2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布12.5二項(xiàng)分布及其應(yīng)用試題理

1、第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 12.5 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用試題 理北師大版基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)Ef知識梳理-i.條件概率在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率叫作B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，用符號P(A BP AB來表示，其公式為 R A B =D(R Do).P B2 .相互獨(dú)立事件(1) 一般地，對兩個事件A,B,如果P(AB=P(A)RD，則稱A, B相互獨(dú)立.如果A,B相互獨(dú)立，則A與B,A與B,A與B也相互獨(dú)立.(3)如果Ai,A2,，A相互獨(dú)立，則有P(A1A2A) = RA)P(A2)P( Ai).3 .二項(xiàng)分布進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果滿足以下條件：(1) 每次試驗(yàn)只有兩個

2、相互對立的結(jié)果，可以分別稱為“成功”和“失敗”；(2) 每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p, “失敗”的概率均為 1 p；(3) 各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則P(X=k) = Cipk(1 p)nk(k= 0,1,2，n)若一個隨機(jī)變量X的分布列如上所述，稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，簡記為XB(n,p).【知識拓展】超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別(1) 超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；(2) 超幾何分布是不放回抽取，而二項(xiàng)分布是放回抽取(獨(dú)立重復(fù)).【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癡”或“X”)(1) 條件概率一定不等于它的非條件概率.(X

3、)(2) 相互獨(dú)立事件就是互斥事件.(X)(3) 對于任意兩個事件，公式P(AB=PA)P(B)都成立.(X)2(4)二項(xiàng)分布是一個概率分布，其公式相當(dāng)于(a+b)n二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，其中a= p,b=1-P-(x)(5)RBA)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AE)表示事件A B同時發(fā)生的概率.(V)考點(diǎn)自測1 .袋中有 3 紅 5 黑 8 個大小形狀相同的小球， 從中依次摸出兩個小球， 則在第一次摸得紅球 的條件下，第二次仍是紅球的概率為()答案 B解析 第一次摸出紅球，還剩 2 紅 5 黑共 7 個小球，所以再摸到紅球的概率為|22 .(2016 江西于都三中月考)兩

4、個實(shí)習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為 -和334，兩個零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個零件恰好有一個一等品的概率為()1511A. C. -D.21246答案B23解析因?yàn)閮扇思庸橐坏绕返母怕史謩e為-和 4,3A.8 B.23C. 8D.743答案 0.8解析 已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得戸=將=0.8.0.75一 一 1 15.(教材改編)國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為 3，乙去北京旅游的概率為 4，假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1 人去北京旅游的

5、概率為 _ 答案 2解析 記在國慶期間“甲去北京旅游”為事件A, “乙去北京旅游”為事件B,又P(AP)111=P(A) P(B) = 1 -P(A)1 -P(B) = (1 -3)(1 -4) = 2,“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的對立事件為“甲、乙二人都不去北京旅游”，11故所求概率為 1-P(A B) = 1 -2=2.題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一條件概率例 1 (1)從 1,2,3,4,5 中任取 2 個不同的數(shù)，事件A為“取到的 2 個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B為“取到的 2 個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(BA)等于()1A.8C.5如圖所示，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為 1 的

6、圓的內(nèi)接正方形，將一粒豆子隨機(jī)地扔到該 圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE陰影部分)內(nèi)”，貝 UP(B|A) =_答案(1)B(2)11B.414解析P(A) = CfC2= 5,P(AB= |5= 10,45AB表示事件“豆子落在OEH內(nèi)”，P AB_ OEH的面積1P(B|A)=PA=正方形EFGI面積=4.引申探究則結(jié)果如何?P(B) = C3=3，又A?B,則P(AB=RB)=魯,2 在本例(2)的條件下，求P(A|B) 解 由題意知，/EOHk90,故P(B) = 思維升華條件概率的求法P AB(1)定義法：先求P(A)和P(AB，再由P(

7、B|A) P A求P(B|A) (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)“(AB，得P(B|A)=冒二亡門黒. (2016 開封模擬)已知盒中裝有 3 只螺口燈泡與 7 只卡口燈泡，這些燈泡的外 形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第 1 次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2 次抽到的是卡口燈泡的概率為()2B.27C.7P(B|A)=P ABPA1 若將本例(1)中的事件B：“取到的 2 個數(shù)均為偶數(shù)”改為“取到的2 個數(shù)均為奇數(shù)”，C2+ C25,P AB所以RBA) =34

8、.廠.OEH的面積又，F(xiàn)AB*=圓O的面積12X1X12n XI12?， P(A|B)P ABP B12n2r=76答案 D7解析 方法一 設(shè)事件A為“第 1 次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第 2 次抽到的是卡口燈泡”，小3377則 =而RAB=才 9= 30,方法二 第 1 次抽到螺口燈泡后還剩余9 只燈泡，其中有 7 只卡口燈泡，故第 2 次抽到卡口CC 7燈泡的概率為 g= 9.題型二相互獨(dú)立事件的概率例 2 設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T,T只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為100 的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010求T的分布列；(

9、2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50 分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120 分鐘的概率.解(1)由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計(jì)概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1(2)設(shè)T1,T2分別表示往、返所需時間，T1,T2的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同，設(shè)事件A表示“劉教授共用時間不超過120 分鐘”，由于講座時間為50 分鐘，所以事件A對應(yīng)于“劉教授在路途中的時間不超過70 分鐘”.方法一-(A)=P(+T2W70) =P(T1= 25,Ta45)

10、 +P(T= 30,T270) =P(T1= 35,T2= 40) +P(= 40,T2= 35) +P(= 40,Tz= 40)=0.4X0.1+0.1X0.4+0.1X0.1=0.09,故P(A) = 1- R 入)=0.91.思維升華求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法則所求概率為RBIA) =-P-J-7 - 9-7一303一108(1) 首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立.(2) 求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有：1利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；2正面計(jì)算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計(jì)算.弓諒訓(xùn) 2(2016 青島模擬)為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過聽

11、眾會，決定實(shí)施低峰優(yōu)惠票價制度.不超過22 千米的地鐵票價如下表：乘坐里程x(單位：km)0 x66x1212x0,.Xw4.TX服從XB(5 ,空), -P(X 1) = 9 貝URY1)=解析 XB(2 ,p),C.322一5=A.D.的值不能確定, 它與A,A,答案解析由題意A,Aa,A是兩兩互斥的事件,P(A)5110= 2，HA105由此C 正確;答案1917P（Xi）= 1 p（x= 0）= i c2（i p）2=9,1解得p= 3.又YB（3 ,p）,答案 8之間彼此獨(dú)立，且P(A) = RD =P(C) = 2,由獨(dú)立事件概率公式知RABC)=P(A)P(B)RC)1111=-

12、x X =.2 2 2 89 (2017 廣州質(zhì)檢)設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若解析 設(shè)事件A發(fā)生的概率為P,由題意知(1 p)3= 1 64 =右，解得p=3，則事件A恰好10. (2016 荊州質(zhì)檢)把一枚硬幣任意拋擲三次，事件A=“至少一次出現(xiàn)反面”，事件B=“恰有一次出現(xiàn)正面”，貝 UP(B|A) =_ .答案 7 解析 由題意知，P(AE)=爭=3,P（Y 1） = 1 P（Y=0）=1c3（1p）3=27.8如圖所示的電路有a,b,c三個開關(guān)，每個開關(guān)開或關(guān)的概率都是2，且是相互獨(dú)立的,則燈泡甲亮的概率為解析 燈泡甲亮滿足的條件是a，c兩個開關(guān)都開

13、，b開關(guān)必須斷開,否則短路.設(shè)“a閉合”為事件A“b閉合”為事件B,“ABC,且AB, C事件A至少發(fā)生一次的概率為6364則事件A恰好發(fā)生一次的概率為答案964發(fā)生一次的概率為* 4x（4）2=6418P(A) = 1 -卜8,3所以RBA=prL=7=3 11 現(xiàn)有 4 個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1 或 2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2 的人去參加乙游戲.(1) 求這 4 個人中恰有 2 人去參加甲游戲的概率；(2) 求這 4 個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)

14、的概率；用X, Y分別表示這 4 個人中去參加甲，乙游戲的人數(shù)，記E= |X-Y|，求隨機(jī)變量E的分布列.解(1)依題意知，這 4 個人中，每個人去參加甲游戲的概率為1,去參加乙游戲的概率為2.設(shè)“這 4 個人中恰有k人去參加甲游戲”為事件 A(k= 0,1,2,3,4)這 4 個人中恰有 2 人去參加甲游戲的概率為P(A=C4?32=27.(2)設(shè)“這 4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件 由于A與A互斥，故P(B) =P(A) + RAO = 魯 i+垮19.所以，這 4 個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為E的所有可能取值為 0,2,4. 由于A與A

15、互斥，A與A互斥，故8P(E= 0) =RA)=27，40P(E =2)=RA)+RA)=81，17P(E =4)=RA)+RA)=81.所以E的分布列是P(A)=吋l4-kB,貝 VB=A3+A19E024P8401727818112. (2016 西安模擬)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：元，此作物的市作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6(1) 設(shè)X表示在這塊地上種植1 季此作物的利潤，求X的分布列；(2) 若在這塊地上連續(xù) 3 季種植此作物， 求這 3

16、 季中至少有 2 季的利潤不少于 解(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為 300 kg”，B表示事件“作物市場價格為 題設(shè)知 RA)= 0.5 ,P(B) = 0.4 ,因?yàn)槔麧?產(chǎn)量x市場價格-成本.所以X所有可能的取值為500X101 000=4 000,500X6-1 000=2 000,300X101 000=2 000,300X61 000=800.P(X=4 000)=F(_A)P_B)=(10.5)X(10.4)=0.3,P(X= 2 000) =F(A)RE) +F(A)F(B)2 000 元的概率.6 元/kg ”，由=(10.5)X0.4+0.5X(10.4)=0.5,P(X=8

17、00)=P(A)F(E)=0.5X0.4=0.2,故X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2設(shè)C表示事件“第i季利潤不少于 2 000 兀”(i= 1,2,3),由題意知C, 由(1)知，P(C) =F(X= 4 000) +P(X= 2 000) = 0.3 + 0.5 = 0.8(i= 1,2,3),3 季的利潤均不少于 2 000 元的概率為3P(CQG) =F(G)P(G)RG) = 0.8 = 0.512 ;3 季中有 2 季的利潤不少于 2 000 元的概率為G,G相互獨(dú)立,P(C QG)+P(C C2C3) +F(CC2C3)2021=3X0.82X(10.8

18、)=0.384,所以，這 3 季中至少有 2 季的利潤不少于 2 000 元的概率為 0.512 + 0.384 = 0.896.13.李明在 10 場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下(假設(shè)各場比賽相互獨(dú)立)：場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場 12212客場 1188主場 21512客場 21312主場 3128客場 3217主場 4238客場 41815主場 52420客場 52512(1) 從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6 的概率；(2) 從上述比賽中隨機(jī)選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過 0.6 的概率.解(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10 場比賽中，李明投籃命中率超過0.6 的場次有 5 場，分別是主場 2,主場 3，主場 5，客場 2,客場 4.所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6 的概率是 0.5.(2)記事件A為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6