式中的等號成立時，軌跡線性段的長度縮減為零，整個軌跡由兩個過渡域組成，這兩個過渡域在銜接處的斜率(關(guān)節(jié)速度)相等；加速度的取值愈大，過渡域的長度會變得愈短，若加速度趨于無窮大，軌跡又復(fù)歸到簡單的線性插值情況,例：已知條件為0=15，f =75，tf =3s，試設(shè)計(jì)兩條帶有拋物線過渡的線性軌跡,解 根據(jù)題意，求出加速度的取值范圍，為此，將