數理經濟學學習教案

1、會計學1數理經濟學數理經濟學第一頁，共153頁。第1頁/共152頁第二頁，共153頁。共財政、城市經濟學或其它經濟學科。n按照經濟分析方法的分類來講解相關的數學知識，并通過介紹大量的宏微觀經濟模型掌握經濟分析方法和數學方法。第2頁/共152頁第三頁，共153頁。第3頁/共152頁第四頁，共153頁。112( ,.,)1 12 2max: ( ,.,). :.nnxxn niiU x xxst pxp xp xyxipUy表示第個商品的消費量， 表示相對應的商品價格， 為消費效用函數， 為收入。第4頁/共152頁第五頁，共153頁。0( , )0max:( ( ) . : ( )( ( )( )

2、 (0) ( )( )tc kU c t edtst k tf k tc tkkc ttk ttU消費效用現值總和資源和技術的約束初期的資本存量限制表示 時點的人均消費，表示 時點的人均資本存量，表示個人效用函數， 表示主觀貼現率。第5頁/共152頁第六頁，共153頁。第6頁/共152頁第七頁，共153頁。第7頁/共152頁第八頁，共153頁。1211221212121122121212min :(,.,)(,.,)0(,.,)0. :(,.,)0.0(,.,)(,.,)(,.,) (,.,).(,.,)nnnnmnnnnnlf x xxgx xxgx xxs t g x xxgx xxh x

3、 xxhx xxh x xxh x xx000.0:,:,:nmnijfRR gRR hRR第8頁/共152頁第九頁，共153頁。1000min:( , ( ), ( ). : ( )( , ( ), ( ) ( ) ( ):,:,ttnmnmmf t x t u t dtst x tt x t u tx txu tUf R RRRR RRR UR第9頁/共152頁第十頁，共153頁。n動態(tài)最優(yōu)化n（變分法、最優(yōu)控制理論和動態(tài)規(guī)劃 ）第10頁/共152頁第十一頁，共153頁。第11頁/共152頁第十二頁，共153頁。第12頁/共152頁第十三頁，共153頁。第13頁/共152頁第十四頁，共15

4、3頁。 1. Rx|x 舉例(j l)： n1ni2. R(x ,.,x )|xR,i1,.,n n1ni3. R(x ,.,x )|x0,i1,.,n n1ni4. R(x ,.,x )|x0,i1,.,n 第14頁/共152頁第十五頁，共153頁。子集(z j)的定義： 如果集合S的每個元素也是集合T的一個(y )元素，那么集合S是另外一個(y )集合T的子集。ST 記記為為：第15頁/共152頁第十六頁，共153頁。AB x|xA,xB 并并：或或AB x|xA,xB 交交：且且A B x|x A,x B 差差： 但但cAx | xA 余余 ： 第16頁/共152頁第十七頁，共153頁。

5、A B B A A B B A; 交交換換律律： ，ABCABCABCAC 結結合合律律：（）（）, , （）（B B）; ;ABCACBCABCACBC 分分配配律律： ( (）（）（）, , （）（）（）; ;A BA B B A B A,A, ABAA; 吸吸收收律律； 若若，則則 ； ，3.集合的運算(yn sun)規(guī)律第17頁/共152頁第十八頁，共153頁。CA BAB ; 轉轉換換律律: : DeMorgen對對偶偶原原理理；（原原理理）CC(1) (AA(2) (AAC CC C) ),) ) 。 。第18頁/共152頁第十九頁，共153頁。4. 集合(jh)的乘積 ST(s,

6、t)|sS,tT 12n12niiXX.X(x ,x ,.,x )| xX i12i 1i 1nXXX.XX.X 記記第19頁/共152頁第二十頁，共153頁。二、凸集1. 上的凸集 定義(dngy)：nRn1212SRx ,xS,t0,1,tx(1t)xS 稱稱是是凸凸集集：1212zxxztx(1t)x 稱稱 是是與與凸凸組組合合：如如果果，（0 0t t1 1）第20頁/共152頁第二十一頁，共153頁。R中中的的凸凸組組合合凸組合(zh) 例1：(當n=1)第21頁/共152頁第二十二頁，共153頁。2R 中中的的一一些些凸凸組組合合凸組合(zh)例2：(當n=2)第22頁/共152頁

7、第二十三頁，共153頁。凸集：例1：2R 中中的的凸凸集集第23頁/共152頁第二十四頁，共153頁。非凸集：例2：2R 中中的的非非凸凸集集第24頁/共152頁第二十五頁，共153頁。 因此當且僅當把集合內的任意兩點用一條直線(zhxin)聯接，該直線(zhxin)完全處于集合內，那么此集合為凸集。 凸集本質上沒有洞，無斷點(dun din)，在邊界沒有麻煩的凸凹。第25頁/共152頁第二十六頁，共153頁。2. 凸集的性質(xngzh)定理(dngl)1：凸集的交集是凸集nSTRST 設設 與與 是是上上的的凸凸集集，那那么么是是凸凸集集。12112212,TT0,1,(1),STx xS

8、TxSxxSxtztxt xzSzTzSTST 證明：設 與 為凸集。那么且，且。對于令則且因此。即是凸集。第26頁/共152頁第二十七頁，共153頁。三、關系(gun x)與函數1. 二元關系( , ),RSTRSTs tsStT定義：任何有序對把一個元素與另一個元素聯系起來，則這些有序對的集合被認為構成 和 之間的一個二元關系。若(s,t)R,則寫成sRt顯然第27頁/共152頁第二十八頁，共153頁。1.2,1.3,SSASxyxRyyRxSRASxyzxRyyRzxRzSR定義：當一個二元關系是一集合 與自身的乘積的子集，稱這是集合 上的一個關系。定義如果對于 中的所有元素 與 有或那

9、么稱 上的關系 是具有完備性。定義如果對于 中的任何三個元素 、 、 有和則蘊含著，那么稱 上的關系 是具有傳遞性。 第28頁/共152頁第二十九頁，共153頁。1,;(2) () ,;(3) () , ,;nBnRBxBxxx yBxyyxx y zBxy yzxz舉例設 是 維歐氏空間中的凸集，在 中引入一個二元關系記為，如果它具有：（）（反身性）若則完備性若則或者傳遞性若如果則我們稱“”是一個偏好關系。第29頁/共152頁第三十頁，共153頁。2. 函數(hnsh) 函數是一類特殊的關系，它是將一個集合內的每個元素與另一個集合內的單個且唯一的元素聯系起來(q li)的關系。稱函數f是從集

10、合D到另一個集合R的映射，記成f :DR第30頁/共152頁第三十一頁，共153頁。函數(hnsh)與非函數(hnsh)第31頁/共152頁第三十二頁，共153頁。四、一點(y din)拓撲學拓撲學研究(ynji)集合與映射的基本性質。（本書僅考慮 上的集合）nR第32頁/共152頁第三十三頁，共153頁。2221122,( , )()().(),nnniix yRd x yxyxyxyx yx yx yi定義：空間中兩點將：稱為兩點間的“距離”，這里分別是向量第 分量。第33頁/共152頁第三十四頁，共153頁。, ,(1)(3)(1) ( , )0,( , )0;(2) ( , )( ,

11、)(3) ( , )( , )( , ) ()nx y zRd x yxyd x yd x yd y xd x yd y zd x z對于任意的以下的式成立：當且僅當時， 三角不等式第34頁/共152頁第三十五頁，共153頁。ndR在距離 被定義的情況下，向量空間被稱為“歐幾里得空間”；用具有上述定理所示性質的距離來定義的空間被稱為“度量空間”。第35頁/共152頁第三十六頁，共153頁。0000*001.410( ) | ( , )20( ) | ( , )nnnnAxRB xx R d x xxRBxx R d x x定義 、以 為中心，以為半徑的開球是 上的點的子集：、以 為中心，以為半

12、徑的閉球是 上的點的子集：第36頁/共152頁第三十七頁，共153頁。第37頁/共152頁第三十八頁，共153頁。1.5 ,0,( ),nnARxSBxSSR定 義 上 的 開 集如 果 對 于使 得那 么是 一 個 開 集 。顯 然 任 何 開 球 是 開 集 。第38頁/共152頁第三十九頁，共153頁。1.21234nnARR定理 上的開集、空集是一個開集。（定義）、整個空間是一個開集。、開集的并集是一個開集。、任何有限開集的交集是一個開集。第39頁/共152頁第四十頁，共153頁。反例：111(1, 1)nnnAnnA第40頁/共152頁第四十一頁，共153頁。1.3,0,( ),(

13、)1( )2( )xxxxxx Sx Sx SASx SB xSS U B xx Sx U B xx U B xx S 定理 每個開集是開球的并集。即：設 是一個開集。對于使得那么： 證明：（）若（）若第41頁/共152頁第四十二頁，共153頁。1.6 SnARc定義 上的閉集如果S的補集S 是個開集，那么 是一個閉集。第42頁/共152頁第四十三頁，共153頁。SSSxSSx定義： 邊界點 如果以 為中心，以 為半徑的每個球，包含了 內的點，以及不在 內的點，那么 點被稱為 的一個邊界點。集合 的所有邊界點表示成。第43頁/共152頁第四十四頁，共153頁。0,( ),int .xB xSx

14、SSSS 定義： 內點如果以 為中心，使得那么點被稱為 的內點。集合 的所有內點的集合記為第44頁/共152頁第四十五頁，共153頁。定義：閉集 如果集合包含所有邊界點，此集合為閉集。定義：開集 如果一個集合所有點都是內點，那么此集合為開集。第45頁/共152頁第四十六頁，共153頁。閉集的特征(tzhng)： knSSxxS 上的集合 是閉的的點列的極限 也屬于 。第46頁/共152頁第四十七頁，共153頁。第47頁/共152頁第四十八頁，共153頁。1.41234nnARR定理 上的閉集、空集是一個閉集。（定義）、整個空間是一個閉集。、閉集的任何有限集合的并是一個閉集。、閉集的交集是一個閉

15、集。第48頁/共152頁第四十九頁，共153頁。121212123,()4nic ci Iii Iii IicccSRiI ISSSSSSSSSSS（）設 是上的閉集，是有限的指標集。所以是閉的。（ ）設 ， 是閉集。（）所以是閉集。第49頁/共152頁第五十頁，共153頁。 SRSsS設是一個由單點組成的集合，證明 是一個閉集。第50頁/共152頁第五十一頁，共153頁。1.7 SSnARS定義 有界集如果， 完全被包含在一個半徑為 的球內（開球或閉球），則稱 是有界的。3、有界集第51頁/共152頁第五十二頁，共153頁。221 ( ,) |14x yxy、2 ( , )|0 x yxy、

16、舉例(j l)：xyo第52頁/共152頁第五十三頁，共153頁。,SSSSSRlx SlxlSux Su xuS 設是任何非空的實數集。任何實數，對于總有那么是數集 的下界。任何實數 對于總有那么 是數集 的上界。的下界中最大數被稱為 的最大的下界或下確界，記為infS.的上界中最小數被稱為 的最小的上界或上確界，記為supS.定義(dngy)：下確界、上確界第53頁/共152頁第五十四頁，共153頁。第54頁/共152頁第五十五頁，共153頁。第55頁/共152頁第五十六頁，共153頁。1.2.SRabSaSbSSRabSaSbS、設 是 內的一個有界開集，并設 與 分別是 的 下確界和上

17、確界，那么并且、設 是 內的一個有界閉集，并設 與 分別是 的 下確界和上確界，那么并且證明：反證法。第56頁/共152頁第五十七頁，共153頁。nSSR如果集合 是閉的且有界的， 在上被稱為緊的。第57頁/共152頁第五十八頁，共153頁。第58頁/共152頁第五十九頁，共153頁。0000,0,( ,)( ( ), (),:d x xd f xf xf RRx 如果對于總會使得蘊含著那么函數是在點 處連續(xù)。 如果函數在其定義域的每個點上連續(xù)，那么該函數被稱為連續(xù)函數。第59頁/共152頁第六十頁，共153頁。第60頁/共152頁第六十一頁，共153頁。0000,0,()( ()mnDRfD

18、Rf B xDB f xfxfxDf 設，并且設 ：。如果使得：，那么 在 點連續(xù)。如果 在每個點上連續(xù)，那么稱 是連續(xù)函數。第61頁/共152頁第六十二頁，共153頁。第62頁/共152頁第六十三頁，共153頁。()fxa第63頁/共152頁第六十四頁，共153頁。A1.10,0,( ),A1.11 |mmcDDRSDxSBxDSSDDDRSDSxD xSDSD 定義 中的開集設，。因此如果對于使得那么稱 在 內是開的。定義中的閉集設，。若在 內是開的，那么稱 在 內是閉的。第64頁/共152頁第六十五頁，共153頁。-1-11. :2. ( )3. ( )mnnnDRfDRRBfBDRSf

19、SD設 是的一個子集，如下的條件是等價的：是連續(xù)的；對于 內的每個開球 ，在 內也是開的；對于 內的每個開集 ，在 內也是開的。第65頁/共152頁第六十六頁，共153頁。-1-1-11231112( ),( )0,( ( );( )0,( )( ( )( )( )( )nxfBf xBB RB f xBf xf B xDB f xBB xDfBfBD 證明：（）得由 在 中是開的，依的連續(xù)性，使得因此所以在 內是開的。其余證明略。第66頁/共152頁第六十七頁，共153頁。第67頁/共152頁第六十八頁，共153頁。:SD( )mnnnDRf DRSD Df SRR 設 是一個 的一個子集，

20、并且設是一個連續(xù)函數。如果是 內的一個緊集（即 在 內是閉的，且有界的），那么其象在 內的緊的。第68頁/共152頁第六十九頁，共153頁。5、數列(shli)A1.12 . ,.nnnkknk IIxxkI 定義中的數列的一個數列是一個函數，它將正整數的一些無限子集 映射進數列表示為第69頁/共152頁第七十頁，共153頁。2,4,8,2 ,;n2 n1 1 11, ,;2 4 82n12n11, 1,1, ,( 1) , ;n1( 1)n第70頁/共152頁第七十一頁，共153頁。注意注意(zh y)：1x2x3x4xnx12,.,.nx xx數列對應著數軸上的一個點列，可看作一個動點在數

21、軸上依次取第71頁/共152頁第七十二頁，共153頁。 0,0,( ),kk IknxKkK kI xB xx n稱數列收斂于。(-1)例：n第72頁/共152頁第七十三頁，共153頁。定義(dngy) 有界的數列 0,|,kk IknxMkIxM 稱中數列有界。第73頁/共152頁第七十四頁，共153頁。第74頁/共152頁第七十五頁，共153頁。定義(dngy) 子數列J JIkkkkInxx如果 是 的一個無限子集，稱是的序列的子序列。第75頁/共152頁第七十六頁，共153頁。n 中的每個有界數列有一個收斂的子數列。第76頁/共152頁第七十七頁，共153頁。1111:,(1), ,;

22、(2) ,;(3) , ()( ).nmkkkknkkkkkDRf DRDxDxxkkk xDDDxxRxDfDxxDf xf x 設，那么：是開的若收斂于 則當是閉的若 中數列收斂于則是連續(xù)的當 數列收斂于則收斂于第77頁/共152頁第七十八頁，共153頁。*A1.10 ,:,( )( )( ),.nWeierstrassSR SSf SRxS xSf xf xf xxS 定理（）極值的存在性： 設是緊的，使得第78頁/共152頁第七十九頁，共153頁。*( )( )( ),(), ( );( )( )(),fSf SRf Sabf SxS xSf xa f xbf xf xf xxS 證明

23、： 由 的連續(xù)性且 是緊的是緊的；那么中上確界 和下確界 必屬于所以使得即第79頁/共152頁第八十頁，共153頁。舉例(j l)：(a) s=1,2 (b) s=(1,2)第80頁/共152頁第八十一頁，共153頁。1112211n11n(,.,)(,.,) (A1.1).(,.,)(,.,)(y ,.,y )Rnnnnnnyfxxyfxxyfxxxx將點映射進第81頁/共152頁第八十二頁，共153頁。*1*111*221*1,1.1(,.,),(,.,)(,.,) .(,.,)iinnnnnnyxAxxxfxxxfxxxfxx考 慮 特 殊 情 況 ， 假 設記 方 程 （） 的解 為即

24、 ：（ A1.2）第82頁/共152頁第八十三頁，共153頁。*()( 1.2):nnf xxAxfRR即考慮解的存在性問題。稱方程的解向量 為映射的一個不動點。問題：方程(fngchng)（）的解是否存在？第83頁/共152頁第八十四頁，共153頁。*,:,( )nSR SSf SSxS xf x 設即緊且凸，是連續(xù)映射,第84頁/共152頁第八十五頁，共153頁。 不動點定理保證(bozhng)f的圖像將在a,bXa,b內至少穿過45度線一次。第85頁/共152頁第八十六頁，共153頁。A1.6 ,:DTfDT1、實值函數定義實值函數如果 是任何集合，并且稱是實值函數。第86頁/共152頁

25、第八十七頁，共153頁。01010101010101,1,2,.,1,2,.,1.17:, ()( );()( );()( );iiiinxyxy inxyxy inAf DDfxx f xf xfxxf xf xfxxxxf xf x注釋：稱稱定義： 遞增、嚴格遞增和強遞增函數若：稱 是遞增的當稱 是嚴格遞增的當，稱 是強遞增的當，第87頁/共152頁第八十八頁，共153頁。第88頁/共152頁第八十九頁，共153頁。01010101010101A1.18:, ( )( );( )( );( )( );nf DDfxx f xf xfxxf xf xfxxxxf xf x定義： 遞減、嚴格遞

26、減和強遞減函數若：稱 是遞減的當稱 是嚴格遞減的當，稱 是強遞減的當，第89頁/共152頁第九十頁，共153頁。0000A1.19 ():() |,( ),L yfDTL yx xD f xyyTR2、相關集合定義水平集 稱是的水平集：。第90頁/共152頁第九十一頁，共153頁。第91頁/共152頁第九十二頁，共153頁。第92頁/共152頁第九十三頁，共153頁。00001.20 ()() |,( )()AL xxL xx xD f xf x定義相對于某一點的水平集 稱是相對于 的水平集。第93頁/共152頁第九十四頁，共153頁。第94頁/共152頁第九十五頁，共153頁。0000000

27、00000A1.21 1() |, ( )2() |, ( )3() |, ( )4() |, ( )S yx x D f xyyI yx x D f xyyS yx x D f xyyI yx x D f xyy定義上優(yōu)集和下劣集、上優(yōu)集是相對于水平 的上優(yōu)集。、下劣集是相對于水平 的下劣集。、嚴格上優(yōu)集是相對于水平 的嚴格上優(yōu)集。、嚴格下劣集是相對于水平 的嚴格下劣集。 第95頁/共152頁第九十六頁，共153頁。0000000000000000001.12:,1()()2()()3()()()4()()5()()6()()7()()8()()AfDTyTLySyLyIyLySyIySyS

28、yIyIySyLyIyLySyIy定 理 上 優(yōu) 集 、 下 劣 集 和 水 平 集對 應 于 任 何 、第96頁/共152頁第九十七頁，共153頁。第97頁/共152頁第九十八頁，共153頁。12123:,0,1,(1)ntfDTDRx xD txtxt xD、凹函數假設：凸集上的實值函數假定是一個凸集，即：第98頁/共152頁第九十九頁，共153頁。12A1.22 :()()(1) (), 0,1tfDTf xtf xt f xt定義凹函數 稱是凹函數第99頁/共152頁第一百頁，共153頁。第100頁/共152頁第一百零一頁，共153頁。第101頁/共152頁第一百零二頁，共153頁。第

29、102頁/共152頁第一百零三頁，共153頁。A1.13 ( , )|,( ):, nAx yxD f xyfDTDRTRfA定理凹函數的圖像及其下方的點 總會形成一個凸集 設是的圖像及其下方的點的集合，其中是一個凸集 并且則：是一個凹函數是一個凸集 第103頁/共152頁第一百零四頁，共153頁。11221122121212121212(1)(,), (,)(),()()(1)()(1)()()(1)()()(1)(,)(1),(1),tttttfAxyAxyAfxyfxytfxtfxtytyffxtfxtfxfxtytyyxytxt xtytyAA是 凹 的凸 的又 因 為是 凹 的因 此

30、所 以是 凹 的 。第104頁/共152頁第一百零五頁，共153頁。1211221122121212(2),(),()(,), (,)(,)(1),(1),0,1()()(1)()ttttAfxDxDyfxyfxxyAxyAAxytxt xtytyAtfxytfxtfxf凸 的是 凹 的令顯 然又 因 為是 一 個 凸 集則這 里因 此即是 一 個 凹 函 數 。第105頁/共152頁第一百零六頁，共153頁。12121.23 : ()()(1)(), (0,1)tAfDTfxtfxtfxtxx定 義嚴 格 凹 函 數 稱是 嚴 格 凹 函 數這 里，第106頁/共152頁第一百零七頁，共15

31、3頁。第107頁/共152頁第一百零八頁，共153頁。124:()min(),(),0,1tfDTf xf xf xt 、擬凹函數定義A1.24 擬凹函數 稱是擬凹的第108頁/共152頁第一百零九頁，共153頁。第109頁/共152頁第一百一十頁，共153頁。第110頁/共152頁第一百一十一頁，共153頁。課堂練習：n證明(zhngmng)：單調函數為擬凹函數。第111頁/共152頁第一百一十二頁，共153頁。下圖的上優(yōu)集？xyX1X2第112頁/共152頁第一百一十三頁，共153頁。1.14 : S( )AfDTyyT定理擬凹性與上優(yōu)集 稱是擬凹函數是一個凸集，第113頁/共152頁第一

32、百一十四頁，共153頁。121212(1)()(),()(),()()m in(),()()()ttfSyxSyxSyfxyfxyffxfxfxyxSySy證 明 ：擬 凹是 一 個 凸 集那 么又 因 為擬 凹即所 以是 一 個 凸 集 。第114頁/共152頁第一百一十五頁，共153頁。1212222122212(2) ( ) ,()(),( )()(),()(),()()min(),()ttS yfxD xDf xf xyT S ySf xxSf xxSf xxSf xf xf xf xf xf 是一個凸集擬凹不妨設因為是凸集，則也是凸集。由因此即所以 擬凹第115頁/共152頁第一百一

33、十六頁，共153頁。1212:()min( (),(),(0,1),tfDTf xf xf xtxx 定義A1.25 嚴格擬凹函數 稱是嚴格擬凹的第116頁/共152頁第一百一十七頁，共153頁。第117頁/共152頁第一百一十八頁，共153頁。第118頁/共152頁第一百一十九頁，共153頁。第119頁/共152頁第一百二十頁，共153頁。xyX1X2第120頁/共152頁第一百二十一頁，共153頁。第121頁/共152頁第一百二十二頁，共153頁。121212212212:,()()()()(1) () ()( ()() ()min( (),()tfDRxD xDf xf xff xtf

34、xt f xf xt f xf xf xf xf xf證明：(1)假設是凹的。不妨設由 是凹的，所以 是擬凹函數。第122頁/共152頁第一百二十三頁，共153頁。121212A1.26 :( )( ) (1) (), 0,1:( )( ) (1) (), (0,1),ttf DTf xtf xt f xtf DTf xtf xt f xtxx定義凸函數和嚴格凸函數1、稱是凸函數2、稱是嚴格凸函數5、凸與擬凸函數第123頁/共152頁第一百二十四頁，共153頁。第124頁/共152頁第一百二十五頁，共153頁。1.16( )()( )()Af xf x定理 凹與凸函數是 嚴格 凹 是 嚴格 凸

35、第125頁/共152頁第一百二十六頁，共153頁。21212(1)( )( )( ),()()(1)(), 0,1()()(1)()( )ttf xf xf xD xDf xtf xt f xtf xtf xtf xf x 1證明：是凹的是凸的若是凹的，x所以是凸的 第126頁/共152頁第一百二十七頁，共153頁。*A1.17 ( , )|,( ):, nAx yxD f xyfDTDRTRfA定理凸函數的圖像及其上方的點 總會形成一個凸集 設是的圖像及其上方的點的集合，其中是一個凸集 并且則：是一個凸函數是一個凸集 第127頁/共152頁第一百二十八頁，共153頁。121212A1.27

36、:( )max ( ), (), 0,1:( )max ( ), (), (0,1),ttf DTf xf xf xtf DTf xf xf xtxx 定義擬凸函數和嚴格擬凸函數1、稱是擬凸函數2、稱是嚴格擬凸函數第128頁/共152頁第一百二十九頁，共153頁。是擬凸函數嗎？xyX1X2第129頁/共152頁第一百三十頁，共153頁。2(0)zx x是擬凹函數嗎？是擬凸函數嗎？問題(wnt)：第130頁/共152頁第一百三十一頁，共153頁。第131頁/共152頁第一百三十二頁，共153頁。1.18 : I()AfDTyyT定 理擬 凸 性 與 下 劣 集 稱是 擬 凸 函 數是 一 個 凸

37、 集 ，第132頁/共152頁第一百三十三頁，共153頁。定理(dngl) 凸性蘊含著擬凸性n一個(y )凸函數總是擬凸的，一個(y )嚴格n 凸函數總是嚴格擬凸的。第133頁/共152頁第一百三十四頁，共153頁。121212112:,()()()()(1) () ()max( (),()tfDRxD xDf xf xff xtf xt f xf xf xf xf證明：(1)假設是凸的。不妨設由 是凸的，所以 是擬凸函數。第134頁/共152頁第一百三十五頁，共153頁。1.19( )()( )()Af xf x 定理 擬凹與擬凸函數是嚴格 擬凹的 是嚴格擬凸的第135頁/共152頁第一百三十六頁，共153頁。12121212(1)( )( )( ),()min(),(), 0,1()min(),() max(),()( )ttf xf xf xxD xDf xf xf xtf xf xf xf xf xf x 證明：是擬凹的是擬凸的若是擬凹的，所以是擬凸的 第136頁/共152頁第一百三十七頁，共153頁?？偨Y(zngji)：各種實值函數之間的關系。()()()()ffffffffffffff是凹的處在 的圖像下方的點集是凸集；是凸的處在 的圖像上方的點集是凸集；擬凹上優(yōu)集是凸集；擬凸下劣集是凸集；凹擬凹；凸擬凸；嚴格 凹嚴格 凸；嚴格 擬凹嚴格 擬凸。第137頁/共15