地震波的反射投射和折射

1、中國地質(zhì)大學（北京）備課教師：段云卿應用地震學一§ 1.4§ 1.4地震波的反射、透射和折射序：在§ 1.3中討論了無限均勻完全彈性介質(zhì)中波的傳播情況。當?shù)卣鸩ㄓ龅綆r層界面時，波的動力學特點會發(fā)生變化。地震勘探利 用界面上的反射、透射和折射波。一、平面波的反射及透射同光線在非均勻介質(zhì)中傳播一樣，地震波在遇到彈性分界面時，也要發(fā)生反 射和透射。首先討論平面波的反射與透射。（一）斯奈爾（snell ）定律1.費馬原理（最小時間原理）波從一點傳播到另一點，以所需時間最小來取傳播路徑。如圖，波從P1點傳到B點。速度均勻時，走路徑，直線，t最小,s也最小。速度變化時，走路徑

2、，曲線，t最小,s不最小。注意:時間最小,不一定路程最?。ㄈQ丁速度）。P1P2例1:人要去火車站（見圖）。方法從A步行到B,路程短，用時卻多。方法從A步行到C,再坐車到B,路程長，用時卻少住處A公汽站CC 公汽站步行速度V1汽車速度V2例2:盡快地將信從A送到BV2>>V2中國地質(zhì)大學（北京）應用地震學一§ 1.4備課教師：段云卿Vi V2地面sin ： sin ： 1ViVi(1) 傻瓜路徑 經(jīng)驗路徑 最小時間路徑，滿足透射定律：Sin SinP2.反射定律、透射定律、斯奈爾定律波遇到兩種介質(zhì)的分界面，就發(fā)生反射和透射（注：地震透射、物理折射）（1）反射定律:反射波位

3、丁法平面內(nèi)，反射角=入射角。注：法平面 入射線與界面法線構成的平面， 也叫入射平面或射線平面。(2)透射定律透射線位丁法平面內(nèi)，入射角與透射角滿足下列關系:sin： sin 上 2V1V2(3)斯奈爾定律5綜合（1）和（2）式，有sin ： sin ： 1 sin ： 2PV1V 1 V2這就是斯奈爾定律，P叫射線參數(shù)。推廣到水平層狀介質(zhì)有:V1V2Vn(6.1-65 )注：斯奈爾定律滿足費馬原理，上例2中把信由A送到B路徑是最小時間路徑，它滿足透射定律（用高等數(shù)學求極值可證明）(4)說明:反射定律中說入射角=反射角是有條件的。即：入射波和反射波是同類波, 同時為縱波或同時為橫波。例如：理論和

4、實驗均證明:P波非垂直入射，將產(chǎn)生反射 P波，透射P波，反射SV波，透射SV波。地面應用斯奈爾定律，有sin ： sin ： 1 sin w sin ： 2 sin ：2-(6.1-66 )Vp1 Vp1 Vs1 Vp2 Vs2=p中國地質(zhì)大學（北京）應用地震學一§ 1.4備課教師：段云卿雖然反射SV波是反射波，但a孝Pi，即P波的入射角丈反射SV波的反射角(5)轉(zhuǎn)換波當以一種波入射，產(chǎn)生了與入射波不同類型的反射波或透射波，叫轉(zhuǎn)換波Note: SH波沒有轉(zhuǎn)換波。P波和SV波垂直入射無轉(zhuǎn)換波，非垂直入射有轉(zhuǎn) 換波。地面I地面反射P波入射 P 波P 1 , V P1, VS1VRp 2

5、, V2 , V S2透射P波地面地面（二）諾特方程1.平面波的反射、透射示意圖7中國地質(zhì)大學(北京)應用地震學一§ 1.4備課教師：段云卿當平面縱波Pi入射到界面上時,會產(chǎn)生同類反射波Pii,會產(chǎn)生轉(zhuǎn)換反射波PiSi,會產(chǎn)生同類透射波Pi2,會產(chǎn)生轉(zhuǎn)換透射波圖 6.I-I8PI9PS。(書上角度錯，振動方向錯)17卜面用位函數(shù)表示這些波。2.平面波位移位函數(shù)的表達式r=AB+BCBC=Zcosxxsin a +Zcos a設入射波 Pi 的位函數(shù)：e=Aof(t-0)= Aof(t-xsin 了 ZB)注：r = xsin寄 土 zcos：則同類反射波Pii的位函數(shù)q=RAf(t-

6、地淀*)注：反射波與Z軸方向相反轉(zhuǎn)換反射波PiS的位函數(shù)K=B Af(t-xs"zcos%Vsi同類透射波 的位函數(shù)=T Aof (t-xsin"2jZco"2)轉(zhuǎn)換透射波PiS2的位函數(shù) JD Af(t-X"jZC0浪)(6.1-66A)系數(shù)廿屈同類反射波的振幅 舟日*潤八曲其中：R=中展，稱同類波位移位反射B=轉(zhuǎn)換反射波的振幅入射波的振幅,稱轉(zhuǎn)換波位移位反射系數(shù)t =同；"3，稱同類波位移位透射系數(shù)轉(zhuǎn)換透射波的振幅汕d攻d、不64D =一、 3、一，稱轉(zhuǎn)換波位移位透射 入射波的振幅系數(shù)卜面要用已知的入射波的位函數(shù) 4及界面上的邊界條件，表示

7、出*1、平1、虬甲2,實際上是求出R 8 T、D。3.邊界條件(1) 4個邊界條件應力連續(xù)：界面兩側(cè)正應力要相等界面兩側(cè)剪應力要相等位移連續(xù)：界面兩側(cè)x方向上的位移要相等界面兩側(cè)z方向上的位移要相等(2)應用4個邊界條件，可得到P19的4個方程vS1 尹 1)vS1 尹-1/- 22 2- r V" (1)(1 一21)2P11. 2(：£',2). 2xf2-；zVP1 :xVP1 :x z2 -、 f2 '2v；2 f2 '2v和:知 2= V；2,2T (1-2號土 2專一2222:zVP2 : xVP2 :xz2 '2*：'2

8、*尸代 5)2"：如：2VsiiT T - 2 . 1) =Vs22T:x: z xz: x( I) 十 12十 2.x:z:x: z( I)2十 2:z:x:z:x物理意義：用位移位函數(shù)表示的應力連續(xù)和位移連續(xù)邊界條件。改2右叩2T22:z：x：z(6.1-66B)4.諾特方程將(6.1-66A )代入(6.1-66B),得sincn P1VS1-co1Vp1sin P1cos%"VS?sin 2%V1Vs22cos2Pcos2 相sin2&血 sin： 2Vp2Vpi-cos 2Vp2Vpi VS2 22sin2： 2Vp2 Vsi ，cos2 2：i2Vp1R

9、cos2Vs2R1sing VP1 _. Rsin %Vs2Bcos2 Vp1n2 cos22P Vs1Tsin 2a 1sin 202P12一D1cos2&1(6.1-67)這個方程很難解出R、B、T、D,下面研究垂直入射的情況。(三) 平面波法線入射的情況1. 位移位反射和透射系數(shù)法線入射即a =0,由斯奈爾定律可知：=a.1=a_2=>1 = 0 ?代入(6.1-67),求解，得"B =0D =0r = PR" - P*(6.1-70)2VP2 * PVP1t-2PVP2T =l.2VP2 + PVP12. 物理意義(1) 平面波垂直入射時，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)換波

10、，因為計算結果B=D=0(2) 位移位透射系數(shù)T'Mv '0,說明透射波與入射永遠是同相的(3) 位移位反射系數(shù)R = 艾2 一 一 當P2VP2 - P1VP1 )0時，R>0,反射波與入射波同相。 當P2Vp P1VP10時，R<0,反射波與入射波反相。 當P2VP2 - P1VP1 = 0時，R=0，無反射波。垂直入射時，產(chǎn)生反射波的條件是P2VP2孝PiVpi或Z2尹Zi,即界面兩側(cè)存在波阻抗差。3 .位移反射系數(shù)R和透射系數(shù)Td垂直入射沒有轉(zhuǎn)換波，故rot= 0. Xr .X c* - . c* - .- .- . r-U = grad rot = gra

11、d =i j k=ui v j wk；:x: y : z注：因垂直入射只有z分量 0 0. 倒-U = w =；z.入射波在z方向的位移是w = :z反射波在z方向的位移是w1 =£%:z透射波在z方向的位移是w2 =二 :z由(6.1-66A),得入射波的位移位函數(shù)：, =A0f(t-M) VP1注：r與z 一致 ,、. ，、 I 7反射波的位移位函數(shù)L = RA。f (t - W) VP1注：反射波與z軸方向相反透射波的位移位函數(shù)2 =T A0f ()Vp2一' z T、 w =A。f (t - )()fzVm Vm"_ ， z、，1、 w1 = = RA0 f

12、 (t -) :ZVp1Vp1一' z T、w2 =丁氣 f (t -廠)()-zVP2 VP2& =反射波位移W1的振幅 入射波位移w的振幅RAo1Vp1 = -RAo(T =透射波位移W2的振幅d 入射波位移w的振幅1TAo(-)Vp2Vp1= I1)V P2VP1Ao(將(6.1-70)代入上式，得p _ PVp1 P?Vp2 Rd =(6.1-71)1i2VP2，"1VP1Td =盤 5.說明諾特方程(6.1-67 )佐普瑞茲方程(6.1A-4 )包定坐標系變化坐標系R、T、8 D是位移位反射透射系數(shù)R、T、B、D是位移反射透射系數(shù)上入射時，位移反射透射系數(shù)為

13、：DPVP1 P2VP2Rd =P2Vp2 + P1VP12 P：1 P1 (6.1-71)丁 _2 "p1上入射時，位移反射透射系數(shù)為：DP2VP2 - %VP1R!P?Vp2 + PVp1'T =2PNp1Td 一 -IP2VP2PVP1IP2VP2 + PVP1建議用該式。R+T=1(四) 平面波的傾斜入射傾斜入射時，有轉(zhuǎn)換波。在界面處各種波的能量分配關系由諾特方程 (6.1-67)決定。諾特方程很復雜，要直觀地了解這時的能量分配情況， 通常采用作圖法。1. 對P22兩圖的說明：(1) a =0,表示上入射，R+T=1,B=D=0沒有轉(zhuǎn)換波。(2) 隨著a / , B、

14、D就不再為0,有轉(zhuǎn)換波。(3) a達到某一角度以后，R很大，基本沒有能量向下透射。(4) R的峰值對應著臨界角。(5) P22的b圖，乙=乙，在a =0時，t=1,R=B=D=0沒有反射波，沒有轉(zhuǎn)換波。隨著a/, R 0、B 0、D 0,有反射波，有轉(zhuǎn)換波。有波阻抗差才有反射波，只適合丁垂直入射的情況。(a)(b)P22圖6.1-19反射系數(shù)與入射角的關系2. 對P23兩圖的說明：(1) 土1和金T1時，曲線變化相對平緩。Vp1V P1(2) 公：1曲線變化劇烈。V pi求反射(3) A對R的影響沒有Y竺對R的影響大，所以有時近似用日=土蘭"VP1V2 V1系數(shù)。(a)R 了為參數(shù)(

15、b)P23圖6.1-20反射系數(shù)與金、/的關系Vpi :1總結：(1) 斯奈爾定律指出各種波在界面處的傳播方向。(2) 諾特方程指出各種波在界面處的能量分配關系。(4) 垂直入射時，入射能量為單位1,反射系數(shù)R =艾2 -艾1 ,透射系W = pv"。二、球面波的反射、透射以及折射波(首波)的形成1 .問題的提出上面研究了平面波的反射及透射，平面波的入射角a是包定的。這與實際情況有差異。球面波與實際情況相近，球面波向界面入射時，沿界面上每一點的入 射角a是變化的。這會產(chǎn)生什么結果呢？2 .討論Vp2>*的情況(1)入射角 <臨界角，滿足斯奈爾定律，則有P19圖6.1-18

16、(書上角度錯，振動方向錯)sin ： sin ： 1 sin 1 sin ： 2 sin 2 =pVp1Vp1 Vs1 Vp2 Vs2(6.1-66 )Vp2 VP1隨著入射角a/,總會出現(xiàn)a 2=900的時候，有入射角=臨界角時sin :V7sin900Vp2crVP1sin :=Vp2臨界角iPP =sin（也）Vp2sina21。(2)入射角 > 臨界角iPP之后，為滿足斯奈爾定律，必須有在實數(shù)域sin a 2只能在0-1之間，只有在復數(shù)域才有sina2)1。設透射諧波的位移為：xsin ： 2 zcos：般、Upi2 - Api2 exp J，仕-)VP2=AP12 exp J(

17、 t -kxsin ： 2 kzcos： 2)=T AP1 expJ (，tkxsin ： 2 -kzcos： 2)、汪：k =C exp J( t - kxsin ： 2 - kzcos 2)VP2(6.1-77)注：C=T AP1當 sina2：1 時，貝U cosa2 = Ji -sin2a2 = 土Jm (6.1-78)用諾特方程解出的T為復數(shù)，二C=T，Api為復數(shù)，設 C =CeJ©,(6.1-79)將(6.1-78)、(6.1-79)代入(6.1-77),得uP12 =C exp(土kzm)exo J("-kxsin ： 2)(6.1-80)指數(shù)函數(shù)取負號，代表隨Z/, UP12的振幅。指數(shù)函數(shù)取正號，代表隨Z/, UP12的振幅/,不合物理意義，舍去。則(6.1-80)成為：uP12 =C exp(-kzm)exp J(，t - kxsin ： 2)(6.1-81)(3) 式(6.1-81 )的物理意義： 在入射角大丁臨界角以后，透射波沿X