剛體的定軸轉(zhuǎn)動02

1、 4 4 力矩的功力矩的功 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 一一. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 二二. 剛體勢能及機(jī)械能守恒定律剛體勢能及機(jī)械能守恒定律 5 5 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律 一一. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 二二. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律 作業(yè)：作業(yè)： 5.16 ，5.19，5.20 ，5.25一一. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理既然剛體是一質(zhì)元相對位置固定的特殊質(zhì)點(diǎn)系既然剛體是一質(zhì)元相對位置固定的特殊質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動能定理也適用于剛體質(zhì)點(diǎn)系動能

2、定理也適用于剛體12KKEE 外外W內(nèi)內(nèi)W 由于質(zhì)元相對位置固定由于質(zhì)元相對位置固定12KKEE 外外W0 內(nèi)內(nèi)W4 4 力矩的功力矩的功 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2121rdfdW內(nèi)力總是內(nèi)力總是成對出現(xiàn)成對出現(xiàn)021rd12KKEE 外外W剛體作定軸轉(zhuǎn)動時剛體作定軸轉(zhuǎn)動時221JEK 21222121JJW 外外外外W如何計算？如何計算？已知轉(zhuǎn)動定律已知轉(zhuǎn)動定律dtdJJM d兩邊同乘以角位移兩邊同乘以角位移ddtdJMd dJ 21222121JJW外dJMd設(shè)剛體由位置設(shè)剛體由位置 變化到變化到 時，角速度由時，角速度由 變化到變化到2112對上式積分對上式積分21

3、21dJMd21222121JJ 21MdW外21222121JJ21MdW外由此可見，外力對剛體所作的功的代數(shù)和由此可見，外力對剛體所作的功的代數(shù)和可用合外力矩與剛體的角位移的乘積的積分來表示可用合外力矩與剛體的角位移的乘積的積分來表示力矩的功力矩的功W21MdWW外2122212121JJMdW21222121JJ剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理合外力矩對剛體作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量合外力矩對剛體作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量2122212121JJMdW說明：說明：力矩對剛體作的功實(shí)質(zhì)等于外力對各質(zhì)元做功的總和力矩對剛體作的功實(shí)質(zhì)

4、等于外力對各質(zhì)元做功的總和，它只不過是用力矩和角位移表示而已。，它只不過是用力矩和角位移表示而已。物理物理意義意義力矩的空間累積效果是使剛體動能獲得增量力矩的空間累積效果是使剛體動能獲得增量力矩的功是剛體轉(zhuǎn)動動能改變的量度力矩的功是剛體轉(zhuǎn)動動能改變的量度例例1.一根長一根長L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m 的均勻細(xì)直棒，其一端有一的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑軸固定的光滑軸o，細(xì)棒可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，細(xì)棒可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，最初細(xì)棒靜止在水平位置。最初細(xì)棒靜止在水平位置。求：細(xì)棒由水平位置下擺求：細(xì)棒由水平位置下擺 角時的角速度。角時的角速度。oL解：解：規(guī)定細(xì)棒規(guī)定細(xì)棒順時針順時針轉(zhuǎn)動的方向轉(zhuǎn)

5、動的方向?yàn)檎较?，重力矩為為正方向，重力矩為由上?jié)細(xì)棒只受重力矩作用由上節(jié)細(xì)棒只受重力矩作用NG用剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理用剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理cos2LmgM cos2LmgM 細(xì)棒由水平位置下擺細(xì)棒由水平位置下擺 角，角，重力矩做的功重力矩做的功0cos2dLmgMdWsin2Lmg 由剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理由剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2022121JJ 0cos2dLmgoL000 ，t sin2Lmg2022121JJ 221J sin2Lmg231mLJ Lgsin3 oL例例2.有一長為有一長為L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，靜止放在水平桌面上，它可以繞著過其端點(diǎn)靜止放在

6、水平桌面上，它可以繞著過其端點(diǎn)o，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，細(xì)棒與桌面的滑動摩擦系數(shù)為細(xì)棒與桌面的滑動摩擦系數(shù)為 ，oL0解：解：細(xì)棒作定軸轉(zhuǎn)動，細(xì)棒作定軸轉(zhuǎn)動，之所以停下來是之所以停下來是由于受到阻力矩的作用，由于受到阻力矩的作用，阻力矩是由誰產(chǎn)生的？阻力矩是由誰產(chǎn)生的？重力，支持力，摩擦力重力，支持力，摩擦力摩擦力力矩如何計算？摩擦力力矩如何計算？現(xiàn)給細(xì)棒一初角速度現(xiàn)給細(xì)棒一初角速度0 ，求：細(xì)棒停止運(yùn)動所轉(zhuǎn)過的角度。求：細(xì)棒停止運(yùn)動所轉(zhuǎn)過的角度。oL0dxxfd摩擦力力矩如何計算？摩擦力力矩如何計算？細(xì)棒與平面接觸的各處都受細(xì)棒與平面接觸的各處都受摩擦力

7、，需要用積分法來計算摩擦力，需要用積分法來計算dMM在細(xì)棒上距軸在細(xì)棒上距軸 x 處取一長為處取一長為dx 質(zhì)元質(zhì)元該質(zhì)元所受摩擦力為該質(zhì)元所受摩擦力為dmgdf對軸對軸o 的力臂為的力臂為xr dmgxdMdxLmdm 方向垂直棒長方向方向垂直棒長方向質(zhì)元質(zhì)元 dm所受摩擦力力矩所受摩擦力力矩oL0dxxfdgdmxdMMdmgxdMdxLmdm 整個細(xì)棒所受摩擦力力矩整個細(xì)棒所受摩擦力力矩dxxLmgML0221LLmgmgL21與時間無關(guān)的恒力矩與時間無關(guān)的恒力矩oL0dxxfdmgLM21與時間無關(guān)的恒力矩與時間無關(guān)的恒力矩2122212121JJMd由由剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸

8、轉(zhuǎn)動的動能定理0201，20210JM202312121mLmgL231mLJ gL320三三. 剛體勢能及機(jī)械能守恒定律剛體勢能及機(jī)械能守恒定律一個剛體受到保守力的作用，也可以引入勢能的概念一個剛體受到保守力的作用，也可以引入勢能的概念例如：例如：剛體受到重力的作用，剛體就具有一定的重力勢能。剛體受到重力的作用，剛體就具有一定的重力勢能。它的重力勢能就是它的各質(zhì)元重力勢能的總和它的重力勢能就是它的各質(zhì)元重力勢能的總和 iiiiiiPhmgghmEmhmhiiiC 由質(zhì)心定義由質(zhì)心定義CPmghE 1. 剛體重力勢能剛體重力勢能剛體重力勢能等于它的全部質(zhì)量剛體重力勢能等于它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心

9、時所具有的的勢能。集中在質(zhì)心時所具有的的勢能。2.2. 包含剛體的物體系的的功能原理包含剛體的物體系的的功能原理如果研究對象包括如果研究對象包括剛體剛體和和質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)，上述功和機(jī)械能的計算分成上述功和機(jī)械能的計算分成剛體剛體和和質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)分別計算。分別計算。由質(zhì)點(diǎn)系功能原理由質(zhì)點(diǎn)系功能原理EWW非保內(nèi)外FWWWW非保內(nèi)外221JEK221mvEK剛體剛體動能動能質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)動能動能3. 包括剛體在內(nèi)的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒包括剛體在內(nèi)的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒對于包括剛體的系統(tǒng)，如果在運(yùn)動過程中，對于包括剛體的系統(tǒng)，如果在運(yùn)動過程中，只有保守力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒只有保守力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒常數(shù)PKEEM

10、R0例例2.物體物體 m 通過輕繩懸于定滑輪之下，通過輕繩懸于定滑輪之下，滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M 。現(xiàn)給圓盤一個初角速度現(xiàn)給圓盤一個初角速度 0 ，同時輪軸處對滑輪有一個大小為同時輪軸處對滑輪有一個大小為 Mf 的恒定阻力矩的恒定阻力矩hfM求：求： m 可上升的最大高度?？缮仙淖畲蟾叨?。解：解：選物體、滑輪、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)選物體、滑輪、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)受力分析受力分析MRfgMTNTgm滑輪為定軸轉(zhuǎn)動的剛體滑輪為定軸轉(zhuǎn)動的剛體物體物體 m 視為質(zhì)點(diǎn)視為質(zhì)點(diǎn)MR0hfMMRfgMTNTgm對滑輪定軸轉(zhuǎn)動對滑輪定軸轉(zhuǎn)動有影響只有有影響只有fT由質(zhì)點(diǎn)系功能原

11、理由質(zhì)點(diǎn)系功能原理EWW非保內(nèi)外EWWWF外MdWfMRTM0非保內(nèi)W選選逆時針逆時針轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動方向?yàn)檎较驗(yàn)檎较騞MRTf)(MR0hfMMRfgMTNTgmEWWWF外dMRTWf)(dMRTdfdMTdSfdSTWFMf 為恒定阻力矩為恒定阻力矩fMTdSMR0hfMMRfgMTNTgmEWWWF外fMTdSdSTW外TT fM)02121(2020mvJmghEMR0hfMMRfgMTNTgmfM)02121(2020mvJmghRh00Rv RhMf)2121(20220mRJmgh202)(2RMmgmRJhf例例3.一根長一根長L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m 的均勻細(xì)直棒，其一端有一

12、的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑軸固定的光滑軸o，細(xì)棒可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，細(xì)棒可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，最初細(xì)棒靜止在水平位置。最初細(xì)棒靜止在水平位置。求：細(xì)棒由水平位置下擺求：細(xì)棒由水平位置下擺 角時的角速度。角時的角速度。oLNG解：解：規(guī)定細(xì)棒在水平位置時的規(guī)定細(xì)棒在水平位置時的重力勢能為重力勢能為零零細(xì)棒運(yùn)動過程中只有重力做功細(xì)棒運(yùn)動過程中只有重力做功系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒oLNG用機(jī)械能守恒定律用機(jī)械能守恒定律細(xì)棒由水平位置下擺細(xì)棒由水平位置下擺 角時，角時，重力勢能為重力勢能為CPmghE Chsin2Lmg 由機(jī)械能守恒定律由機(jī)械能守恒定律初始狀態(tài)系統(tǒng)機(jī)械能初始狀態(tài)系統(tǒng)機(jī)械

13、能00 E末了狀態(tài)系統(tǒng)機(jī)械能末了狀態(tài)系統(tǒng)機(jī)械能PKEEE sin2212LmgJ oLNGCh02212 sinLmgJELgsin3 在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，力作用于物體一段時間，在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，力作用于物體一段時間，其結(jié)果是使物體的動量獲得增量其結(jié)果是使物體的動量獲得增量動量定理動量定理對于剛體來說，對于剛體來說，力矩是使剛體運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變的原因，力矩是使剛體運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變的原因，力矩的瞬時作用效果是使剛體的獲得角加速度力矩的瞬時作用效果是使剛體的獲得角加速度與質(zhì)點(diǎn)情況相似，與質(zhì)點(diǎn)情況相似，力矩作用一段時間其效果力矩作用一段時間其效果 又如何呢？又如何呢？由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律JM dtdJ JL

14、dtLd LddtM 左邊是力矩與時間的乘積，左邊是力矩與時間的乘積，與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的沖量相似，與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的沖量相似，它表示力矩在它表示力矩在dt 時間內(nèi)的累積，時間內(nèi)的累積，稱作力矩在稱作力矩在dt 時間內(nèi)的時間內(nèi)的沖量矩，沖量矩，記作記作IddtMId 一一. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理5 5 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律 右邊表示剛體角動量在右邊表示剛體角動量在dt 時間內(nèi)的變化時間內(nèi)的變化LddtMId力矩在力矩在dt 時間內(nèi)對剛體的沖量矩等于時間內(nèi)對剛體的沖量矩等于剛體在這段時間內(nèi)角動量的變化剛體在這段時間內(nèi)角動量的變化剛體定軸轉(zhuǎn)動的

15、角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理微分形式微分形式將上式從將上式從 t1 時刻到時刻到 t2 時刻積分，時刻積分，就可以得到就可以得到剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理的積分形式積分形式12212121LLLddtMIdILLtttt積分形式積分形式從從 t1 時刻到時刻到 t2 時刻，剛體所受合外力矩的沖量矩時刻，剛體所受合外力矩的沖量矩等于這段時間內(nèi)剛體角動量的變化。等于這段時間內(nèi)剛體角動量的變化。根據(jù)根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理可以得到可以得到關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動的一條重要定律關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動的一條重要定律12212121LLLddtMIdILLttt

16、t二二. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律由角動量定理微分形式由角動量定理微分形式當(dāng)當(dāng)0 MLddtMId 0 Ld常常矢矢量量 L當(dāng)繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受合外力矩等于零時，當(dāng)繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受合外力矩等于零時，剛體角動量保持不變剛體角動量保持不變守恒守恒剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律常常矢矢量量 J或或討論討論0 M1221LLdtMItt v 剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒的條件是剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒的條件是當(dāng)當(dāng)0 M錯誤：錯誤：021 ttdtM常常矢矢量量 JL0 M0 M0 iM iMM0 iM0 iiiFrMiiFr|0 iFv 剛體定軸

17、轉(zhuǎn)動角動量守恒的兩種情況剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒的兩種情況B. 和和 都同時改變，但乘積保持不變都同時改變，但乘積保持不變JA. 和和 都保持不變都保持不變Jv 當(dāng)剛體由幾部分組成，且繞同一固定軸轉(zhuǎn)動當(dāng)剛體由幾部分組成，且繞同一固定軸轉(zhuǎn)動0外M常常矢矢量量 iiJL這時角動量在系統(tǒng)內(nèi)部傳遞這時角動量在系統(tǒng)內(nèi)部傳遞內(nèi)外MM上式仍然成立上式仍然成立例例1.有一長為有一長為L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，靜止放在水平桌面上，它可以繞著過其端點(diǎn)靜止放在水平桌面上，它可以繞著過其端點(diǎn)o，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，細(xì)棒與桌面的滑動摩擦系數(shù)為細(xì)棒與桌面的滑動

18、摩擦系數(shù)為 ，現(xiàn)給細(xì)棒一初角速度現(xiàn)給細(xì)棒一初角速度0 ，求：細(xì)棒停止運(yùn)動所需的時間求：細(xì)棒停止運(yùn)動所需的時間oL0整個細(xì)棒所受摩擦力力矩整個細(xì)棒所受摩擦力力矩mgLM21解：解： 細(xì)棒所以停下來是細(xì)棒所以停下來是由于受到摩擦阻力矩的作用由于受到摩擦阻力矩的作用MmgLM21oL0M1221JJMdttt由由與時間無關(guān)的恒力矩與時間無關(guān)的恒力矩0201，231mLJ 12JJtM0231021mLtmgLgLt320例例2.一根長一根長L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m 的均勻細(xì)直棒，其一端的均勻細(xì)直棒，其一端掛在水平光滑軸掛在水平光滑軸o 上，細(xì)棒可以在豎直平面上，細(xì)棒可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，最初細(xì)棒靜止在

19、豎直位置。今有一內(nèi)轉(zhuǎn)動，最初細(xì)棒靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為質(zhì)量為 的子彈以水平速度的子彈以水平速度 射入棒的下射入棒的下端，而不復(fù)出。端，而不復(fù)出。求：細(xì)棒和子彈開始一起運(yùn)動時的角速度。求：細(xì)棒和子彈開始一起運(yùn)動時的角速度。Lo0m0v0m0v分析：分析：由于從子彈射入細(xì)棒到二者一由于從子彈射入細(xì)棒到二者一起運(yùn)動所經(jīng)過的時間極短，起運(yùn)動所經(jīng)過的時間極短，在這一過程中細(xì)棒的位置基本在這一過程中細(xì)棒的位置基本保持不變，即仍然保持豎直。保持不變，即仍然保持豎直。解：解：Lo0m0vgmNgm0受力分析如圖受力分析如圖系統(tǒng)所受外力為系統(tǒng)所受外力為gmNgm0它們對軸它們對軸o 的力矩為零的力矩為零子彈射入細(xì)棒過程中子彈射入細(xì)棒過程中意味著意味著0 外外M常常矢矢量量 iiJL則有則有細(xì)細(xì)棒棒子子彈彈LLL Lo0m0v常常矢矢量量 iiJL細(xì)細(xì)棒棒子子彈彈LLL 碰