迭代法求方程組實現(xiàn)

1、方程組迭代法實現(xiàn)在數(shù)值分析課程中，有許多諸如迭代之類的計算方法，可以非常有效通過求迭代近似解 決許多無法求，或很難求精確解的問題。但這類方法往往有著非常巨人的計算暈，并不適合 通過人力自行解決，所以我便打算自己編寫一個程序，可以實現(xiàn)三種求方程組解的迭代法。 另外，由于sor法會有尋找最佳的w值的需求，所以也一并實現(xiàn)了尋找sor法的最佳w。在編寫程序之前，應(yīng)對三種方法的迭代過程充分了解。雅可比迭代法：<唇說（一訃"廠-訃+勺）_。23兀3 _ a2nxn + e )()一"廠色2兀2- annxn + bn )高斯賽徳爾法:*+】）=丄（知乜_知尢廣）41anxna)+

2、 /)兀2（如）=_（_§內(nèi)（3）住®a2nxnk)+b2)(/v) 丫 伙+ 1)_門 r (*)w/j+la/+l-ainxnk)+2)sor 法：x（z 乂x+于根據(jù)以上的迭代法的思想，設(shè)計了程序，運行界面如下:* 方程組迭代法求解程序* * *對于形如：5*xl+3*x2=78*xl+2*x2=3請按5 3 78 2 3的形式輸入方程組，主對角線上元素須不為0請輸入你選擇的迭代方式：輸入1選擇 雅可比迭代法輸入2選擇 高斯-賽徳爾法輸入3選擇sor法1你選擇了雅可比法請輸入方程組個數(shù)n： 2請按示例方式輸入方程組1 2 10 1 1方程組輸入完成，請輸入迭代初始值0

3、 0請輸入精度（無窮范數(shù)）:0. 01結(jié)巣為.-l 000000 1. 000000 迭代次數(shù)為:3操作完成請輸入你選擇的迭代方式：輸入1選擇 雅可比迭代法輸入2選擇高斯-賽徳爾法輸入3選擇sor法妳入0結(jié)束程斥2你選擇了高斯-賽徳爾法請輸入方程組個數(shù)n： 3請按示例方式輸入方程組8 -3 2 204 11 -1 336 3 12 36方程組輸入完成，請輸入迭代初始值0 0 0請輸入精度（無窮范數(shù)）：o. 0001結(jié)果為：3. 000002 1. 999999 0. 999999 迭代次數(shù)為: 操作完成請輸入你選擇的迭代方式：輸入1選擇 雅可比迭代法輸入2選擇 高斯-賽徳爾法輸入3選擇sor法

4、輸入0結(jié)束程序3你選擇了 sor法請輸入方程組個數(shù)n: 3請按示例方式輸入方程組5 2 1 -12-1 4 2 202 -3 10 3方程組輸入完成，請輸入迭代初始值0 0 0請輸入精度（無窮范數(shù)）：0.0001系統(tǒng)自動匹配最佳w值，請輸入1自行輸入w值，請輸入1匹配到最佳的w值為:0. 885000驅(qū)為：-4. 000038 2. 999997 2.000007迭代次數(shù)為：8操作完成請輸入你選擇的迭代方式：輸入1選擇 雅可比迭代法輸入2選擇 高斯-賽徳爾法輸入3選擇sor法輸入0結(jié)束程序3你選擇了 sor法請輸入方程組個數(shù)n: 3請按示例方式輸入方程組5 2 1 -12-1 4 2 202

5、-3 10 3方稈組輸入完成，請輸入迭代初始值0 0 0請輸入精度（無窮范數(shù)）:0.0001系統(tǒng)自動匹配最住w值，請輸入1自行輸入w值，請輸入2請輸入sor法的w:0.9結(jié)果為-4. 000026 2. 999988 2. 000004 迭代次數(shù)為:8操作完成請輸入你選擇的迭代方式: 輸入1選擇雅町比迭代法 輸入2選擇 高斯-賽徳爾法 輸入3選擇sor法編入0結(jié)束程序該程序在使用過程中對用戶進行引導(dǎo)，用戶可自行選擇方法，并輸入方程組，程序為用戶提 供解答，并給出迭代次數(shù)。如圖所示，其中高斯賽德爾法輸入了課本第六章的例題中1.2式，而sor法則是課本第六章 習(xí)題的第八題，并且還發(fā)現(xiàn)課本第八題的答

6、案有誤，經(jīng)我人工檢驗后，上述程序中的解才是 正確答案。在下面附錄上另附代碼。反思：該程序并沒有直接檢驗迭代的收斂性，而只是在迭代次數(shù)過多的情況下而未結(jié)朿的情 況下判斷其不收斂，缺少嚴謹性，可以在迭代性的收斂證明上繼續(xù)改進。而sor法的最佳w值也僅僅只是確保到達所需精度的迭代次數(shù)為次數(shù)為最小，而非 真正意義上迭代速度最快的wc即僅僅只是保證次數(shù)最小的一個可行w值。另外由于吋間原因和技術(shù)上的不足，無法做出更具有用戶體驗的界面，原意是做成類 似小程序或是網(wǎng)頁等可視化形式而非dos命令行界面，在用戶體驗上可以繼續(xù)改進。附錄實現(xiàn)代碼如下，為.cpp文件，可在編譯器上編譯后直接使用:#incl ude&l

7、t;stdio.h>double absolutefdouble a)訐(avo) return -a;else return a;void jacobi(double a101,double x,double bjnt n,double q)int i,j；double oldx100;/x(k)double newx100;/x(k+l)for (i=0;ivn;i+)oldxi=xi; 賦予初始值double maxdeta=0;for (i=0;ivn;i+)n ewxi=bi;for (j=o;j<n;j+)if (冋newxi=newxi-aij*oldxo；/求 x(

8、l)newxi=newxi/aii;/printf("%lf new 刈 i);if (maxdeta<absolute( newxio ldxi) maxdeta=absolute (n ewxi-oldxi);int count=l;迭代過程，直到滿足精度要求或迭代次數(shù)過多結(jié)束while (maxdeta>q && count<100)maxdeta=o;for (i=0;ivn;i+)oldxi=newxi;for (i=0;ivn;i+)ne wxi=bi;for (j=o;j<n;j+)if(jh) newxi=newxi-aij*o

9、ldxj;newxi=newxi/aii;if (maxdetaobsolute (n ewxi-oldxi) maxdeta=absolute (n ewxi-oldxi);coun t+;迭代完成，給出結(jié)果if (count!=100)printfc'結(jié)果為:n“);for (i=0;ivn;i+)printf("%lf "znewxi);printf(”迭代次數(shù)為:%dn",count);else printf不收斂的結(jié)果，請輸入具有收斂性的方程組n“);高斯賽德爾void gauss(double a101,double x,double b,in

10、t n,double q)int i,j；double oldx100;double newx 100;for (i=0;ivn;i+)oldxi=xi;double maxdeta=0; for (i=0;ivn;i+)n ewxi=bi; for (j=o;j<n;j+)for (j=o;j<i;j+) newxi=newxi-aij*newxj;for (j=i+l;j<n;j+)newxi=newxi-aij*oldxo； newxi=newxi/aii;/printf(h%lf new 刈 i);if (maxdetaobsolute (n ewxi 卜 o ldx

11、i) maxdeta=absolute (n ewxi-oldxi);int count=l;while (maxdeta>q && count<100)maxdeta=0;for (i=0;ivn;i+)oldxi二 n ewxi;for (i=0;ivn;i+)n ewxi=bi;for (j=o;j<n;j+)for (j=o;j<i;j+) newxi=newxi-aij*newxj;for (j=i+l;j<n;j+)newxi=newxi-aij*oldxj;newxi=newxi/aii;訐(maxdetavabsolute (n e

12、wxi 卜 o ldxi) maxdeta=absolute (n ewxio ldxi); count+;訐(count!=100)printf(“結(jié)果為:n“)；for (i=0;ivn;i+)printf("%lf "znewxi);printf(”迭代次數(shù)為:%dn"zcount);else printff1不收斂的結(jié)果，請輸入具有收斂性的方程組n“)；/sorvoid sor(double a101,double x,double b,int n,double q,double w) int i,j;double oldx100;double newx

13、100;for (i=0;i<n;i+)oldxi=xi;double maxdeta=0;for (i=0;ivn;i+)n ewxi=bi;for (j=o;j<n;j+)for (j=o;j<i;j+) newxi=newxi-aij*newxj;for (j=i;j<n;j+) newxi=newxi-aij*oldxj;newxi=oldxi+newxi/aii*w;/printf(h%lf newxdj);if (maxdetaobsolute (n ewxi-oldxi)maxdeta=absolute (n ewxio ldxi);int count=l

14、;while (maxdeta>q && count<100)maxdeta=0;for (i=0;ivn;i+)oldxi二 n ewxi;for (i=0;ivn;i+)n ewxi=bi;for (j=o;j<n;j+)for (j=o;j<i;j卄) newxi=newxi-aij*newxj;for (j=i;j<n;j+) newxi=newxi-aij*oldxj; newxi=oldxi+w*newxi/aii;if (maxdetaobsolute (n ewxi 卜 o ldxi)maxdeta=absolute (n ewxi

15、-oldxi);count+;if (count!=100)printf(”結(jié)果為:n“)；for (i=0;ivn;i+) printf("%lf “,newxi);printf("迭代次數(shù)為:%drf,count);else printf(“不收斂的結(jié)果，請輸入具有收斂性的方程組卍);口行匹配w的sor法void search_sor(double a101,double x,double b,int n,double q)double w,bestx101zbestw;int countmin=1000000;for (w=0.001;w<2;w=w+0.001

16、) int i,j;double oldx100;double newx100;for (i=0;ivn;i+)oldxi=xi;double maxdeta=0;for (i=0;ivn;i+)n ewxi=bi;for (j=o;j<n;j+)for (j=o;j<i;j+) newxi=newxi-aij*newxj;for (j=i;j<n;j+)newxi=newxi-aij*oldxo；newxi=oldxi+newxi/aii*w;/printf("%lf ",newxi);訐(maxdetavabsolute (n ewxi-oldxi)m

17、axdeta=absolute (n ewxio ldxi);int count=l;while (maxdeta>q && count<100)maxdeta=0;for (i=o;ivn;i+)oldxi二 n ewxi;for (i=0;ivn;i+)n ewxi=bi;for (j=o;j<n;j+)for (j=o;j<i;j+) newxi=newxi-aij*newxj;for (j=i;j<n;j+) newxi=newxi-aij*oldxj;newxi=oldxi+w*new xi/aii;if (maxdetaobsolute

18、 (n ewxi-oldxi) maxdeta=absolute (n ewxi-oldxi);coun t+；訐(count!=100)if (count<co untmin)coun tmin=count;for (j=0;ivn;i+) bestxi=n ewxi;bestw=w;printf("匹配到最佳的w值為:lf心bestw); printff'解為:n“)；for (int i=0;ivn;i+)printf("%lf “,best 刈 i);printf("n 迭代次數(shù)為:%dn'：countmin);int main()d

19、ouble a101101,b101,q,x0101;int njjjlag;printff printf(" printf(h printf(h程序樣式* *nh)；* *n");* 方程組迭代法求解程序*nh)；printfcw)；* *nh);printf("printf(h對于形如：5*xl+3*x2=7n");printf("8*xl+2*x2=3nh);printfc請按 5 3 7nn)；printff 8 2 3nn);printf(啲形式輸入方程組，主對角線上元素須不為0nn);printfcnm）；printfc請輸入你選擇

20、的迭代方式：n輸入1選擇 雅可比迭代法n輸入2選擇高斯賽 徳爾法n輸入3選擇sor法n”）；while (scanf("%d蔦&flag)!二eof && flag!=0)if (flag=l)printf("你選擇了雅可比法n“)；else if (flag=2)printf(”你選擇了高斯賽德爾法n“);else if (flag=3)printtf1 你選擇了 sor 法,f);else printf(“非合法輸入，請重新輸入n“)；continue;printff'請輸入方程組個數(shù)n:");scanf(”d“,&n);pri