2019屆河北省中考數(shù)學(xué)系統(tǒng)復(fù)習(xí)：第四單元圖形的初步認(rèn)識與三角形第16講直角三角形8年真題訓(xùn)練

1、1 第 16 講直角三角形命題點(diǎn)直角三角形1(2017 河北 t112 分) 如圖是邊長為10 cm的正方形鐵片，過兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四種剪法中，裁剪線長度所標(biāo)的數(shù)據(jù)( 單位： cm)不正確的是 (a) a b c d 2(2012 河北 t26(1) 3 分) 如圖，在 abc中， ab 13， bc 14，cosabc 513. 探究：如圖，ahbc于點(diǎn) h ，則 ah 12，ac15， abc的面積 sabc84重難點(diǎn)直角三角形的相關(guān)計(jì)算如圖，點(diǎn)d在 rtabc的斜邊 ab上，且 ac 6. (1) 若 ab比 bc大 2. 求 ab的長；若 cd ab于點(diǎn) d，求 cd的長；

2、(2) 若 d是 ab的中點(diǎn)， a36，則 dcb 54；(3) 若 ad 7，db 11， cdb 2b，求 cd的長【思路點(diǎn)撥】(1) 由于 ab比 bc大 2，ac 6，可采用勾股定理求ab；利用面積法可求cd ；(2) 可利用直角三角形兩銳角互余及等邊對等角，求dcb ；(3) 取斜邊的中點(diǎn)e，可得 cd ce. 【自主解答】解： (1) 設(shè) ab x，bc x2，ab2bc2ac2，x2(x 2)262，解得 x10，即 ab 10. 12ac bc 12cd ab ， cd ac bcab6810245. (3) 取 ab的中點(diǎn) e，連接 ce.ad 7，db 11，ab ad d

3、b 7 1118. ce be 12ab 12189. b bce. 2 由三角形的外角性質(zhì)，得ced b bce 2b. cdb 2b ， cdb ced ， cd ce 9. 【變式訓(xùn)練1】(2018 黃岡 ) 如圖，在rtabc中， acb 90， cd為 ab邊上的高， ce為 ab邊上的中線，ad2， ce 5，則 cd (c) a 2 b3 c4 d23 【 變式訓(xùn)練2】(2018 長沙 ) 我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作數(shù)書九章里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5 里，

4、12 里， 13 里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1 里 500 米，則該沙田的面積為(a) a 7.5 平方千米b15 平方千米c 75 平方千米d750 平方千米【變式訓(xùn)練3】如圖，已知 aob 60，點(diǎn) p在邊 oa上，op 10，點(diǎn) m ，n在邊 ob上， pm pn.若 mn 2，則om的長為 4方法指導(dǎo)1在直角三角形中，勾股定理體現(xiàn)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系；利用勾股定理可以已知兩邊求第三邊；已知一邊及其他兩邊的數(shù)量關(guān)系求兩邊；已知三邊的數(shù)量關(guān)系，求三邊；在利用勾股定理的逆定理時(shí)，注意的是兩條較小邊的平方和等于最大邊的平方時(shí)，此三角形是直角三角形2求直角三

5、角形斜邊上高可考慮利用面積法3關(guān)于直角三角形有兩個(gè)重要定理：(1)30 角的直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半，其性質(zhì)體現(xiàn)直角三角形與等邊三角形之間的聯(lián)系，即等邊三角形是由兩個(gè)相同的30的直角三角形拼接而成的；(2) 直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，還可以得到有公共斜邊的多個(gè)直角三角形，斜邊上中點(diǎn)到直角三角形各頂點(diǎn)的距離相等直角三角形斜邊上中線把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形. 1(2018 濱州 ) 在直角三角形中，若勾為3，股為 4，則弦為 (a) a 5 b6 c7 d8 2(2018 賀州 ) 如圖，在 abc中， bac 90， ad bc ，垂足為d，e是邊 bc的中

6、點(diǎn)， ad ed 3，則 bc的長為 (d) a 32 b33 c6 d62 3 3(2018 常德 ) 如圖，已知bd 是 abc的角平分線， ed 是 bc的垂直平分線，bac 90， ad3，則 ce的長為 (d) a 6 b5 c4 d33 4(2018 淄博 ) 如圖，在 rtabc中，cm平分 acb交 ab于點(diǎn) m ，過點(diǎn) m作 mn bc交 ac于點(diǎn) n，且 mn平分 amc. 若 an 1，則 bc的長為 (b) a 4 b6 c43 d8 5(2018 瀘州 )“趙爽弦圖” 巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲如圖所示的 “趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角

7、形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b. 若 ab8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為(d) a 9 b6 c4 d3 6如圖，有四個(gè)三角形，各有一邊長為6，一邊長為8，若第三邊分別為6， 8，10， 12，則面積最大的三角形是 (c) 7(2018 泰州 ) 如圖，在四邊形abcd 中， ac平分 bad ， acd abc 90， e，f 分別為 ac ， cd的中點(diǎn)， d ，則 bef的度數(shù)為270 3 ( 用含 的式子表示 ) 8(2018 保定模擬 ) 勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰一靈感，

8、他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1 或圖 2 擺放時(shí)，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1 證明勾股定理的過程：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1 所示擺放，其中dab 90，求證： a2b2c2. 證明：連接db ，過點(diǎn) d作 bc邊上的高df，則 dfec ba. s四邊形 adcbsacdsabc12b212ab，又 s四邊形 adcbsadbsdcb12c212a(b a) ，12b212ab12c212a(b a) 4 a2b2c2. 請參照上述證法，利用圖2 完成下面的證明將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2 所示擺放，其中dab 90. 求證： a2b2c2. 證明：連接bd

9、，過點(diǎn) b作 de邊上的高bf，則 bfba. s五邊形 acbedsacb sabesade12ab12b212ab，又 s五邊形 acbed s acbsabdsbde12ab12c212a(b a) ，12ab12b212ab12ab12c212a(b a)a2b2c2. 9(2018 揚(yáng)州 ) 如圖，在rtabc中， acb 90， cd ab于點(diǎn) d，ce平分 acd交 ab于點(diǎn) e ，則下列結(jié)論一定成立的是(c) a bc ec bec be c bc be dae ec 10(2018 石家莊模擬 ) 如圖，已知ab 10，點(diǎn) p是線段 ab上的動點(diǎn)，以ap為邊作正六邊形apcd

10、ef ，以 pb為底作等腰bpn ，連接 pd ，dn ，則 pdn的面積的最大值是(b) a 63 b.2534c73 d.2532提示：連接ad ，作 nm pb于點(diǎn) m ，六邊形apcdef 是正六邊形，efad ，dpab ，dp ed ，正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120， ade 60， adp 30， pd 3pa，dp ab ，nm pb ，pd mn ， pm就是 pdn的 pd邊的高，設(shè)pa x. 則 pb 10 x，在等腰bpn中， mn pb ， pm 12pb 12(10 x) ， spdn12pd pm 123x12(10 x) 34(x 5)22534， pdn的面積的

11、最大值為2534. 11(2018 黃岡 ) 如圖，圓柱形玻璃杯高為14 cm，底面周長為32 cm，在杯內(nèi)壁離杯底5 cm的點(diǎn) b處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3 cm 與蜂蜜相對的點(diǎn)a處，則螞蟻從外壁a處到內(nèi)壁b處的最短距離為20cm(杯壁厚度不計(jì)) 5 12(2018 天津 ) 如圖，在邊長為4 的等邊 abc中， d，e分別為 ab ，bc的中點(diǎn)， efac于點(diǎn) f，g為 ef的中點(diǎn)，連接dg ，則 dg的長為192提示：連接de ，在邊長為4 的等邊 abc中， d，e分別為 ab ，bc的中點(diǎn)， de是 abc的中位線，de2，且 de ac ，bdbe ec 2

12、. efac ， c60， fec 30， def efc 90. fc12ec 1，故 ef 22123. g為 ef的中點(diǎn)， eg 32. dg de2eg2192. 13(2018 冀卓模擬 ) 已知，在等腰abc中， ab ac 10，bc 16. (1) 若將 abc的腰不變，底變?yōu)?2，甲同學(xué)說，這兩個(gè)等腰三角形面積相等；乙同學(xué)說，腰不變，底變化，這兩個(gè)三角形面積必不相等請對甲、乙兩種說法做出判斷，并說明理由；(2) 已知 abc底邊上高增加x，腰長增加 (x 2) 時(shí)，底卻保持不變，請確定x 的值；解： (1) 甲說法對，乙說法不對圖 1 圖 2 理由如下：如圖1，過點(diǎn) a作 a

13、d bc于點(diǎn) d. ab ac 10，bc 16，bd cd 8， ad6. sabc12bc ad 48. 如圖 2，作等腰 abc， ab ac 10，bc 12，過點(diǎn) a作 ad bc于點(diǎn) d . ab ac 10，bc 12，bd cd 6. ad 8. sabc 12bc ad 48. 兩個(gè)等腰三角形面積相等(2) 依題意，得 (10 x2)2(6 x)282，解得 x9. 14如圖 1，已知在銳角abc中， cd ，be分別是 ab ，ac邊上的高， m ，n分別是線段bc ，de的中點(diǎn)(1) 求證： mn de ；(2) 連接 dm ，me ，猜想 a與 dme 之間的關(guān)系，并證

14、明猜想；(3) 當(dāng) a變?yōu)殁g角時(shí)，如圖2，上述 (1)(2)中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由6 解： (1) 證明：連接dm ，me. cd ，be分別是 ab，ac邊上的高， m是 bc的中點(diǎn)，dm 12bc ，me 12bc. dm me. 又 n為 de中點(diǎn)， mn de. (2) 在 abc中， abc acb 180 a，dm me bm mc ， bmd cme (180 2 abc)(180 2acb)360 2( abc acb)360 2(180 a)2a ， dme 180 2a. (3) 結(jié)論 (1) 成立，結(jié)論 (2) 不成立連接dm ，me. 理由如下：在abc中， abc acb 180 a， dm me