補(bǔ)形法在立體幾何中的應(yīng)用

1、補(bǔ)形法在立體幾何中的應(yīng)用李遠(yuǎn)國在立體幾何中 ,有許多題如果采用原來的幾何體去求解,有時(shí)顯得十分繁難。但根據(jù)問題的已知條件及證題需要,合理地將原來的幾何體適當(dāng)?shù)叵蛲庋由?、補(bǔ)加、移位,使之?dāng)U展為一個(gè)特殊、簡單、完整且特征較為熟悉的幾何體,再利用所得新的幾何體求解,這種方法叫補(bǔ)形法。補(bǔ)形法是解立幾題的一種重要的思想方法,它不僅能縮短從已知到未知的探求過程 ,起到化難為易、馭繁就簡的作用,而且能培養(yǎng)學(xué)生豐富思維能力 ,促進(jìn)創(chuàng)造性思維的發(fā)展。其基本策略歸納如下。一、補(bǔ)成正方體或長方體例 1 正方形 ABCD 及 ADEF 所在平面互相垂直 ,求 AC 和 DF 所成的角。解:如圖,將圖形補(bǔ)成正方形ABC

2、D FPQE,EQ PCFD,FP ACP 為 AC 和 DF 所成的角 .易知 ACP=60°,AC 和 DF 所成角為 60°。DCAB例 2 過正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A 作 PA平面 ABCD, 設(shè) AB=PA,求平面PAB 和平面 PCD 所成的二面角的大小。解:,將圖形補(bǔ)成正方體ABCD PQMN,1 QPAP QPPD, APD 為面 PAB 和面 PCD 所成的二面角的平面角。 APD=45 °。故所求的二面角為45°。例 3 正四面體 SABC 的棱長為2 ,求(1)SA 和 BC 的距離，(2)正四面體 SABC 外接球半徑 R。解

3、:,將正四面體補(bǔ)成正方體APCQ MBNS, 則正方體棱長為1。(1)SA 和 BC 距離就是平面 SA 與平面 BC 間距離 ,顯然是 1。(2)正四面體外接球 ,也就是正方體的外接球。 球的直徑 2R 是正方體對角線長 ,SNMB3R2R3,故2。QCAP例 4:在三棱錐PABC 中，三組相對棱相等 ,且分別為13、14、15,求其體積。解:因?yàn)殚L方體對面不平行的對角線恰好可組成對棱相等的三棱錐 ,故將三棱錐補(bǔ)成長方體 ,。設(shè)長方體三棱分別為 a、b、c2P222ab13a99222bc14b70222解得 c則 ca15126BV 三棱錐V 長方體4V A BCDCabc4 11 abc

4、A321 abc 42 553評注：對棱長全相等的正四面體通常把它補(bǔ)成正方體。若是相對棱長相等的四面體，則可考慮把它補(bǔ)成長方體。二、臺體補(bǔ)錐體例 5:正三棱臺 ABC-A BC側(cè)面與底面成 45°,求側(cè)棱與底面所成角的正切。解:將圖形補(bǔ)成正三棱錐 S ABC,設(shè) AB 中點(diǎn) E,ABC 中心 o,SEO 為側(cè)面與底面所成角的平面角=45° ,令 SO=h,則 OE=hOAOE2hoRtAEO 中,sin 30tgSAOOE =1RtsAO 中,OA21故側(cè)棱與底面所成角正切為2 。三、錐體補(bǔ)成柱體3例 6 如圖 ,三棱錐 P-ABC 中,已知 PABC,PA=BC=1,PA

5、、BC 的公垂線 ED=h.P12V1 h求證 :三棱錐 P ABC 的體積6解:以ABC 為底面 ,以 PA 為側(cè)棱補(bǔ)成三棱柱 ABC PBC.ACB12V 三棱柱 =1S EBC = 21 hV 三棱錐=1123V三棱柱=61h例 7 在四棱錐 A ABCD 中,A A底面 ABCD,A =a,底面 ABCD是邊長為 a 的正方形，求過A 垂直于 AC 的截面的面積 .解:,將四棱錐 A ABCD 補(bǔ)成正方體 ABCD A BCD,易證 AC截面 AB C,且 A在截面上的射影R 是正 AB D的中心 .過 A 垂直于 AC 的原四棱錐的截面是四邊形APRQ.而 APRAB O,3232S

6、 AB D = 4（ 2a）=2 a ，S APR132= SABO=a .312所求截面面積 S APRQ =2S APR =326 a四、補(bǔ)相同的幾何體1例 8 長方體 ABCDA 1B1C1D1 中， AB= 2，AD=1 ， AA 12 ，求異面直線 A1C1 與 BD1 所成的角。4解：如圖 5，補(bǔ)一個(gè)與原長方體全等的并與原長方體有公共面 BC1 的長方體 B1 F ，連結(jié) BF，則 D 1 BF 為異面直線 A 1C1 與 BD1 所成的角，AB1AA 122 ，AD=1 ，而。521BD 12 ，D1F5 ，由余弦定連結(jié) D1F ，在 D 1BF 中， BF= 2 ，理得cos

7、D1 BF105，故 A 1C1 與 BD1 所成角為arccos 105。3535評注：補(bǔ)相同幾何體之目的在于平移相關(guān)直線。例 9 斜三棱柱的一個(gè)側(cè)面的面積等于 s,這個(gè)側(cè)面與它所對的棱的距離等 a。1 sa求證：這個(gè)棱柱的體積等于2.解：設(shè)側(cè)面 A ACC 的面積為 s，側(cè)棱 BB 到側(cè)面 A ACC 的距離為 a。將三棱柱 ABC A B C 拼成四棱柱 ADBC A D B C ，如圖 18則 V 四棱柱 =saV 三棱柱=1sa2五、對相應(yīng)的平面圖形補(bǔ)形平面圖形翻折成空間圖形問題，有時(shí)不容易畫好直觀圖，可以先對平面圖形作必要的補(bǔ)形，如補(bǔ)成矩形、正方形等，使翻折圖形理想化（成為直棱柱、

8、正棱柱等） 。5例 10 在平行四邊形 ABCD 中，ACAB ，AB=AC=a ，把它沿對角線AC 折成 60°的二面角。求： D 到 AB 的距離。解：將平行四邊形ABCD 補(bǔ)成矩形 BFDE ，沿 AC 折成 60 的二面角后形成三棱柱ABF CED ，如圖 20取AB中點(diǎn)K則 FKAB ，從而 DKABFK=3 a，2227Rt DKF 中， DK=DF+FK=2a，7即 D 到 AB 的距離為a 。2例 11 把 RtABC 沿直角 C 的平分線 CD 折成 60°的二面角 A CDB，求:BC 與平面 ACD 所成的角 ,解:將圖形 ABC 補(bǔ)成矩形 FBHG，

9、折后形成直三棱柱FEBGCH,作BM EF,垂足為M,則 BM 面 ADC ， BCM 為 BC 于平面 ADC 所成的角 .6設(shè)，則2，BC aBEa226，BM=asin 60 =a24Rt BMC中，BM=6，sin MCB=BC46BC與平面 ACD 所成的角為 arcsin4六、不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體例 12 如圖，多面體的底面是邊長為 l 的正方形，上面的棱平行于底面，其長為 2l ，其余棱均為 l ，求這個(gè)多面體的體積。解：如圖 7，作以 2l 為棱長的正四面體 ABCD ，連結(jié) AC、AD 、BC、BD 中點(diǎn)組成的四邊形為正方形即為多面體的底面 （因正四面體的對棱互相垂直），這個(gè)正方形所在平