解線性代數(shù)方程組的直接方法

1、解線性代數(shù)方程組的直接方法 1.引言11112211211222221122 nnnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb階線性方程組： , X ,11Tn nijAXbTA nn , , ) , , )(x(bxbab矩陣表示記為這里35 det( )0,det() (1,2, )det( )1 (1)!30,2.38 10iiAAxinAnnnnnnnn如果線性方程組的系數(shù)行列式不為零，即則該方程組有唯一解。由克萊姆(cramer)法則，其解為這種方法需要計算個 階行列式并作 次除法，而每個階行列式計算需作次乘法，計算量十分驚人。如需次乘法?？梢娖湓诶?/p>

2、論上是絕對正確，但在 較大時，在實際計算中確實不可行的。 解線性方程組的兩類方法：直接法: 經(jīng)過有限次運算后可求得方程組精確解的方法(不計舍入誤差!)迭代法：從解的某個近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一個無窮序列去逼近精確解的方法。（一般有限步內(nèi)得不到精確解）2. Gauss 消去法1111221122222 nnnnnnnngb xb xb xgb xb xgb x轉(zhuǎn)化為等價的（同解）的三角形方程組。11112211211222221122 nnnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb對 階線性方程組：11 ,nnxxx稱消元過程。 逐次計算出稱回代過程。 11b

3、b , a a)(ii)(ijij統(tǒng)一記號：1111111 1T( )( )( )( )( )ij( )( ) X : , n(, , )babAAbb原方程)( )( :0 111121)1(11新第二行（第一行）第二行若aaa)()()( )()( 111131新第三行第一行第三行aa)()()n(naa)()(n行新第（第一行）行第 )( 11111相當(dāng)于第i個方程-第一個方程數(shù)新的第i方程同解！第一方程不動！ 一、Gauss 消去法計算過程 上述消元過程除第一個方程不變以外, 第2第 n 個方程全消去了變量 1，而系數(shù) 和常數(shù)項全得到新值：(1)(1)(1)(1)(1)11112213

4、311(2)(2)(2)(2)22223322(2)(2)(2)(2)32233333(2)(2)2233 nnnnnnnna x a xa xa xba xa xa xba xa xa xba xa x(2)(2)nnnna xb22 xbA（ ）（ ）得到新同解方程組：bbbbaaaaaaaA)(n)()()(nn)(n)(n)()(n)()()(22211(2)22222222111121112 00 =，其中aamamaa)()(ii)(ji)(ij)(ij 11111111112 這里211112 3,()()()iii , , ,n i jbbbm的子陣作上計算：對除第一行第一列外

5、，若第二步消元： 0 )2(22a 00000 3332211(3)3333333322223222111131121113bbbbbaaaaaaaaaaaA)(n)()()()(nn)(n)(n)()(n)()()(n)()()()(=，aamamaaijijij)2(22)2(2i2)2(2i2)2()3( 322223 4,()()()iii , , ,n i jbbbmbxA)()(33 =得到同解方程組(1)(1)(1)(1)(1)11112213311(2)(2)(2)(2)22223322(3)(3)(3)33333(33 nnnna x a xa xaba xa xaba xa

6、b)(3)(3)3nnna xab行下去。則此消去過程可依次進，若 0 333a)( )( ) 1 nnnxbA第步消去過程后， 得到等價三角方程組。(1)(1)(1)(1)(1)11112213311(2)(2)(2)(2)22223322(3)(3)(3)33333 nnnnnna x a xa xa xba xa xa xba xa xb( )( ) nnnnnna xb(1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(n)( )(3)(3)(3)3333( )( )0 00000bnnnnnnnnnaaaabaaabAaabab，系數(shù)矩陣與常數(shù)項：的過

7、程稱消去過程。，計算出 bA)n()n(消去過程算法(1)(1)(1)1111( )( )( )( )1 nkkkkkkkkknkaabaaab(1)(1) 0 0 k1 i,j nkkijjab ni,j ) k()(aabbbaaaaa(k)kk(k)ik(k)k(k)i)(ki(k)kk(k)ik(k)kj(k)ij)(kij 111( )0 k1 i n kika 1n , , 2 , 1k回代過程算法(1)(1)(1)(1)111111( )( )( )(1)(1)(1)11111 iinniiiiiiinninnnnnnnnnna xa xa xba xa xbaxaxb()()

8、nnnnnnaxb abx)n(nn)n(nn=( )( )( )1() in 1 , n 2 , , 1niiiiiijjiij ixba xa 12323123133233 6; 45;221.11161116|04150415221104111111604150026 ( 2),xxxxxxxxA brrrrrr例1：用消去法解方程組解：用增廣矩陣表示求解過程( )(1)111( )11111111 0(1,2, ).0;(1,2, )./(2,3, )=0, 0 (2,3, ).iiiikkkkkiiiiiA nADikaaDikaDDknaaD aDikaa定理：如果 為 階非奇異矩

9、陣矩陣 的順序主子式約化的主元素且證：詳細歸納法證(略）。(1)(1)(1)11121(2)(2)222(1)()()()()()(1)(1)(1)(2)(1)(2)(3)1112211223112233(2)22(1)(1)111(111() nnkkkkkknkkkknnkkkkkaaaaaAAaaaaaaDaaDaaaaaaDaa證 ： 詳 細 歸 納 法 證 (略 ） 。 )(2)()22;kkkaa消去第一列的 n-1 個系數(shù)要計算n*(n-1） 個乘法。 1 2 2 )n()*(n-n二)n(nk)k ( nk13 212總計21 11)n(n k nk除法1 2n(n) 回代總計

10、算量321 (30,9890)33 nnnn總 乘 除 法 共為二、 Gauss消去法乘法計算量(2)(1)(2)(1)11112111113111 , 1101 2 3001L( )( )iin i, ,nbbAL ALmmaamm 記：其中每一步消去過程相當(dāng)于左乘初等變換矩陣Lk三、 Gauss消去法的矩陣表示(3)(2)(3)(2)222222223222 , 10101 3 4001L()()iini, ,nbbAL ALmaamm記：(3)(1)(3)(1)2121 , bbAL L AL L-1 iiLL與11211121(n )()nn(n )()nn ALLL AbbLLL-1

11、i1,1,110 10111 01010101 i iiiiininiLLmmmm列 i列i+1行 i+1行LU形式1111121111121()(n)(n)nnLL ULALLLAALLL 111 2121mmmnnL 111 10101 1011223121223121mmmmmm=()()213132 111161116|041504152211041111116 04150026 (1,) 0,2,1, kikkikkkAbamiknammm 例 2： 對 于 例 ， 由 增 廣 矩 陣 表 示 消 元 過 程 有由 故 有100111 010041.211002ALU ( )( )i

12、k( )( )( )( ) max , i,jk, k1 , , n max , ik, kkikikkkkkkkijkkkkikGaussmaamaaaa為避免此種情況的發(fā)生，可通過交換方程的次序，選取絕對值大的元素作主元。基于這種想法導(dǎo)出了主元素法。時避免很小， 從而只要取稱主元素消去法；或k1 , , nGauss稱列主元消去法。3. 高斯主元素消去法( )( ) 00kkkkkkaa在高斯法消元過程中可能出現(xiàn)的情況，這時消去法將無法進行；即使主元素但很小，用其作除數(shù)，也會導(dǎo)致其他元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的擴散。選主元素的矩陣表示( )(n)k10001k00101 1010010

13、001iknkiXbIA12112111122111112211nnnn(n )()nninnii(n )()nninniiALILIL IAbbLILIL I123*0.0012.000 3.0001.000 31.000 3.712 4.6232.0002.000 1.072 5.6433.000( 0.4904, 0.05104,0.3675)10.0012.000 3.000 1.000 |1.000TxxxxA b 例 ：階方程組四位有效數(shù)字精確解為解：（）高斯消去法212232100020001.9973.712 4.623 2.0002.000 1.072 5.643 3.000

14、0.001 2.000 3.000 1.0000.001 2.000 3.000 1.000020043005100202004300510020400160062003005.000 2.000( 0.mmmx 400, 0.09989,0.4000)T21220.50000.000522.000 1.072 5.643 3.000 |1.000 3.712 4.623 2.0000.0012.000 3.000 1.0002.000 1.072 5.643 3.000 03.712 1.801 0.50002.001 3.003 1.002mmA b （ ）交換行，避免絕對值小的主元作除數(shù)

15、。（列主元素法）320.63002.000 1.072 5.643 3.000 03.712 1.801 0.500001.868 0.687 ( 0.4900, 0.05113,0.3678)mTx .,det .1. det1 1, 2,172 m ax.3.0,det0,4.5 (,kkkijiji kikkini kkkjijA xbAmaxbknaaaikaajk 算 法 ： （ 列 主 元 素 消 去 法 ） 設(shè)消 元 結(jié) 果 沖 掉乘 數(shù)沖 掉計 算 解沖 掉 常 數(shù) 項行 列 式 值 存 放 在對 于做 到 第步 。.按 列 選 主 元 素如 果則計 算 停 止 。如 果則 轉(zhuǎn)

16、，否 則 換 行 ：1,), , detdetkkiknbb 。15.: /(1,) (1)6. ( ,1,) (1,)7. detdet .8. /; () /(1,2,1).9. ikikikikkkikijijikkjiiikkkknnnnniiijiijimamaaiknmaam ai jknbbm biknabbabbaainn 計 算 乘 數(shù)消 元 計 算 ：回 代 求 解 ：detdet .nna高斯若當(dāng)消去法3 2GaussJordanAn消去對角線下方和上方的元素，此方法稱消去法。G-J方法將 約化為單位矩陣，計算解就在常數(shù)項得到，無需回代求解。計算量大約需次乘除法，要比高斯

17、消去法大。G-J方法主要用途是求一個矩陣的逆矩陣。1123 5 G-J245.356123100356001 |245010245010356001123100nAAA I例 ： 用法求的逆矩陣解：115/32001/3 02/31012/301/31101/3101/205/22013/203/21001/211/20100132 010331|.001210nIA高斯消去法的變形-LU 分解1111121111121()(n)(n)nnLL ULALLLAALLL 111 2121mmmnnL (1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(n)( )(

18、3)(3)(3)3333( )( )0 00000bnnnnnnnnnaaaabaaabAaabab，設(shè)A為n階方陣，若A的順序主子式Ai均不為零，則矩陣存在唯一的LU(Doolittle 杜利特爾）分解。11121n21222n313212(1)nn ( 111 U 1nnn nGaussLUA LULuuuluulllllu 由消去法加上列主元或全主元）有分解：直接計算 A 的 LU 分解(例) 000000 1010010001 4434334423221413121143424132312144434241343332312423222114131211uuuuuuuuuullllll

19、aaaaaaaaaaaaaaaauulululululululululuululuulululululuuluuluululuuuu4434432442144133432342134122421241114134243214313323321331223212311131241421231321221221112114131211+uulululululululululuululuulululululuuluuluululuuuu4434432442144133432342134122421241114134243214313323321331223212311131241421231321221221112114131211+n. , 3,i - ; - , - 2 n, 2,j , - ; - , - , - u2n,2,i , ; , ,