06-正余弦函數(shù)圖像及其性質(zhì)

1、正弦、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)22 / 18例題解析正余弦函數(shù)的圖像(一)知識精講正弦線：設(shè)任意角的終邊與單位圓相交于點P(x,y),過P作x軸的垂線，垂足為M ,則有sin - MP ,向線段MP叫做角 的正弦線. r2、用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)y sin x , x 0,2 的圖象(幾何法)1P2,y=sin x, x C 0, 2 兀3、用五點法作正弦函數(shù)的簡圖(描點法)：正弦函數(shù)y sin x , x 0,2 的圖象中，五個關(guān)鍵點是:3(0,0)( 一 ,1)( ,0)(, 1)(2 ,0)22然后將這五點大致連線，畫出正弦函數(shù)的圖像。4、正弦函數(shù)y sin x,x R的圖像：把y s

2、inx, x 0,2 的圖象，沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動，每次移動的距離為2就得到y(tǒng) sin x,x R的圖像，此曲線叫做正弦曲線。（二）典型例題【例1】畫出下列函數(shù)在0,2 上的圖象，并且嘗試說明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和函數(shù)圖像的對稱軸等相關(guān)結(jié)論，八，一 一、_1冗（1） y 1 sinx （2） y cosx （3） y 3sin（ x ）24【例2】用五點作圖法作函數(shù) y 1 cosx在0, 2 上的圖象【例3】已知函數(shù) f(x) sin x的圖像的一部分如下方左圖，則下方右圖的圖像所對應(yīng)的解析式為_1、_Ay f(2x -)B. yf (2x21) C.y 嗚 1) D.y

3、【例4】正弦函數(shù)的定義域是 ,最大值是 ,最小值是 ,周期是遞增區(qū)間是 ,遞減區(qū)間是 對稱車由是 , 對稱中心是 ;sin x. sinx cosx【例5】定義函數(shù)f(x) ,根據(jù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)填空：cosx, sinx cosx(1)該函數(shù)的值域為 ; (2)當(dāng)且僅當(dāng) 時，該函數(shù)取得最大值；(3)該函數(shù)是以 為最小正周期的周期函數(shù)；(4)當(dāng)且僅當(dāng) 時，f (x) 0 .例6求函數(shù)y=- cosx的單調(diào)區(qū)間【例7】求下列函數(shù)的定義域與值域(1) y1 .-sin 2x y 2 2cosx2【鞏固訓(xùn)練】1、已知函數(shù)y_冗 2sin(2 x ),用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖像32、已知函數(shù)

4、y1 冗.3sin(-x 一),用五點法作出函數(shù)的圖像2 43、函數(shù)yx cosx的部分圖像是（）yyJ-o*xCy一0»xD4、余弦函數(shù)的定義域是 ,最大值是,最小值是,周期是,遞增區(qū)間是 ,遞減區(qū)間是 對稱車由是,對稱中心是;5、判斷函數(shù)y sin（x ）的奇偶性和單調(diào)性，并寫出的單調(diào)區(qū)間.216、設(shè)M和m分別表本函數(shù)y -cosx 1的最大值和最小值，則 M m等于（）3A. 2B.-2C.-4333D. - 2二、正余弦函數(shù)的值域與最值（一）知識精講1、正、余弦函數(shù)定義域：y2、正、余弦函數(shù)定義域：y對于函數(shù)y sin x ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)sin x和y cosx的定義域都

5、為R。 sin x和y cosx的值域都為 1,1 x 2k ?,y取最大值ymax 1； x 2k 一, y取最小值y min 1。2對于函數(shù)y cosx,當(dāng)且僅當(dāng)x2k , 丫取最大值ymax 1；當(dāng)且僅當(dāng)x 2k , y取最小值ym1 o(二)典型例題【例8】要使下列各式有意義應(yīng)滿足什么條件?(1)1 m sin x ;2 m2,2a b (2) cosx 2ab【例9】求下列函數(shù)的最大值，以及取得最大值時的x值(1) y=sinx+cosx(2) y=asinx+b【例10】求使下列函數(shù)取得最大值的自變量 x的集合，并說出最大值是什么11) y=sin(3x+ )-1 (2)y=sin

6、2x-4sinx+5 (3) y=-cos-x43 cos x【例11】求下列函數(shù)的值域(1)sin x .3 cosx, x2cos x sin x, x1 cosx3 cosx，求f x的最大值和最小值.【例 12】已知函數(shù) f xV3sin2 x sin x cosx , x ,2【鞏固訓(xùn)練】7、求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么(1)y= cosx+ 1, xC R；(2)y=sin2x, xC R。8、函數(shù)y=ksinx+b的最大值為2,最小彳I為-4 ,求k,b的值。10、函數(shù)y9、函數(shù)f(x) 2sin2x 6cosx 3的最大值為 sin2x cos2x

7、(x 0,)的值域為 212、已知y11、函數(shù)y sin x cos 一 x 的最大值為 26-sin2 x sinx cosx 1,x R求y的最大值及此時 x的集合. 22、正余弦函數(shù)的其他性質(zhì)（一）知識精講正余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像函數(shù)y sin xy cosx定義域RR值域1,11,1有界性有界函數(shù)sin x 1后界函數(shù)cosx 1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)對稱性對稱軸方程：x k 2對稱中心：k ,0對稱軸方程：x k對稱中心：k ,02周期性周期函數(shù)（T 2 ）周期函數(shù)（T 2 ）單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間 2 k -,2k 一 22 3單倜減區(qū)間 2k , 2k (k Z)22單調(diào)增區(qū)間2 k,2 k

8、單調(diào)減區(qū)間2k ,2k（k Z）最值性x 2k 2,(k Z), ymax 1x 2k 二,(k Z),ymin 12x 2k ,(k Z),ymax 1x 2k,(k Z), ymin1周期函數(shù)：一般地，對于函數(shù) f（x）,如果存在一個非零常數(shù) T ,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x T) f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的 周期.由此可知，4 , 2 ,2 ,4 , ,2k (k z且k 0)都是這兩個函數(shù)的周期.對于一個周期函數(shù)f (x),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f (x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正

9、弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2k (k z且k 0)都是它的周期， 最小正周期是2 .注息：1 .周期函數(shù)定義域x M ,則必有x T M ,且若T 0,則定義域無上界；T 0則定義域無下界；2 .“每一個值”只要有一個反例，則f(x)就不為周期函數(shù)；3 . T往往是多值的(如y sinx中，4 , 2 ,2 ,4 , 都是周期)周期T中最小的正數(shù)叫做 f(x) 的最小正周期(有些周期函數(shù)沒有最小正周期)(二)典型例題【例13】利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像，求滿足下列條件的x的集合：1 1(1) sin x(2) cosx 一2 2【例14】求下列函數(shù)的定義域2.1 ，一1(1) y Jsi

10、n2x lg(25 x ) (2) y Jsinx (3)y lgcos(x ) 一16 x232【例15】求下列函數(shù)的周期(1) y sin-x(2) y sinx <3cosx y=Asin( 3 x+)(A w,0 3 >0)(4) y=|sinx|+|cosx|【例(1)16】判斷下列函數(shù)的奇偶性1 sin x cosx f (x)1 sin x cosx(2) f(x).-4sin x4-cos x cos2x【例17】求列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間(1)cos2x2sin( x)4(3) y1 2xsin( )(4 ) y243兀|sin(x /【例18】(1)函數(shù)y3sin(2

11、 x )的對稱軸方程是3(2)若函數(shù)y sin 2xacos2x的圖像關(guān)于x 一對稱，則a3【例19】求函數(shù)f(x)1log 1 cos(- x )的單倜遞增區(qū)間.234【例 20】已知函數(shù) f(x) 2sin x sin( x) V3sin x cosx cos2 x .(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期，最大值及取最大值時相應(yīng)的x值；(2)如果0 x 一，求f(x)的取值范圍.2k【例 21】設(shè) f (x) sin x (k 0) 53(1)求當(dāng)k 3時，函數(shù)圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo).(2)求最小正整數(shù)k,使得當(dāng)自變量在任意兩個整數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時，函數(shù)至少取得一次最大值M和最

12、小值m .【例22(1) a取何值時，方程sin2 x 2sin xcosx cos2 x a x 0, 無解？有一解？有兩解？有三解？(2)函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等，請選擇適當(dāng)?shù)奶骄宽樞颍芯亢瘮?shù) f x小sin x 小sin x的性質(zhì).【鞏固訓(xùn)練】13、在下列四個函數(shù)中，周期為£的偶函數(shù)為()a一 .一一2 _2 _A. y 2sin2xcos2xB. y cos 2x sin 2x22C. y xsin 2xD. y cos x sin x14、(1)函數(shù)y sin(2x)錯誤!未找到引用源。 的圖像關(guān)于y軸對稱，則 =(2)函數(shù)y 5cos

13、(2x)為奇函數(shù)，則 15、函數(shù)y 3sin 2x 圖像的一條離直線 x 10最近的對稱軸方程是 .16、函數(shù)ysin xV3cosx,xQ一 的單調(diào)遞增區(qū)間217、已知函數(shù)_2f (x) 1 2sin x2sin冗冗x - cos x 一88求：(I)函數(shù)f (x)的最小正周期;(II )函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間.18、已知函數(shù)r2f x 4sin x 2sin 2x2,xR (1)求f x的最小正周期及 f x取得最大值時x的集合；(2)求證：函數(shù)f x的圖像關(guān)于直線 x一對稱.819、已知函數(shù) f (x) cosx(sin x cosx) , x(1)請指出函數(shù)f(x)的奇偶性，并給予

14、證明;(2)當(dāng)x 0,y時，求f(x)的取值范圍.熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)及圖形特點:三角函數(shù)y sin xy cosx定義域RR值域1,11,1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性22單調(diào)性生2k ,2k 上遞增 22,3在2k ,2k 上遞減22至2k,2k 上遞增在2k ,2k上遞減最值x 2k 一時、取人值 12_x 2 k 一時,最小值 12_x 2k時：最大侑1x 2k時，最小值 1圖像二 X課后練習(xí)1、已知函數(shù) f(x) sinx a , a R討論函數(shù)f(x)的奇偶性求當(dāng)f(x)取最大值時，自變量 x的取值集合.2、已知a是實數(shù)，則函數(shù) f(x) 1 a sin ax的圖像不.可.能.是 ()23、函數(shù)y sin 2x 2cos x的最大值為 4、求函數(shù)y5、求函數(shù)y一 一一 .27 8cosx 2sin x,x 一,一的值域.6 3sin xcosx sin x cosx 的最小值.6、函數(shù)y sinx cos( x) (x R)的單調(diào)遞增區(qū)間為一，1，口7、函數(shù)y cot x的最小正周期是 .sin x8、已知函數(shù) f (x