梯的概念學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1梯的概念梯的概念(ginin)第一頁(yè)，共14頁(yè)。討論討論(toln)(toln)函數(shù)函數(shù) z = f (x, z = f (x, y) y) 在一點(diǎn)在一點(diǎn) P P沿某一方向的變化率問(wèn)題沿某一方向的變化率問(wèn)題oyx lP x y P .),(),(lim0 yxfyyxxflf 定義定義(dngy)的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向限為函數(shù)在點(diǎn)限為函數(shù)在點(diǎn)的極限存在，則稱這極的極限存在，則稱這極時(shí)，如果此比時(shí)，如果此比趨于趨于沿著沿著比值，當(dāng)比值，當(dāng)之之兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)第1

2、頁(yè)/共13頁(yè)第二頁(yè)，共14頁(yè)。依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)P沿沿著著x軸軸正正向向 0 , 11 e、 y軸軸正正向向 1 , 02 e 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,； 沿沿著著x軸軸負(fù)負(fù)向向、y軸軸負(fù)負(fù)向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,. . 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP是可微分的，是可微分的， 那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 L的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都 存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 為為 x 軸到方向軸到方向 L的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 第2頁(yè)/共13頁(yè)第三頁(yè)，共14頁(yè)。xyo例例

3、 1 1 求函數(shù)求函數(shù) yxez2 在點(diǎn)在點(diǎn) )0 , 1(P 處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn) )0 , 1(P 到點(diǎn)到點(diǎn) )1 , 2( Q 的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù). . 解解故故x軸軸到到方方向向 l的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角4 . . )0 , 1( xz由由 )0 , 1(yz)4sin(2)4cos(1 lz.22 這這里里方方向向 l即即為為1 , 1 PQ, , 方向方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)PQ )0 , 1(2ye; 1 )0 , 1(22yxe, 2 第3頁(yè)/共13頁(yè)第四頁(yè)，共14頁(yè)。對(duì)對(duì)于于三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu ，它它在在空空間間一一點(diǎn)點(diǎn) ),(zyxP沿沿著著方方向向 L

4、的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù) ，可可定定義義為為 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元推廣可得三元(sn yun)函數(shù)方向?qū)?shù)的函數(shù)方向?qū)?shù)的定義定義（ 其其中中222)()()(zyx ） 同同理理：當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)在在此此點(diǎn)點(diǎn)可可微微時(shí)時(shí)，那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿 任任意意方方向向 L的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有 .coscoscos zfyfxflf 設(shè)設(shè)方方向向 L 的的方方向向角角為為 , ,. . 第4頁(yè)/共13頁(yè)第五頁(yè)，共14頁(yè)。定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在平平面面區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階 連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則對(duì)

5、對(duì)于于每每一一點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，都都 可可定定出出一一個(gè)個(gè)向向量量 jyfixf ，這這向向量量稱稱為為函函 數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP的的梯梯度度，記記為為 ?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問(wèn)題問(wèn)題P. ),( jyfixfyxfgrad 第5頁(yè)/共13頁(yè)第六頁(yè)，共14頁(yè)。 sincosyfxflf sin,cos, yfxf ),(eyxfgrad ,cos| ),(| yxfgrad lf 有最大值有最大值. . 設(shè)設(shè) sin cos jie 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量， 由由方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)公公式式知知 其其中中) )

6、,(eyxfgrad 當(dāng)當(dāng)1) ),(cos( eyxfgrad 時(shí)，時(shí)， 第6頁(yè)/共13頁(yè)第七頁(yè)，共14頁(yè)。函函數(shù)數(shù)在在某某點(diǎn)點(diǎn)的的梯梯度度是是這這樣樣一一個(gè)個(gè)向向量量，它它的的方方 向向與與取取得得最最大大方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的方方向向一一致致, ,而而它它的的 模模為為方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的最最大大值值梯梯度度的的模模為為 結(jié)論結(jié)論(jiln). | ),(|22 yfxfyxfgrad第7頁(yè)/共13頁(yè)第八頁(yè)，共14頁(yè)。),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoyxoy面上面上(min sh

7、n)(min shn)投影如圖投影如圖等高線等高線),(yxfgrad梯度梯度(t d)(t d)為等高線上的法為等高線上的法向量向量P2),(cyxf 1),(cyxf oyxcyxf ),(12cc 第8頁(yè)/共13頁(yè)第九頁(yè)，共14頁(yè)。三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可，都可 定義一個(gè)向量定義一個(gè)向量( (梯度梯度) ) . ),(kzfjyfixfzyxfgrad 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得取得(qd)(qd

8、)最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的的最大值最大值. .梯度的概念梯度的概念(ginin)(ginin)可以推廣到三元函數(shù)可以推廣到三元函數(shù)第9頁(yè)/共13頁(yè)第十頁(yè)，共14頁(yè)。類似地類似地, ,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) P的等量面的等量面czyxf ),(在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一 個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較 高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方高的等量面，

9、而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方 向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù). . 第10頁(yè)/共13頁(yè)第十一頁(yè)，共14頁(yè)。例例 4 4 求函數(shù)求函數(shù) yxzyxu2332222 在點(diǎn)在點(diǎn) )2 , 1 , 1( 處的梯度，并問(wèn)在處的梯度，并問(wèn)在 哪些點(diǎn)處梯度為零哪些點(diǎn)處梯度為零向量向量？ 解解由梯度由梯度(t d)計(jì)算公式得計(jì)算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 在在)0 ,21 ,23(0 P處處梯梯度度為為零零向向量量. . 第11頁(yè)/共13頁(yè)第十二頁(yè)，共14頁(yè)。1 1、方向、方向(fngxing)(fngxing)導(dǎo)數(shù)的概導(dǎo)數(shù)的概念念2 2、梯度、梯度(t d)(t d)的概念的概念3 3、方向?qū)?shù)與梯度、方向?qū)?shù)與梯度(t d)(t d)的關(guān)系的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個(gè)（注意梯度是一個(gè)向量向量）最最大大值值。梯梯度度的的模模為為方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的快快的的方方向向在在這這點(diǎn)點(diǎn)增增長(zhǎng)長(zhǎng)最最梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù) .),(yxf作業(yè)：作業(yè)：60頁(yè)頁(yè) 1，8第12頁(yè)/共13頁(yè)第十三頁(yè)，共14