空間點(diǎn)線面位置關(guān)系及平行判定及性質(zhì)

1、第7課 空間點(diǎn)線面位置關(guān)系及平行判定及性質(zhì)江南中個(gè)輔，林俊杰【教學(xué)目標(biāo)】一、 知識目標(biāo)1、了解空間中線、面的位置關(guān)系2、了解異面直線的定義，掌握判斷異面直線的方法3、掌握平面的基本性質(zhì)4、掌握線線平行，線面平行，面面平行的證明 二、能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力，提高學(xué)生的邏輯證明能力，讓學(xué)生了解空間與平面互相轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力和抽象概括能力，進(jìn)而形成科學(xué)的思維方法。三、 情感目標(biāo)通過類比，歸納，總結(jié)的訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生探尋事務(wù)規(guī)律的強(qiáng)烈愿望；通過體驗(yàn)邏輯證明的應(yīng)用過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心【教學(xué)重點(diǎn)】線線平行、線面平面、面面平行的判定定理和性質(zhì)

2、定理【教學(xué)難點(diǎn)】線線平行、線面平面、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用【考點(diǎn)分析】 從近幾年高考的形式來看，高考對本部分內(nèi)容考查以理解和掌握為主，一般為中等難度題，考查形式主要為：“共點(diǎn)，共線，共面問題”；“證明異面直線垂直”；“直線與平面的判定和性質(zhì)應(yīng)用”；“平面與平面的判定和性質(zhì)應(yīng)用”【知識點(diǎn)梳理】1平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)2平面的基本性質(zhì)公理2（確定平面的依據(jù)）經(jīng)過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面3平面的基本性質(zhì)公理2的推論（1）經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（2）經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)

3、平面（3）經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面4平面的基本性質(zhì)公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線5異面直線的定義與判定（1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，既不相交也不平行（2）判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線6直線與直線平行（1）平行四邊形（矩形，菱形，正方形）對邊平行且相等，（2）三角形的中位線 分別是的中點(diǎn) 中位線平行且等于底邊的一半，（3）線面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的一個(gè)平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行 ，（4）面面平行的性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平行的

4、平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行 ，（5）線面垂直的性質(zhì)定理 如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行 ，7直線與平面平行（1）線面平行的判定定理 如果不在平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行 ，（2）面面平行的性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平面互相平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的任一直線都平行于另一個(gè)平面 ，8平面與平面平行（1）面面平行的判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線，分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 ，（2）垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行 ，【典型例題】題型一：點(diǎn)線面的關(guān)系用符號表示、判斷異面直線例12009廣東高考（文）改給定下列四個(gè)命題其中，

5、為真命題的是A. 和B. 和C. 和D. 和答案：D解析：了解題目中點(diǎn)線面關(guān)系的符號表示，理解其中文意思，根據(jù)相關(guān)定理判斷正確的命題在平面內(nèi)有兩條直線，直線分別平行平面，則平面平行平面該命題錯(cuò)誤，根據(jù)“面面平行的判定定理”，這兩直線應(yīng)為相交直線直線為平面的垂線，平面經(jīng)過直線，則平面垂直平面該命題正確，由“面面垂直的判定定理”可得直線垂直直線，直線垂直直線，則直線平行直線該命題錯(cuò)誤，在空間中，平行同一直線的兩直線不一定平面，可垂直可成一定的夾角平面垂直平面，且有交線，在平面內(nèi)有直線，直線垂直交線，則平面垂直平面該命題正確，由“面面垂直的性質(zhì)定理”可得點(diǎn)評：對于空間中點(diǎn)線面的關(guān)系以及各判定定理和性

6、質(zhì)定理，要掌握中文與數(shù)學(xué)符號之間的轉(zhuǎn)化，并掌握好各個(gè)定理的含義變式1給出下列關(guān)于互不相同的直線和平面的三個(gè)命題：若為異面直線，則；若，則；若，則其中真命題的個(gè)數(shù)為A3 B2 C1 D0答案：C解析：由異面直線的定義得，兩直線可分屬兩個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面不一定平行，命題錯(cuò)誤由面面平行的性質(zhì)定理得線面平行，不一定得到線線平行，命題錯(cuò)誤由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行，再由線線平行的遞推性可得，命題正確點(diǎn)評：通過數(shù)學(xué)符號，了解線面之間的位置關(guān)系，應(yīng)用相關(guān)定理判斷命題題型二：以中位線為突破口的平行證明問題例22011北京高考（文）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，求證：平面答案：證明：在中，分別是

7、的中點(diǎn)所以，（中位線定理）因?yàn)椋矫?，平面所以，平面點(diǎn)評：在圖形中尋找三角形的中位線，即兩腰的中點(diǎn)的連線，通過中位線定理證明線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行（注意判定定理的證明規(guī)范）變式12011北京高考（文）改如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，求證：四邊形為平行四邊形答案：證明：在中，分別是的中點(diǎn)所以，且（中位線定理）同理，在中，分別是的中點(diǎn)所以，且（中位線定理）所以，所以，四邊形為平行四邊形點(diǎn)評：與例1相比，改變了證明的問題，但是關(guān)鍵的技巧都是：運(yùn)用中位線，特別是中位線定理中數(shù)值大小的結(jié)論的應(yīng)用，從而通過“對邊平行且相等”證明四邊形為平行四邊形變式22011四川高考（文）如

8、圖，在直三棱柱中，延長至點(diǎn)，使，連接交棱于求證：平面；答案：證明：連接，交于點(diǎn)，連接在矩形中，為中點(diǎn)由題知，為中點(diǎn)，所以，在中，為的中點(diǎn)所以，在中，分別是，的中點(diǎn)所以，（中位線定理）因?yàn)?，平面，平面所以，平面點(diǎn)評：運(yùn)用中位線定理，關(guān)鍵在于兩腰的中點(diǎn)的尋找或證明，找好了中點(diǎn)即可運(yùn)用中位線定理證明線線平行，從而證明線面平行題型三：以平行四邊形為突破口的平行證明問題例32010北京高考（文）如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，求證：平面答案：證明：設(shè)于交于點(diǎn)在正方形中，可得因?yàn)?，?所以，四邊形為平行四邊形 所以，（平行四邊形的性質(zhì)）因?yàn)椋矫?，平面所以，平面點(diǎn)評：運(yùn)用對邊平行且相等證明四邊形為

9、平行四邊形，再運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，證明另一對邊平行，從而證明線面平行變式1在三棱柱中，直線與底面所成的角是直角，直線與所成的角為，且，分別為的中點(diǎn)求證：平面；答案：證明：取中點(diǎn)，連接在中，分別是的中點(diǎn)所以，（中位線定理）在三棱柱中，為中點(diǎn)，即所以，所以，四邊形為平行四邊形 所以，（平行四邊形的性質(zhì)）因?yàn)?，平面，平面所以，平面點(diǎn)評：運(yùn)用中位線定理，證明，再運(yùn)用平行的遞推原理，證明從而證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得線線平行，最終證得線面平行題型四：三種平行之間的相互關(guān)系與轉(zhuǎn)化例4如圖所示，圓柱的高為2，是圓柱的母線，為矩形，分別是線段的中點(diǎn)，求證：面；答案：證明：在中，分別是的中

10、點(diǎn)所以，（中位線定理）在矩形中，所以，因?yàn)?，平面，平面所以，平面同理，在中，有（中位線定理）因?yàn)椋矫?，平面所以，平面因?yàn)?，平面，平面，所以，平面平面因?yàn)椋矫嫠?，平面（面面平行的性質(zhì)定理）點(diǎn)評：運(yùn)用中位線定理，證得兩直線分別平行兩平面，根據(jù)面面平行的判定定理證得平面平面，再運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理證得線面平行，綜合運(yùn)用線線，線面，面面三者平行關(guān)系解題變式1如圖，在長方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求證: 面 答案：證明：取中點(diǎn)，連接由題可得，即四邊形為平行四邊形因?yàn)?，分別為中點(diǎn)，可得因?yàn)?，平面，平面所以，平面在中，分別為的中點(diǎn)所以，因?yàn)?，平面，平面所以，平面因?yàn)椋矫?，平面，所以，平面?/p>

11、面因?yàn)?，平面所以，平面（面面平行的性質(zhì)定理）點(diǎn)評：設(shè)取中點(diǎn)，從而找到兩條相交的直線分別平行同一平面，證得面面平行，再運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理得到線面平行題型五：探究性問題例5如圖所示，直棱柱中，底面是直角梯形，在線段上是否存在點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），使得平面？證明你的結(jié)論答案：證明：由題可知，在直棱柱中，平面平面因?yàn)?，點(diǎn)在線段上所以，平面所以，平面（面面平行的性質(zhì)定理）點(diǎn)評：直線在平面內(nèi)，則直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)，所以平面，再由面面平行的性質(zhì)定理可證得變式1如圖，直三棱柱中，上有一動(dòng)點(diǎn)，上有一動(dòng)點(diǎn)，討論：無論在何處，都有平面，并證明你的結(jié)論答案：證明：點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則平面由題可知，在直三棱柱中，平面

12、平面所以，平面點(diǎn)評：由公理1，說明平面，再由面面平行的性質(zhì)定理得，無論在何處，總有平面【方法與技巧總結(jié)】1熟記立體幾何證明中的多個(gè)公理，推理，判定定理以及性質(zhì)定理2熟練掌握空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的符號表示，并能夠適當(dāng)靈活轉(zhuǎn)化為中文以便理解，在此建立空間的想象能力和空間感，進(jìn)一步把符號轉(zhuǎn)化為立體圖象加以記憶3熟記平行證明中常用的判定定理和性質(zhì)定理，特別重視三角形中位線定理和平行四邊形性質(zhì)定理的應(yīng)用4應(yīng)用三角形中位線定理和平行四邊形性質(zhì)定理，證明線線平行，從而得出線面平行或面面平行，重視線線平行證明的重要性5掌握線性平行，線面平行，面面平行三者之間的相互轉(zhuǎn)化【鞏固練習(xí)】1設(shè)表示兩條直線，表示兩個(gè)平

13、面，則下列命題是真命題的是A若，則 B若，則C若，則 D若，則2已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是A若，則 B若，則C若，則 D若，則3關(guān)于直線及平面，下列命題中正確的是A若，則； B若，則；C若，則； D若，則4已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面,下列命題中正確的是A. ，則B. ，則C. ，則D. 當(dāng)，且時(shí)，若，則5已知三條不重合的直線，兩個(gè)不重合的平面，有下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ； ； ； A. 1B. 2C. 3D. 46在三棱錐中，和都是邊長為的等邊三角形，分別是的中點(diǎn)。求證：平面；7如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點(diǎn)，證明：平面8如圖所示,

14、在三棱柱中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求證: 平面9. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為中點(diǎn)，平面，為中點(diǎn)證明：平面10在如圖所示的幾何體中，平行四邊形的頂點(diǎn)都在以為直徑的圓上，且，分別為的中點(diǎn)，證明：平面11如圖，已知平面，且是的中點(diǎn)，求證：平面；12在棱長為的正方體中,是線段的中點(diǎn)，底面的中心是，求證:平面；13如圖，四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，是的中點(diǎn)，且求證：平面14如圖，平面平面，為正方形，且，分別是線段的中點(diǎn)。求證：平面；15如圖所示，四棱錐中，底面為正方形，平面，分別為、的中點(diǎn)求證：平面；【課后作業(yè)】1已知是不同的兩條直線，是不重合的兩個(gè)平面， 則下列命題中為真命

15、題的是A若，則 B若，則C若，則 D若，則2已知兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題，其中真命題的序號是 A B C D 3在四棱錐中，為正三角形，平面，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)。求證：平面；4如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn). 求證：平面； 5如圖，為圓的直徑，點(diǎn)、在圓上，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，設(shè)的中點(diǎn)為，求證：平面；6如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明：平面7. 如圖的幾何體中，平面，平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn)求證：平面；【拓展訓(xùn)練】1如圖，是底面半徑為1的圓柱的內(nèi)接正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面），過作圓柱的截面交下底面于，已知，證明

16、：四邊形是平行四邊形；2如圖，四棱柱的底面是平行四邊形，分別在棱上，且求證：；【參考答案】鞏固練習(xí)答案1【答案】 D2【答案】 B3【答案】C4【答案】 C5【答案】 B6【答案】 因?yàn)?，分別為的中點(diǎn) 所以， 又因?yàn)椋矫?，平?所以，平面7【答案】 因?yàn)?，分別是的中點(diǎn)所有，由題可得，即又因?yàn)?，平面，平?所以，平面8【答案】連接交于點(diǎn)，連接在平行四邊形中，為中點(diǎn)又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以，又因?yàn)?，平面，平?所以，平面9【答案】證明：連接在平行四邊形中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，平面所以平面?0【答案】證明：AC是圓O的直徑，為直角，即 ，平行四邊形是正方形 分別為的中點(diǎn)

17、， 平面，平面平面 11【答案】取中點(diǎn)，連結(jié)，為的中點(diǎn)，又 為平行四邊形， 又平面，平面 平面12【答案】連接因?yàn)椋詾槠叫兴倪呅?，因此在正方形中，為中心，即為中點(diǎn)由于是線段的中點(diǎn)，所以， 所以為平行四邊形，即因?yàn)槊?，平面，所以平?3【答案】取的中點(diǎn)，連結(jié)， ， 四邊形是平行四邊形 平面14【答案】連接因?yàn)?，分別是的中點(diǎn)所以，因?yàn)椋匆驗(yàn)?，平面，平面所以，平面同理，平面因?yàn)?，平面，平面，所以，平面平面因?yàn)?，平面所以，平?5【答案】分別為的中點(diǎn)，平面平面平面，平面課后作業(yè)答案1【答案】D2【答案】C3【答案】證明:連接, . 為中點(diǎn)，則因?yàn)?，所以，則四邊形是平行四邊形.所以因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，在平面內(nèi),所以平面4【答案】證明：在矩形中，由得是平行四邊形。所以， 又平面，平面，所以平面5【答案】設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，則，四邊形為平行四邊形， 又