年普通高等學(xué)校招生全國考試數(shù)學(xué)文北京卷

1、高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！1 / 11絕密啟用前2016 年普通高等學(xué)校招生全國考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共 5 頁，150 分?？荚嚂r(shí)長 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本市卷和答題卡一并交回。第一部分 （選擇題共 40 分）一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合| 24,|35axxbx xx或，則ab（a） |2 5xx（b） | 或（c） |2 3xx（d） | 或（2）復(fù)數(shù)12i=2i（a）i（b）1+i（c）i（d）1i（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值

2、為高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！2 / 11（a）8 （b）9 （c）27 （d）36 （4）下列函數(shù)中，在區(qū)間( 1,1) 上為減函數(shù)的是（a）11yx（ b）cosyx（ c）ln(1)yx（d）2xy（5）圓（ x+1）2+y2=2 的圓心到直線y=x+3 的距離為（a） 1 （b）2 （c）2（d） 22（6）從甲、乙等5 名學(xué)生中隨機(jī)選出2 人，則甲被選中的概率為（a）15（ b）25（c）825（d）925（7）已知 a（2，5） ， b（4，1）.若點(diǎn) p（x，y）在線段ab上，則 2x- y 的最大值為（a） - 1 （b）3 （c）7 （d）8 （8）某學(xué)校運(yùn)動會的立定跳遠(yuǎn)和30

3、秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段.下表為10 名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊. 學(xué)生序號1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠(yuǎn) （單位： 米）1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30 秒跳繩（單位：次）63 a 75 60 63 72 70 a- 1 b 65 在這 10 名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8 人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30 秒跳繩決賽的有6 人，則（a） 2 號學(xué)生進(jìn)入30 秒跳繩決賽（b）5 號學(xué)生進(jìn)入30 秒跳繩決賽（c）8 號學(xué)生進(jìn)入30 秒跳繩決賽（d）9 號學(xué)生進(jìn)入30 秒跳繩決賽

4、第二部分（非選擇題共110 分）二、填空題（共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）（9）已知向量=(1,3),(3,1)ab，則 a 與 b 夾角的大小為 _. （10）函數(shù)( )(2)1xf xxx的最大值為 _. （11）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_. 高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！3 / 11(12) 已知雙曲線22221xyab（a0， b0） 的一條漸近線為2x+y=0， 一個(gè)焦點(diǎn)為 （5,0） ，則 a=_；b=_. (13)在abc中，23a， a=3c，則bc=_. (14)某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19 種商品，第二天售出13 種商品

5、，第三天售出18 種商品；前兩天都售出的商品有3 種，后兩天都售出的商品有4 種，則該網(wǎng)店第一天售出但第二天未售出的商品有_種；這三天售出的商品最少有_種. 三、解答題（共 6 題，共 80 分. 解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）（15） （本小題13 分）已知 an是等差數(shù)列， bn是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4. （）求 an的通項(xiàng)公式；（）設(shè) cn= an+ bn，求數(shù)列 cn的前 n 項(xiàng)和 .（16） （本小題13 分）已知函數(shù) f（x）=2sin x cos x+ cos 2x （ 0）的最小正周期為. （）求的值；（）求f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

6、高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！4 / 11（17） （本小題13 分）某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人用水量中不超過w 立方米的部分按4 元/立方米收費(fèi)，超出 w 立方米的部分按10 元/ 立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000 位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：（i）如果 w 為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4 元/立方米， w 至少定為多少？（ii）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w=3 時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi) . （18） （本小題14 分）如圖，在四棱錐p-abcd中， pc 平面 abcd ，,abdc dc

7、ac高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！5 / 11（i ）求證：dcpac平面；（ii ）求證：pabpac平面平面；(iii)設(shè)點(diǎn) e為 ab的中點(diǎn)，在棱pb上是否存在點(diǎn)f，使得pacef平面?說明理由 . （19） （本小題14 分）已知橢圓c：22221xyab過點(diǎn) a（2, 0） ，b（0, 1）兩點(diǎn) . （i ）求橢圓c的方程及離心率；（ii ）設(shè) p 為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓c 上，直線pa與 y 軸交于點(diǎn)m，直線 pb與 x 軸交于點(diǎn) n，求證：四邊形abnm 的面積為定值 . （20） （本小題13 分）設(shè)函數(shù)32.fxxaxbxc（i ）求曲線.yfx在點(diǎn)0,0f處的切線方程；（ii

8、）設(shè)4ab，若函數(shù)fx有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c 的取值范圍；（iii）求證：230ab是fx有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件. 高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！6 / 112016 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文)(北京卷 )參考答案一、選擇題（共8 小題，每小題5 分，共 40 分）（1）c （2）a （3）b （4）d （5）c （6）b （7）c （8）b 二、填空題（共6 小題，每小題5 分，共 30 分）（9）6（10） 2 （11）32（12）1 2 （13）1 （14）16 29 三、解答題（共6 小題，共 80 分）（15） （共 13 分）解： （i）等比數(shù)列nb的公比32933

9、bqb，所以211bbq，4327bb q設(shè)等差數(shù)列na的公差為d因?yàn)?11ab，14427ab，所以1 1327d，即2d所以21nan（1n，2，3，） （ii）由（ i）知，21nan，13nnb高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！7 / 11因此1213nnnncabn從而數(shù)列nc的前n項(xiàng)和113211 33nnsn1211321 3nnn2312nn（16） （共 13 分）解： （i）因?yàn)?sincoscos2fxxxxsin2cos2xx2 sin24x，所以fx的最小正周期22依題意，解得1（ii）由（ i）知2 sin 24fxx函數(shù)sinyx的單調(diào)遞增區(qū)間為2,222kk（k） 由22

10、2242kxk，得388kxk所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為3,88kk（k） （17） （共 14 分）解： （i）由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區(qū)間0.5,1，1,1.5，1.5,2，2,2.5，2.5,3內(nèi)的頻高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！8 / 11率依次為0.1，0.15，0.2，0.25，0.15所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%依題意，w至少定為3（ii）由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表：組號1 2 3 4 5 6 7 8 分組2,44,66,88,1010,1212,1717,2222,2

11、7頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為：40.160.15 8 0.210 0.25 12 0.15 170.0522 0.0527 0.0510.5（元） （18） （共 13 分）解： （i）因?yàn)閏平面cd，所以cdc又因?yàn)閐cc，所以dc平面c（ii）因?yàn)?dc，dcc，所以c因?yàn)閏平面cd，所以c所以平面c所以平面平面c（iii）棱上存在點(diǎn)f，使得/平面c f證明如下：取中點(diǎn)f，連結(jié)f，c，cf又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以f/又因?yàn)槠矫鎐 f，所以/平面c f高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！9 / 11（19） （共 14 分）解： （

12、i）由題意得，2a，1b所以橢圓c的方程為2214xy又223cab，所以離心率32cea（ii）設(shè)00,xy（00 x，00y） ，則220044xy又2,0，0,1，所以，直線的方程為0022yyxx令0 x，得0022yyx，從而002112yyx直線的方程為0011yyxx令0y，得001xxy，從而00221xxy所以四邊形的面積12s00002121212xyyx高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！10 / 1122000000000044484222xyx yxyx yxy00000000224422x yxyx yxy2從而四邊形的面積為定值（20） （共 13 分）解： （i）由32fx

13、xaxbxc，得232fxxaxb因?yàn)?fc，0fb，所以曲線yfx在點(diǎn)0,0f處的切線方程為ybxc（ii）當(dāng)4ab時(shí)，3244fxxxxc，所以2384fxxx令0fx，得23840 xx，解得2x或23xfx與fx在區(qū)間,上的情況如下：x, 2222,3232,3fx00fxc3227c所以，當(dāng)0c且32027c時(shí)，存在14, 2x，222,3x，32,03x，使得1230fxfxfx由fx的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)320,27c時(shí)，函數(shù)3244fxxxxc有三個(gè)不同零點(diǎn)高考幫幫你實(shí)現(xiàn)大學(xué)夢想！11 / 11（iii）當(dāng)24120ab時(shí)，2320fxxaxb，,x，此時(shí)函數(shù)fx在區(qū)間,上單調(diào)遞增，所以fx不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)當(dāng)24120ab時(shí)，232fxxaxb只有一個(gè)