小學數學幾何開放題的思維評價

1、小學數學兒何開放題的思維評價作者：楊傳岡作者簡介：楊傳岡，江蘇鹽城市第二小學.原文出處：教學與管理：小學版(太原)2018年第20185期 第29- 31頁內容提要：在學生學習“圖形與幾何”的研究屮，范希爾的幾何思維 水平體系是最有影響的理論之一教師可借助其有效評價小 學生幾何開放題問題解決過程中所呈現出的思維水平，以 有效改進“圖形與幾何”領域的教學，合理推動學生幾何 思維水平的發(fā)展.期刊名稱：小學數學教與學復印期號：2018年08期關鍵詞:兒何開放題/思維水平/ “圖形與兒何” /評價標題注釋:【基金項目】該文為全國教育科學“十二五”規(guī)劃教育部 重點課題“數學開放題學習對小學生思維發(fā)展影響

2、的評測 研究” (diia14032)的階段性成果.在學生學習圖形與幾何的研究中”范希爾的幾何思維水平體系是最有影響 的理論之一1.范希爾幾何思維水平由低到高表示為層次0到層次4 :層次0是視覺 水平，學生無法理清概念之間的相互關系，僅能借助圖像獲得一些基本概念;層次1是分析水平，學生能根據概念解決簡單問題，了解一些幾何概念間的相互關系及 公式間的聯系，能結合圖形獲得部分結論；層次2是非形式化的演繹水平,學生能 從不同角度理解概念意義,能根據圖形或輔助材料進行推理、理解,進而發(fā)現并描 述規(guī)律；層次3是形式化的演繹水平,學生能借助概念和性質進行推理和論證；層 次4是嚴密性水平，學生能在數學知識系

3、統(tǒng)中進行嚴密推理.范希爾理論是評測學生幾何思維水平的重要工具,教師可借助其有效評價小學 生幾何開放題問題解決過程中所呈現出的思維水平，以有效改進"圖形與幾何領 域的教學，合理推動學生幾何思維水平的發(fā)展.條件開放題的幾何思維水平評價條件開放題就是條件不全或有多余條件的幾何開放題條件開放題需要學生通過 觀察、分析和聯想等方法處理題目所提供的信息,梳理、歸并、分析有用信息,及 時發(fā)現欠缺信息或干擾信息,從而補全條件或排除干擾解決問題.所謂條件不全型開放題，就是缺少條件的幾何開放題這種開放題因為缺條件， 所以需要學生自主補充條件才能順利解決.從學生根據問題情境所補充的不同條件， 可以推斷該生

4、幾何思維水平所處的具體層次.【案例1】一個長方體的長6厘米，寬4厘米，高1厘米，()它的表面積增加多少平方厘米？層次0 :學生認識長方體，但不知道怎樣才能增加長方體的表面積，無法補充條件.層次1:補充問題"把長方體切開"學生能想到把長方體切開后表面積會增加， 但根據補充的信息無法計算結果.層次2 :補充問題把長方體切成2個相同的小長方體.學生對長方體圖形特 征比較熟悉,想到切開長方體后表面積會增加,能根據信息按橫切、豎切、縱切進 行簡單計算.層次3 :補充問題把長方體切成3個相同的小長方體.多切下一個小長方體, 表面積增加更多，計算面積的方法更復雜，思維水平也更高.層次4

5、:補充問題把長方體切成4個（或6個、8個）相同的小長方體 學生知道把長方體橫切、豎切或縱切后,表面積都會增加,并能按照橫切、豎切、 縱切和既橫切又豎切等不同情況分別計算增加的面積，思維無疑復雜多了,層次也 更咼.條件多余型開放題就是問題中條件太多,需要學生根據問題靈活選擇合適條件 解決問題這種開放題能有效評價學生的判斷能力、選擇能力和解決問題的能力.【案例2】桌上有四種規(guī)格的長方形、正方形硬紙片各若干張：長6厘米， 寬4厘米；長6厘米，寬5厘米；長5厘米，寬4厘米；邊長4厘米.如果 要從中選6張硬紙片粘貼成一個長方體或正方體，可以怎樣選？紙盒的表面積是多 少平方厘米？（粘貼處材料忽略不計.）層

6、次0 :認識長方體和正方體,知道這些硬紙片能粘貼成長方體或正方體，但 不知道怎么選，更不知道具體的粘貼方法.層次1 :能根據正方體特征選擇6張邊長4厘米的正方形紙片,粘貼成正方體,并能根雕息進行簡單計算.層次2 :能根據長方體特征選擇6張長方形紙片，6張分成3組，每組2張相 同的硬紙片，粘貼成長方體，并用不同方法計算出它們的表面積選擇長方形要根據 長方體特征選擇，計算表面積也有不同方法，思維水平稍微復雜些.層次3 :能根據長方體特征選擇2張正方形紙片和4張長5厘米寬4厘米（或 4張長6厘米寬4厘米）的長方形紙片,粘貼成長方體,并用不同方法計算出它們 的表面積.這兩種長方體都有2個相對面是正方形

7、，選擇時要保證長方形和正方形匹 配，計算表面積時，不同的計算方法能體現學生不同的思維水平.層次4:能靈活選擇6張紙片，把各種情況都考慮全面，并能用不同方法計算 出它們的表面積：（1）12條棱分3組，每組4條棱相等的長方體，即2張長6厘 米寬4厘米的長方形紙片，2張長6厘米寬5厘米的長方形紙片和2張長5厘米寬 4厘米的長方形紙片；（2 ） 12條棱中有8條棱相等，即4張長6厘米寬4厘米的 長方形紙片（或4張長5厘米寬4厘米的長方形紙片）和2張邊長4厘米的正方形 紙片；（3）12條棱都相等，即6張邊長4厘米的正方形紙片.能分類選出各種符合 要求的紙片，能計算甚至用最優(yōu)方法計算表面積.二、結論開放題

8、的幾何思維水平評價結論開放題就是學生根據習題信息獲得不同結論的幾何開放題,也就是結論不 確定的數學問題用結論開放題評價學生的思維,能有效區(qū)分他們的觀察、比較、分 析、綜合、猜想、歸納和類比等思維水平,從而評判學生思維的深度和廣度，思維 的發(fā)散和聚斂.【案例3拿一個正方體紙盒,沿一些棱剪開,它的展開圖是怎樣的?層次0 :學生認識正方體，但對一個正方體紙盒的棱按照什么樣的順序剪開無 從下手，也就無法看到最終的表面展開圖.層次1 :學生根據正方體特征沿棱剪開，獲得"141"型展開圖（第一排一個正 方形，第二排四個正方形，第三排一個正方形.其中第一和三排的正方形位置可以任 意調整，

9、如圖1 ）中的一個或幾個這種類型的展開圖比較多，是學生最容易在剪開 后看到的展開圖.有的看似不屬于某類型，但旋轉一下就是其中的一種了.層次2 :學生根據正方體特征沿棱剪開，不但能獲得t4l型展開圖，而且能 獲得"231"型展開圖中的一種或幾種（第一排兩個,第二排三個,第三排一個.其 中第三排的一個正方體位置可以調整，如圖2 ）.這種展開圖相對多一些，也是學生 剪開后容易看到的.層次3 :學生根據正方體特征沿棱剪開，不但能獲得和"231"型展開 圖，還能獲得"222"型（每排都是兩個正方體，但它們的位置錯開，如圖3 ）展開 圖.222&

10、quot;型展開圖是學生剪開后很少看到的，代表了學生較高的思維水平.層次4 :學生根據正方體特征沿棱剪開，除了能獲得"141" ."231"和"222型展開圖外,還能獲得 3型（兩排都是三個正方體，但位置錯開，如 圖4 ）展開圖.這種展開圖是學生剪開后幾乎看不到的，代表了學生思維的最高水平.三、策略開放題的幾何思維水平評價策略開放題就是從不同角度思考同一個問題，用不同策略解決問題，結果殊途 同歸的幾何開放題.解決策略開放題時，學生要變換思維角度，用不同策略解決問題. 這類問題解決過程的觀察有利于評價學生思維的廣闊性、靈活性、深刻性和創(chuàng)造性.【案

11、例4】王大爺要用16根1米長的柵欄靠墻圍一塊長方形菜地.他可以怎樣 圍？層次0 :認識長方形，知道長方形特征，但無法按要求圍出長方形.層次1 :知道長方形特征，能用擺小棒的策略圍成一種或幾種長方形這是最容 易操作，也是學生最喜歡的策略.層次2 :知道長方形特征，能用畫圖策略畫出圖5長方形中的一種或幾種畫圖 相對操作而言,比較抽象,說明學生思維水平在提高.層次3 :知道長方形特征，能用列表策略解決問題（表1）歹i舉相對畫圖抽象 程度更高,而且長和寬是相對而言的,需要學生理清長方形兩條邊的關系,并且有 序列舉.層次4 :知道長方形特征，能用一一列舉的策略找出符合要求的長方形的長和 寬：1 , 14

12、 ; 2 , 12 ; 3 , 10 ; 4,8 ; 5 , 6 ; 6,4 或 7 , 2.列舉更抽象,需要 學生列舉時有序，不重復、不遺漏.四、綜合開放題的幾何思維水平評價綜合開放題就是學生根據問題情境，靈活應用數學學科或其他學科知識解決問 題的幾何開放題這種開放題不受單一知識的束縛,需要學生根據已有知識經驗、生活經驗和數學活動經驗等綜合應用所學過的知識和形成的技能發(fā)現解決問題的最佳 途徑應用范希爾理論有助于評價學生全面考慮問題、綜合應用知識的思維水平.【案例5】如何測量一團橡皮泥的體積？層次0 :知道體積的意義，知道橡皮泥有體積，但不知道如何進行測量.層次1 :知道橡皮泥有體積，能把橡皮

13、泥壓成長方體或正方體，然后測出長寬 高（或棱長）”并根據體積公式計算出體積.一團橡皮泥是不規(guī)則物體.壓成長方體或 正方體是把不規(guī)則物體轉化成規(guī)則物體進行測量和計算，屬于常規(guī)思維.層次2:在量杯中倒入一些水（保證橡皮泥放入后被淹沒），記下水面的刻度, 然后把橡皮泥放進量杯（水不溢出），看水面升高后的刻度，根據兩次水面的刻度 差計算橡皮泥的體積水不放滿,把橡皮泥放入水中,計算水面升高部分的體積，體 現了學生的正向思維.層次3 :把橡皮泥放進一個量杯中,然后倒入一些水,當水正好淹沒橡皮泥就 停止倒水,記下水面的刻度,然后取出橡皮泥,記錄下水面下降后的刻度,根據兩 次水面的刻度差計算橡皮泥的體積水不放滿，把橡皮泥從水中取出，計算水面下降 部分的體積，展現了學生較好的逆向思維.層次4 :先在一個水槽中放一個玻璃杯，接著在玻璃杯中倒?jié)M水，然后把橡皮 泥放入玻璃杯中,水會溢岀,最后把溢岀的水倒入量杯中,就得到水的體積就是橡 皮泥的體積把橡皮泥的體積轉化為溢出水的體積,展現了小學生的最高思維水平.總之”應用范希爾理論對學生的幾何開放題學習