概念也是訓(xùn)練思維的好材料——數(shù)據(jù)的方差教學(xué)反思

1、概念也是訓(xùn)練思維的好材料數(shù)據(jù)的方差教學(xué)反思郭云 四川省會理縣甸沙關(guān)學(xué)校方差是八年級下冊數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的一個(gè)重要概念，筆者在兩個(gè)班的教 學(xué)中作了不同的嘗試和比較，覺得學(xué)牛學(xué)習(xí)方差這個(gè)概念之后，不僅知道用它來 描述數(shù)據(jù)的波動性，還能讓思維得到很好的鍛煉。一、重難點(diǎn)的確定木課有三個(gè)主要目標(biāo)：（1）理解方差的概念；（2）會進(jìn)行方差的計(jì)算（木 課先會手算，下節(jié)課再學(xué)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算）；（3）會用方差描述數(shù)據(jù)的波動性。 木課的重點(diǎn)是理解方差的概念，同時(shí)也是難點(diǎn)。之所以難，第一，其計(jì)算公式比 加權(quán)平均數(shù)和中位數(shù)復(fù)雜，難以記憶；第二，“為什么要這么算”也是學(xué)牛不易 理解的地方，正是理解的困難造成記憶的困難、計(jì)

2、算和應(yīng)用的困難。所以，備課 時(shí)我著重在想怎樣讓學(xué)牛充分感受和理解“方差”這個(gè)概念產(chǎn)牛的必要性和其算 法的合理性。從教學(xué)實(shí)際情況看，重難點(diǎn)是準(zhǔn)確的。二、在概念形成過程中訓(xùn)練思維新概念的形成，一般要讓學(xué)牛理解概念形成的背景（知識基礎(chǔ)、必要性、 合理性），否則學(xué)牛死記硬背，知其然，不知其所以然，不僅思維得不到鍛煉， 而且造成記憶的困難。在“方差”的教學(xué)之前，必須打好兩個(gè)概念基礎(chǔ)：“數(shù)據(jù) 的波動性”和“極差”。1. 數(shù)據(jù)的波動性情境引入：兩位射擊選手在相同條件下射擊10次，成績?nèi)缦拢杭祝?、8、6、8、6、5、9、10、7、4,乙：9、5、7、8、7、6、8、6 7、7。（1）求甲、乙兩人射擊環(huán)數(shù)的平

3、均數(shù)；（2）應(yīng)該選誰參加比賽？說明理由。實(shí)際教學(xué)中我這樣提出問題'兩 人的平均成績相同，難以取舍。我們再來看他們的成績各有什么特點(diǎn)？ ”學(xué)生沉默。師：能不能說甲比乙準(zhǔn)？因?yàn)榧子袀€(gè)10環(huán)，乙沒有？生：甲有10環(huán)，但也有一個(gè)4環(huán)。師：乙呢？生：乙沒有10環(huán)，但也沒有特別低的。師：好，為了看清楚二人的成績特點(diǎn)，我們把它們畫岀來。（老師在黑 板上示范，畫出散點(diǎn)圖，然后觀察。）師：可見，代表二人成績的點(diǎn)都在一條水平線上下，但乙的更集中，而 甲的更分散；用一個(gè)更形象的詞語，以平均數(shù)為中心，甲的起伏更大，乙的起伏 要小些。（學(xué)生點(diǎn)頭）師：它們的這個(gè)不同，用什么來描述呢？（明確概念產(chǎn)生的必要性）師：

4、數(shù)據(jù)的這個(gè)特征，我們稱為“數(shù)據(jù)的波動”。簡要地說，二人平均成績一樣，但 甲的波動更大，乙的波動較小。這里通過提問“各自的特點(diǎn)”和散點(diǎn)圖，讓學(xué)生 既準(zhǔn)確又形象地理解了 “波動性”的概念。2. 極差這個(gè)概念學(xué)生理解不困難，學(xué)習(xí)吋注意讓學(xué)生認(rèn)識到極差的局限性：它 只涉及兩個(gè)數(shù)據(jù)，不能全面反映整組數(shù)據(jù)的情況。3. 方差我用以下問題串，引導(dǎo)學(xué)生逐步建立方差的概念。（1）極差可以反映數(shù)據(jù)的波動性，但極差有很大的局限性：不夠全面。 那有沒有一個(gè)量，能夠全面反映一組數(shù)據(jù)的波動性呢？（這個(gè)問題讓學(xué)生獨(dú)立解 決是不現(xiàn)實(shí)的，但可以讓學(xué)生當(dāng)堂思考幾分鐘，然后老師引導(dǎo)。）（2）數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下波動，距離平均數(shù)越遠(yuǎn)，波動

5、越大；所以可以 用xn.x.來表示數(shù)據(jù)的波動，我們把xn.x.稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的“離差”；（3）要考慮第一個(gè)數(shù)據(jù)的波動，可以把每個(gè)離差xn.x.都相加，但相 加的結(jié)果如何呢？（讓學(xué)生嘗試，發(fā)現(xiàn)正負(fù)相抵）（4）如何避免正負(fù)相抵呢？把每個(gè)偏差xn.x.都加上絕對值符號，再相加；(5) 為了排除樣本容量的影響，以便于同容量的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，應(yīng)該 求它的平均，得到平均差例如，甲的平均差為。(老師在黑板上演示)(6) 因?yàn)樵诶碚撚?jì)算中，絕對值往往需要討論，比較麻煩，所以一般 不用絕對值。但又要保證非負(fù)，怎么辦呢？這個(gè)問題學(xué)生也不易想到，老師進(jìn)一步啟發(fā)：我們學(xué)過哪些非負(fù)數(shù)形式? 選擇哪一種方式恰當(dāng)？(7) 把絕

6、對值換為平方：就得到了一個(gè)既反映數(shù)據(jù)波動，又比較易于 計(jì)算的概念，因?yàn)樗逊从趁總€(gè)數(shù)據(jù)波動性的偏差進(jìn)行了平方，我們就稱之為“方 差”。(8) 示范：例如這個(gè)問題中，甲組數(shù)據(jù)的方差就是：這里方差概念的形成，學(xué)生往往不是聽一遍就能明白的，可能有同學(xué)會 反復(fù)地問'為什么要這么算？ ”這時(shí)，可以重復(fù)講解，也可以反問：“那怎樣算 才合理呢？ ”學(xué)生認(rèn)真想過后就會明白。(9) 熟悉公式：馬上讓同學(xué)計(jì)算乙的方差，熟悉公式。這時(shí)候，簡單 數(shù)字的效果顯現(xiàn)出來了，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：方差也不難啊，起碼計(jì)算比較容易，口算都 可以。(10) 應(yīng)用鞏固：⋯⋯從實(shí)際效果來看，這樣處理

7、后，學(xué)生對方差的掌握情況比較令人滿意。三、三維目標(biāo)如何落實(shí)？新課改理念下，課堂教學(xué)除了傳統(tǒng)的知識與技能目標(biāo)之外，還有過程與 方法目標(biāo)、情感、態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)。三維目標(biāo)，特別是后兩者如何落實(shí)？我認(rèn)為，這個(gè)問題不可一概而論，因?yàn)殡m然每節(jié)課都有三維目標(biāo)，但每 節(jié)課的目標(biāo)側(cè)重點(diǎn)會因教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況而有所不同。對數(shù)學(xué)課來說，知識與 技能是基礎(chǔ)，思維能力的培養(yǎng)是核心，方法、情感、態(tài)度和價(jià)值觀以及目標(biāo)的實(shí) 現(xiàn)都要依賴思維水平的發(fā)展，因?yàn)楸仨氂芯实倪^程，才可能有正確的情感、態(tài) 度和價(jià)值觀的形成。所以數(shù)學(xué)課必須在教學(xué)中揭示概念、定理、命題、公式、解 法的形成、探索過程，而不是讓學(xué)生僅僅通過模仿、重復(fù)訓(xùn)練達(dá)到會算即可，甚 至死記硬背。本課有三個(gè)概念，對每個(gè)概念，都通過情景展示概念產(chǎn)生的背景（必要 性），但根據(jù)概念特點(diǎn)，處理方式又有不同：數(shù)據(jù)的“波動性”重在理解和形象 感受，通過散點(diǎn)圖和比喻讓學(xué)生理解；“極差”比較簡單，則直接說明；最難的 “方差”，則通過步步深入的問題，引導(dǎo)學(xué)生體會確定方差公式的困難，讓學(xué)生 參與選擇，最終理解方