泄露天機——2016年金太陽高考押題-精粹-理科數(shù)學(xué)(學(xué)生用卷)

1、泄露天機泄露天機20162016 年高考押題年高考押題 精粹精粹數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科本卷共 48 題，三種題型：選擇題、填空題和解答題。選擇題 30 小題，填空題 4 小題，解答題 14 小題。 一、選擇題（一、選擇題（30 個小題）個小題）1.已知集合則等于（ ）22 |log1, |60,AxxBx xx()RAB A. B. C. D. | 21xx | 22xx | 23xx |2x x 2. 已知復(fù)數(shù)的實部為，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（ 4i1ibzbR1zb）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.若復(fù)數(shù)z滿足,則的實部為（ ）1 i1 iiz zA.212 B.21 C

2、.1 D.2124.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是減函數(shù)的是（ ）(0,)2A B. C D 3yxsinyx 21yxcosyx5.若是圖象上不同兩點,則下列各點一定在圖象上的是( ),A a bB c d lnf xx f xA. B. C. D.,ac bdacbd ，,ac bd,ac bd6.雙曲線的頂點到漸近線的距離與焦點到漸近線的距離之比為（ ）22:13yC x A. B. C. D.122233327.在區(qū)間內(nèi)隨機取兩個實數(shù) ，則滿足的概率是（ ）1,1xy12 xyA. B. C. D.929761568.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果 S 的值是（ ） A2 B

3、C3 D12139.一個算法的程序框圖如右圖所示，若輸入的 x 值為 2016，則輸出的 值為 ( ) iA.3B.4 C.5D.610.若向量滿足，的夾角為 60， 在上的投影等于 ( ),a b| |2abab與a+a bA. B.2 C.D.4223311.不等式組2503020 xyxyxy的解集記為 D，11yzx，有下面四個命題： p1：( , )x yD，1z p2：( , )x yD，1zp3：( , )x yD，2z p4：( , )x yD，0z 其中的真命題是 ( )Ap1，p2 Bp1，p3 Cp1，p4 Dp2，p312.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積

4、的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上,好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如下左圖,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當其主視圖和側(cè)視圖完全相同時,它的俯視圖可能是（ ）13一個幾何體的三視圖如圖 2 所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是（ ） A. 2333cm B. 2233cm C. 4763cm D.73cm14.若數(shù)列滿足（na11na1=nda為常數(shù)） ，dNn,*則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且 x1x2x20200，則na1nx等于（ ）165xx A10 B20 C30 D4015.九章算

5、術(shù)之后，人們學(xué)會了用等差數(shù)列的知識來解決問題， 張丘建算經(jīng)卷上第22 題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第 2 天開始，每天比前一天多織相同量的布） ，第一天織 5 尺布，現(xiàn)一月（按 30 天計）共織 390 尺布”，則從第 2 天起每天比前一天多織（）尺布. A B. C. D.211583116291616.在某次聯(lián)考測試中，學(xué)生數(shù)學(xué)成績，若X21000N,則等于（ ）, 8.0)12080( XP)800( XPA0.05 B0.1 C0.15 D0.217由 1,2,3,0 組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中 0 不在個位上，則這些三位數(shù)的和為（ ） A.2544 B.1332 C.25

6、32 D.132018.已知若=2,則等于（ ） 2cos2 ,21xxf xaxx( )3f()3f A. B. C.0 D. 12119.函數(shù)部分圖象如圖所示，對不同的，若( )sin 2()2f xAxbaxx,21，有，則（ ） 21xfxf321 xxfA在上是減函數(shù) B在上是減函數(shù) xf5(,)12 12 xf5(,)36C在上是增函數(shù) D在上是增函數(shù) xf5(,)12 12 xf5(,)3620若，則的值是（ 7280128112xxaa xa xa x 127aaa ）A. B. C125 D.2313121.設(shè)點、分別是雙曲線的右頂點、右焦點,直線A,0F c22221(0,

7、0)xyabab交該雙曲線的一條漸近線于點若是等腰三角形,則此雙曲線的離心率為2axcPPAF（ ）A. B. C. D.332222.過拋物線焦點 F 的直線交其于兩點，O 為坐標原點若，則2yx4BA,3AF的面積為（ ）AOB A. B. C. D.22223 22223.已知圓，圓，橢圓221:20Cxcxy 222:20Cxcxy 的焦距為，若圓都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的2222:1(0)xyCabab 2c12,C CCC范圍是（ ）A B C D1,1)21(02，2,1)22(02，24.已知向量、滿足,、分別是AB AC ADACABAD 2AB 1AD EF線段、的中點若,

8、則向量與向量的夾角為（ ）BCCD54DE BF AB ADA B C D32365625.已知函數(shù)滿足條件：對于， 唯一的，使得 0,0, 3xbaxxxxfR1xR2x.當成立時，則實數(shù)( ) 21xfxf bfaf32baA. B. C.+3 D.+32626262626.函數(shù)的圖象大致為（ ）2lnxyx27.已知定義在上的函數(shù),為其導(dǎo)數(shù),且恒成立，則（ (0,)2( )f x( )fx( )( )tanf xfxx）A. B. 3 ()2 ()43ff2 ()()64ffC. D.3 ()()63ff 12 () sin16ff28.若過點與曲線相切的直線有兩條,則實數(shù) a 的取值范

9、圍是( ),P a a lnf xxxA. B. C. D. ,ee,10,e1,29.已知四邊形的對角線相交于一點,則的ABCD1,3AC 3,1BD AB CD 最小值是（ ）A. B. C. D.242430.定義在上的函數(shù)對任意都有，且函數(shù)R f x1212,x xxx 12120f xf xxx的圖象關(guān)于（1,0）成中心對稱，若滿足不等式，1yf x, s t2222f ssftt 則當時，的取值范圍是（ ）14s2tsstA B C D13,213,215,215,2二、填空題（二、填空題（4 個小題）個小題）31.已知邊長為 的正的三個頂點都在球的表面上，且與平面所成的3ABCO

10、OAABC角 為，則球的表面積為_30O32.設(shè),當實數(shù)滿足不等式組時，目標函數(shù)的最大值等于1myx,12yxxyxymyxz2，則的值是_m33.已知數(shù)列中,對任意的,若滿足（ 為常數(shù)）,則稱na*nN123nnnnaaaass該數(shù)列為 階等和數(shù)列,其中 為 階公和；若滿足（ 為常數(shù)）,則稱該數(shù)4s412nnnaaatt列為 階等積數(shù)列,其中 為 階公積,已知數(shù)列是首項為 的 階等和數(shù)列,且滿足3t3np14；數(shù)列是公積為 的 階等積數(shù)列,且,設(shè)為數(shù)列3423212ppppppnq13121qq nS的前項和,則 _nnpqn2016S34.用表示自然數(shù)的所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9

11、的因數(shù)有 1,3,9， g nn的因數(shù)有 1,2,5,10，那么 99,10g 105g . 201512321gggg三、解答題（三、解答題（14 個小題）個小題）35.（本小題滿分 12 分）在中，角所對的邊分別為，已知.ABC,A B C, ,a b c2cos1 4sinsinBCBC (1)求；A(2)若，的面積，求.2 7a ABC2 3bc36.（本小題滿分 12 分）如圖，在中，點在邊上，.ABCDBC,4CAD27AC102cosADB（1）求的值；Csin（2）若的面積為 ，求的長.ABD7AB37.（本小題滿分 12 分）已知公差不為 的等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列.0na1

12、2a 2481,1,1aaa(1)求數(shù)列通項公式； na(2)設(shè)數(shù)列滿足，求適合方程的正整數(shù) 的值.nb3nnba1 223145.32nnbbb bb bn38.（本小題滿分 12 分）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，已知，成等比數(shù)列.*nN nanS12nnnSSa125,a a a（1）求數(shù)列的通項公式； na（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和. nb1( 2)nannba nbnnT39.（本小題滿分 12 分）近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來發(fā)展的新機遇,2015 年雙十一期間,某購物平臺的銷售業(yè)績高達 918 億人民幣.與此同時,相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出

13、200 次成功交易,并對其評價進行統(tǒng)計,對商品的好評率為 0.6,對服務(wù)的好評率為 0.75,其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為 80 次.(1)能否在犯錯誤的概率不超過 0.001 的前提下,認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？(2)若將頻率視為概率,某人在該購物平臺上進行的 5 次購物中,設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機變量：X求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示） ；X求的數(shù)學(xué)期望和方差.X2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.841 5.0246.6357.879 10.828P Kkk（,其中）22()()()()(

14、)n adbcKab cd ac bdnabcd 40.（本小題滿分 12 分）某市組織高一全體學(xué)生參加計算機操作比賽，等級分為 1 至 10 分，隨機調(diào)閱了 A、B 兩所學(xué)校各 60 名學(xué)生的成績，得到樣本數(shù)據(jù)如下：（1）計算兩校樣本數(shù)據(jù)的均值和方差，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)進行比較； (2) 記事件為“校學(xué)生計算機優(yōu)秀成績高于校學(xué)生計算機優(yōu)秀成績”假設(shè) 7 分或CAB7 分以上為優(yōu)秀成績，兩校學(xué)生計算機成績相互獨立根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求事件的概率C41.（本小題滿分 12 分）如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，平面平面ABCDABPEABCD=，且，

15、且ABPEAB2,1ABBPADAE,AEABAEBP（1）設(shè)點為棱中點，求證：平面；MPDEMABCD（2）線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值等于？若PDNBNPCD25存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由N42.（本小題滿分 12 分）正方形與梯形所在平面互相垂直，ADEFABCD,/ /,ADCD ABCD，點在線段上且不與重合122ABADCDMECCE,（1）當點是中點時，求證：；MECADEFBM平面/（2）當平面與平面所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐的BDMABF66BDEM 體積43.（本小題滿分 12 分）已知點F是橢圓)0( 11222ayax的右焦點

16、，點( , 0)M m、(0, )Nn分別是x軸、y軸上的動點，且滿足0 NFMN若點P滿足POONOM 2（1）求點P的軌跡C的方程；（2）設(shè)過點F任作一直線與點P的軌跡交于A、B兩點，直線OA、OB與直線ax分別交于點S、T（O為坐標原點） ，試判斷FS FT 是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由44.（本小題滿分 12 分）橢圓的離心率為，以其四個頂點為頂點的四邊形的面積等于2222:1(0)xyCabab63.2 3（1）求橢圓的標準方程；C（2）過原點且斜率不為 的直線 與橢圓交于兩點，是橢圓的右頂點，直線0lCQP,AC分別與 軸交于點，問：以為直徑的圓是否恒過 軸上

17、的定點？若AQAP、yNM、MNx恒過 軸上的定點，請求出該定點的坐標；若不恒過 軸上的定點，請說明理由.xx45.（本小題滿分 12 分）已知函數(shù)（） ln3f xaxax0a （1）討論的單調(diào)性； f x（2）若對任意恒成立，求實數(shù) 的取值范圍（ 為 140f xaxe 2,xe eae自然常數(shù)） ；（3）求證：（，2222ln 21ln 31ln 41ln112ln !nn 2n ） n46.（本小題滿分 12 分）已知函數(shù).（常數(shù)且）.( )(1)()xf xa xeaRa0a （1）證明：當時，函數(shù)有且只有一個極值點；0a xf（2）若函數(shù)存在兩個極值點，證明：且. xf12,x x

18、 2140exf 2240exf47.（本小題滿分 10 分）從下列三題中選做一題(一)選修 4-1：幾何證明選講如圖所示，兩個圓相內(nèi)切于點，公切線為，外圓的弦，分別交內(nèi)圓于、TTNTCTDA兩點，并且外圓的弦切內(nèi)圓于點.BCDM(1)證明：；/ABCD(2)證明：.AC MDBD CMTABCDMN(二)選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標方程是以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為 軸的C4cosx正半軸,建立平面直角坐標系,直線 的參數(shù)方程是（ 為參數(shù)） l1cossinxtyt t（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；C（2）若直線 與曲線相交于、兩點,且,求直線 的傾斜角

19、的值lCAB14AB l (三)選修 4-5：不等式選講 設(shè)函數(shù)的最大值為. 121f xxxm（1）求；m（2）若，求的最大值.222, ,0,2a b cabcmabbc48.（本小題滿分 12 分）從下列三題中選做一題(一)選修 4-1：幾何證明選講在ABC 中，AB=AC，過點 A 的直線與其外接圓交于點 P，交 BC 延長線于點 D（1）求證：；PC PD=AC BD（2）若 AC=3，求 APAD 的值(二)選修 44：坐標系與參數(shù)方程 在以直角坐標原點為極點， 軸的非負半軸為極軸的極坐標系下，曲線的方程是Ox1C，將向上平移 1 個單位得到曲線.11C2C(1)求曲線的極坐標方程

20、；2C(2)若曲線的切線交曲線于不同兩點,切點為.求的取值范圍.1C2C,M NTTMTN(三)選修 45：不等式選講 已知函數(shù),且的解集滿足( )|2|,f xmxmR(2)1f xA1,1A（1）求實數(shù)的取值范圍；mB（2）若,為中的最小元素且, ,0,a b c0mB011123mabc 求證：.9232abc參考答案參考答案一、選擇題（一、選擇題（36 個小題）個小題）1. 【答案】B【解析】得，|2 ,| 23 ,Ax xBxx |2RAx x()| 22 .RABxx 2. 【答案】C【解析】，則由，得，所以41bizi+=-(4)(1)44(1)(1)22biibbiii412b

21、 6b ，所以，其在復(fù)平面上對應(yīng)點為，位于第三象限.1 5zi 75zbi ( 7, 5)3. 【答案】A【解析】由= ,得=,1 i1 iiz 2i2i( 2i)(1 i)1 i(1 i)(1 i)z2121i22所以z的實部為212,故選 A4. 【答案】B【解析】選項 C、D 不是奇函數(shù)， 在上都是增函數(shù)，只有選項 B 符合.3yxR5. 【答案】C【解析】因為在圖象上,所以 ,所以,A a bB c d lnf xxlnbaln ,dc,因此在圖象上,故選 Clnlnlnbdacac,ac bd lnf xx6. 【答案】A【解析】雙曲線 C 的頂點到漸近線的距離與焦點到漸近線的距離之

22、比為1,2,ac1.27. 【答案】D【解析】由題意知表示的區(qū)域為邊長為 2 的正方形，面積為 4，滿足1111xy 的區(qū)域即為圖中陰影部分，面積為，12 xy1231111102 112()|33xdxxx 所以所求概率為，故選 D105346P8. 【答案】A由程序框圖知：；; 2,1si123,212si 1 31,3132si ;11()12,4131 ()2si ，可知 S 出現(xiàn)周期為 4，1132,511)3si當 時，結(jié)束循環(huán)輸出 S，即輸出的 .20174 504 1i 2s 9. 【答案】A. 3,2016;20162015, 3,20162015;20151, 2,2015

23、1; 1,2016ibaibaibia結(jié)束，輸出【解析】：運轉(zhuǎn)程序，10. 【答案】：C【解析】：在上的投影為a+a b2222()4263.|2 3()2aabaa bababaa bb11. 【答案】D【解析】可行域如圖所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故 p2，p3 正確，故答案為 D.12. 【答案】B【解析】由直觀圖可知俯視圖應(yīng)為正方形,排除 A,C,又上半部分相鄰兩曲面的交線看得見,在俯視圖中應(yīng)為實線,故選 B.13. 【答案】A【解析】該幾何體是棱長為 2 的正方體截去一個三棱錐后所1111ABCDA BC D11CB EF得的多面體，其體積為11232221 1 2.

24、323V 14. 【答案】B【解析】數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，是等差數(shù)列.1nx111111nnnnxxdxx- nx 又=， .1220200 xxx12020()2xx12020 xx 又.120516516,20 xxxxxx15. 【答案】D【解析】設(shè)從第 2 天起每天比前一天多織 d 尺布,則由題意知解得302930 5390,2d 16.29d 16. 【答案】B【解析】由題意知，則由正態(tài)分布圖象的對稱性可知，(80120)0.8P，故選 B1(080)0.5(80120)0.12PXPX17. 【答案】A【解析】分兩種情況：（1）所有不含 0 的三位數(shù)的和為，221 23100 10 11

25、332A(2)含 0 且 0 只能在十位上的三位數(shù)的和為，那么可得符121 23100 11212A 合條件的這些三位數(shù)之和為.1332 1212254418. 【答案】A【解析】因為,所以 2cos221xxf xaxx ,所 222cos22121xxxxf xfxx212cos21 2cos2211 2xxxxx 以+=1+=0,( )3f()3f 22cos3 所以()( )2.33ff 19. 【答案】C【解析】由圖可知，又由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線2A 21xfxf對稱，所以由五點法作圖，得，1222xxabx12abxx20a，所以，則2b2ab()f ab，即，所以，所以122s

26、in(2)2sin3f xx3sin23，在上，所以在( )2sin(2)3f xx5(,)12 122(,)32 2x xf上是增函數(shù)，故選 C5(,)12 1220. 【答案】C【解析】令，得；令，得，即0 x 01a 1x 01282aaaa 又，所以，1283aaa 7787( 2)128aC 12783125aaaa 故選 C21. 【答案】D【解析】顯然,所以由是等腰三角形得.易知PFPAPFAFPAFPAAF, ,所以,A(0)a，P2()aabcc，2222()()()aabacacc222222( ) ()( ) ()()aaaccacacc22( )( )1aacaccca

27、221111.1eeee解得 .故選 D.2e 22. 【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為及，AB(0)BFm3AF 點到準線 的距離為 3，,即，A:1l x 23cos31cos3則2 2sin3 ，2cos()mm23.1cos2m的面積為 .AOB1132 23 2sin1 (3)22232SOFAB 23. 【答案】B【解析】由題意，得圓的圓心分別為和，半徑均為 ，滿足題意的圓12,C C(,0)c( ,0)cc與橢圓的臨界位置關(guān)系如圖所示，則知要使圓都在橢圓內(nèi)，則需滿足不等式，12,C C2ca所以離心率，故選 B102cea24. 【答案】A【解析】.DE BF 22115115

28、()()224224CBCDCDCBCB CDCDCB 由,可得,所以,從而2CDAB 1BCAD 1cos2CB CD ，3CB CD ，.故選 A.3AB AD ，25. 【答案】D【解析】由題設(shè)條件對于，存在唯一的，使得知在R1xR2x 21xfxf xf和上單調(diào)，得，且.由有，解0,03b0a bfaf3239322a之得，故，選D.26a326ba26. 【答案】D【解析】當時，所以，排除 B、C；當時，由于函數(shù)01xln0 x 0y 1x 比隨 的增長速度快，所以隨 的增大，的變化也逐漸增大，排2yxlnyxxx2lnxyx除 A，故選 D27. 【答案】C【解析】因為，所以，則由

29、得(0,)2xsin0,cos0 xx( )( )tanf xfxx，即令，則sin( )( )cosxf xfxxcos( )sin( )0 xf xxfxsin( )=( )xF xf x，所以在上遞減，所以2sincos( )sin( )( )=()0( ) ( )xf xxfxF xf xf x( )F x(0,)2，即，即，故選 C()()63FFsinsin63()()63ff3 ()()63ff28. 【答案】B【解析】設(shè)切點為,則切線斜率=,所以切線方程為, lnQ t tt kft1lnt,把代入得,整理得,ln1 lnytttxt,P a aln1lnatttatlnatt

30、顯然,所以,設(shè),則問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個0a 1lntat lntg tt1ya g t不同交點,由 ,可得在遞增,遞減,在處取得極大值 ,結(jié) 21lntg tt g t0,ee,ex 1e合圖象,可得 ,故選 B. g t110eeaa29. 【答案】C【解析】取,則；設(shè),則(0,0)A(1,3)C11(,)B xy22(,)D xy21213,1.xxyy 所以 ,1122,3,1ABxyxy 221,3CDxy 求得,22223131()()2222AB CDxy 當且時,取到最小值,此時四邊形的對角線1131,23 1,2xy2231,2312xyAB CD 2ABCD恰好相交

31、于一點,故選 C.30. 【答案】D【解析】不妨設(shè)，則由，知，12xx120 xx1212( )()0f xf xxx12()()0f xf x即，所以函數(shù)為減函數(shù)因為函數(shù)的圖象關(guān)于成12()()f xf x( )f x(1)yf x(1,0)中心對稱，所以為奇函數(shù)，所以，所以( )yf x222(2 )(2)(2 )f ssfttf tt ，即因為，而在條件2222sstt()(2)0stst 233111tsstststs 下，易求得，所以，所以，()(2)014st sts 1,12ts 11,22ts33 ,621ts所以，即，故選 D311 5,21ts 21 5,2tsst 二、填

32、空題（二、填空題（4 個小題）個小題）31. 【答案】16【解析】設(shè)正的外接圓圓心為，ABC1O易知，在中，13AO 1Rt OO A，故球的表面積為.12cos30O AOA O2421632. 【答案】52【解析】根據(jù)不等式組畫出可行域為圖中陰影部分，目標函數(shù)可寫為，因1zyxmm 為，所以，將函數(shù)的圖象平移經(jīng)過可行域時，在點1m 110m 1yxm G處 取最大值，此時，所以有，解得.1 2( ,)3 3y2z 12233m52m 33. 【答案】2520【解析】由題意可知,11p 22p 34p 48p 51p 62p 74p 88p 91p 102p114p,又是 4 階等和數(shù)列,因

33、此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去,同理,128p131pnp,11q 21q 31q 41q 51q 61q 71q 81q 91q 101q 111q 121q,又是 3 階等積數(shù)列,因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去,由此可知對于131q nq數(shù)列,每 12 項的和循環(huán)一次,易求出,因此nnpq11221212.15pqpqpq 中有 168 組循環(huán)結(jié)構(gòu),故2016S201615 1682520S 34. 【答案】2015413【解析】由的定義易知當 為偶數(shù)時，且當 為奇數(shù)時，( )g nn( )( )2ng ngn令，則( )g nn( )(1)f ng(2)(3)(21)nggg1(1)(1)

34、(2)(3)(21)nf ngggg113(21)n1(2)(4)(22)nggg，即112 (1 21)(1)(2)(4)(22)4( )2nnnnggggf n(1)f n，分別取為并累加( )4nf n n1,2,n得又1，所以24(1)(1)444(41)3nnf nf(1)(1)fg，所以4(1)(41)13nf n( )(1)(2)(3)(21)nf ngggg令，得14(41)13n2015n 2015201541(1)(2)(3)(21)3gggg三、解答題（三、解答題（14 個小題）個小題）35. 【答案】：（1）， （2）.236bc【解析】：（1）由，2cos1 4sin

35、sinBCBC 得，2 coscossinsin4sinsin1BCBCBC即，亦即，.2 coscossinsin1BCBC2cos1BC1cos2BC,.0,3BCBCABC23A（2）由（1）得.由，得.23A2 3S 12sin2 3,823bcbc由余弦定理，得，2222cosabcbcA22222 72cos3bcbc即.,將代入，2228bcbc228bcbc得，. 2828bc6bc36. 【答案】 （1）；（2）4537【解析】 （1）因為，所以.又因為所以102cosADB1027sinADB,4CAD所以,4ADBC4sincos4cossin)4sin(sinADBAD

36、BADBC.5422102221027（2）在中，由正弦定理得，ADCADCACCADsinsin故.2210275427sinsin)sin(sinsinsinADBCACADBCACADCCACAD又解得.117 2sin2 27,2210ABDSAD BDADBBD5BD在中，由余弦定理得ADB.37)102(5222258cos2222ADBBDADBDADAB37. 【答案】 （1）；（2） 31nan10.【解析】：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為 ，由，得nad2481,1,1aaa解得或（舍） ，2(33 )(3)(37 ),ddd3d 0d 故 1(1)23(1)31.naandnn

37、(2)由（1）知，331nbn19113().(31)(32)3132n nb bnnnn1 2231111111119.3(+)3(),2558313223264nnnbbb bb bnnnn依題有解得 945,6432nn10.n 38. 【答案】 （1）；（2）21nan1(23)26nnTn【解析】(1)由得：，12nnnSSa*12()nnaanN數(shù)列是以為首項，2 為公差的等差數(shù)列， na1a由成等比數(shù)列得=(+8)，解得=1，125,a a a )2(1a1a1a1a.*21()nannN（2）由(1)可得，2(21) ( 2)(21)2nnnbnn1231.,nnnTbbbbb

38、即，1231 23 25 2. (21) 2nnTn ，23121 23 2. (23) 2(21) 2nnnTnn -可得23122(22. 2 )(21)2,nnnTn.1(23)26nnTn39. 【答案】 （1）能在犯錯誤的概率不超過 0.001 的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)； （2）X012345P53( )514523( )( )55C223523( ) ( )55C332523( ) ( )55C441523( ) ( )55C52( )5 ()2,E X 6().5D X 【解析】：（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的 22 列聯(lián)表如下：對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計對商品

39、好評8040120對商品不滿意701080合計1505020022200 (80 1040 70)11.111 10.828,150 50 120 80K故能在犯錯誤的概率不超過 0.001 的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān).(2)每次購物時,對商品和服務(wù)都好評的概率為,且的取值可以是 0,1,2,3,4,5. 25X其中；53(0)( )5P X 14523(1)( )( )55P XC223523(2)( ) ( )55P XC；. 332523(3)( ) ( )55P XC441523(4)( ) ( )55P XC52(5)( )5P X 的分布列為：XX012345P53( )

40、514523( )( )55C223523( ) ( )55C332523( ) ( )55C441523( ) ( )55C52( )5由于,則2(5, )5XB2()52,5E X 226()5(1).555D X 40. 【答案】 （1）（2）.6,ABxx21.5,AS 21.8;BS ( )0.02P C 【解析】：（1）從 A 校樣本數(shù)據(jù)的條形圖可知：成績分別為 4 分、5 分、6 分、7 分、8分、9 分的學(xué)生分別有：6 人、15 人、21 人、12 人、3 人、3 人. A 校樣本的平均成績?yōu)椋ǚ郑?，4 65 156217 128 39 3660Ax A 校樣本的方差為. 2

41、2216 (46)3 (96)1.560AS 從 B 校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計表可知：B 校樣本的平均成績?yōu)椋ǚ郑?，4 95 12621798 69 3660Bx B 校樣本的方差為. 22219 (46)3 (96)1.860BS 因為所以兩校學(xué)生的計算機成績平均分相同，又因為，所以 A 校的學(xué)生,ABxx22ABSS的計算機成績比較穩(wěn)定，總體得分情況比 B 校好. (2) 記表示事件“A 校學(xué)生計算機成績?yōu)?8 分或 9 分”，1AC表示事件“A 校學(xué)生計算機成績?yōu)?9 分”，2AC表示事件“B 校學(xué)生計算機成績?yōu)?7 分”，表示事件“B 校學(xué)生計算機成績?yōu)?8 分”，1BC2BC則與獨立，與獨立

42、，與互斥， 1AC1BC2AC2BC1BC2BC1122BABACC CC C1122( )()BABAP CP C CC C1122()()BABAP C CP C C 1122() ()() ()BABAP CP CP CP C由所給數(shù)據(jù)得，發(fā)生的概率分別為1AC2AC1BC2BC， 1()AP C6=602()=AP C36019()=60BP C26()60BP C故 9663( )=+0.0260606060P C41. 【答案】：（1）證明見解析；（2）當點與點重合時，直線與平面所NDBNPCD成角的正弦值為，理由見解析25【解析】：（1）證明：（方法一）由已知，平面平面，且，AB

43、CD ABPEBCAB則平面，所以兩兩垂直，故以為原點，分別為BC ABPE,BA BP BCB,BA BP BC 軸，軸， 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系xyz則，所以1(0,2,0),(2,0,1),(1,1, ),(2,1,0),(0,0,1)2PDMEC1=( 1,0,)2EM 易知平面的一個法向量等于，ABCD(0,1,0)n 因為，所以，1=(1,0,) (0,1,0)02EM n EMn 又平面，所以平面EMABCDEMABCD（方法二）由已知，平面平面，且，則平面，ABCD ABPEBCABBC ABPE所以兩兩垂直連結(jié)，其交點記為，連結(jié)，,BA BP BC,AC BD

44、OMOEM因為四邊形為矩形，ABCD所以為中點因為為中點，OBDMPD所以，且OMPB12OMPB又因為，且，AEPB12AEPB所以，且=AEOMAEOM所以四邊形是平行四邊形，所以.AEMOEMAO因為平面，平面，所以平面EMABCDAO ABCDEMABCD（2）當點與點重合時，直線與平面所成角的正弦值為NDBNPCD25理由如下：因為，設(shè)平面的一個法向量為，(2, 2,1),(2,0,0)PDCD PCD1111( ,)nx y z由得110,0n PDn CD 1111220,20.xyzx取，得平面的一個法向量11y PCD1(0,1,2)n 假設(shè)線段上存在一點，使得直線與平面所成

45、角的正弦值等于PDNBNPCD25設(shè)，(01)PNPD 則，(2, 2,1)(2 , 2 , )PN (2 ,22 , )BNBPPN 所以111|sin|cos,| |BN nBN nBNn 222222255(2 )(22 )( )5984所以，解得或（舍去） 29810 119 因此，線段上存在一點，當點與點重合時，直線與平面所成角的PDNNDBNPCD正弦值等于2542. 【答案】：（1）證明見解析；（2）4.3【解析】：（1）由題意：以點為坐標原點，方向為 軸，為軸，為DDAxDCyDE軸建立空間直角坐標系，則，z 2,0,0 ,2,2,0 ,0,4,0 ,0,0,2 ,0,2,1A

46、BCEM，平面的一個法向量，2,0,1BM ADEF0,4,0DC ，即0BM DC BMDC /BMADEF平面（2）設(shè)，故點， 0,4, 20,4 , 2EMtECttt 0,4 ,2201Mttt 設(shè)平面的一個法向量，則BDMzyxn,111220,4220DB nxyDM ntyt z 令，則，易知平面的一個法向量，1y 121, 1,1tntABF21,0,0n ，解得，1212212216cos,6421n nn nnntt 12t 為的中點，到面的距離，1 , 2, 0MEC122DEMCDESSBDEM2h14.33MBDEDEMVSh43. 【答案】 （1）axy42；（2）

47、FS FT 的值是定值，且定值為0 【解析】 （1）橢圓)0( 11222ayax右焦點F的坐標為( , 0)a，( ,)NFan(, )MNm n ，由0 NFMN，得02 amn 設(shè)點P的坐標為),(yx，由POONOM 2，有( , 0)2(0, )(,)mnxy ，.2,ynxm代入02 amn，得axy42 （2）(法一)設(shè)直線AB的方程為xtya，211(,)4yAya、222(,)4yBya，則xyaylOA14:，xyaylOB24: 由axxyay,41，得214(,)aSay， 同理得224(,)aTay214( 2 ,)aFSay ，224( 2 ,)aFTay ，則42

48、12164aFS FTay y 由axyatyx4,2，得04422aatyy，2124y ya 則044)4(16422242aaaaaFTFS 因此，F(xiàn)S FT 的值是定值，且定值為0 (法二)當ABx時， ( , 2 )A aa、( ,2 )B aa，則:2OAlyx， :2OBlyx 由2 ,yxxa 得點S的坐標為(,2 )Saa，則( 2 ,2 )FSaa 由2 ,yxxa 得點T的坐標為(, 2 )Taa，則( 2 , 2 )FTaa ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 20FS FTaaaa 當AB不垂直x軸時，設(shè)直線AB的方程為()(0)yk xa k，),4(121yayA、

49、),4(222yayB，同解法一，得4212164aFS FTay y 由2(),4yk xayax，得22440kyayka，2124y ya 則044)4(16422242aaaaaFTFS 因此，F(xiàn)S FT 的值是定值，且定值為0 44. 【答案】 （1）（2）以為直徑的圓恒過 軸上的定點，. 2213xy ；MNx( 1,0)(1,0)【解析】 （1）依題意，得 2226,3,3cababca又解得故橢圓的標準方程為. 3,1,abC2213xy（2），設(shè)，( 3,0)A(0,)Mm(0, )Nn00(,)P xy則由題意，可得 ，220013xy且，.00(,)Qxy00(3,)AP

50、xy (3,)AMm 因為三點共線，所以，,A P MAPAM 故有，解得；同理，可得. 00(3)3xmy 0033ymx0033ynx假設(shè)存在滿足題意的 軸上的定點，則有，即.x( ,0)R tRMRN 0RM RN 因為，(, )RMt m (, )RNt n 所以，即，整理得，20tmn2000033033yytxx2202033ytx 又由，得，所以，解得或. 220033yx 21t 1t 1t 故以為直徑的圓恒過 軸上的定點,. MNx( 1,0)(1,0)方法二：（1）同方法一；（2）當直線 的斜率不存在時，有，此時以l(0,1)P(0, 1)Q(0,1)M(0, 1)N為直徑

51、的圓經(jīng)過 軸上的點和； MNx( 1,0)(1,0)當直線 的斜率存在時，設(shè)直線 的方程為，llykx聯(lián)立方程組，解得，.221,3,xyykx2233(,)3131kPkk2233(,)3131kQkk設(shè)，(0,)Mm(0, )Nn又直線的斜率，直線的斜率，AP12131kkkAM23mk 因為三點共線，所以，解得，,A P M12kk2331 1kmk 同理，可得， 2331 1knk 假設(shè)存在滿足題意的 軸上的定點，則有，x( ,0)R tRMRN直線的斜率，直線的斜率，RM3mkt RN4nkt 所以，故有，即，341k k 2tmn 2223331 131 1kktkk 整理，得，解

52、得或，21t 1t 1t 綜合，可知以為直徑的圓恒過 軸上的定點，. MNx( 1,0)(1,0)45. 【答案】：（1）當0a時，增區(qū)間為0,1，減區(qū)間為1,；當0a時，增區(qū)間為1,，減區(qū)間為0,1；（2）；（3）見解析212eea【解析】：（1），)0()1 ()(xxxaxf當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；0a)(xf 1 , 0(), 1 當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為0a)(xf), 1 1 , 0(（2）令( )ln34ln1,F xaxaxaxxeaxxe . 0)(xaxxF 若，是增函數(shù)，ea ea)(xF上在2,ee無解21, 012)()(222maxeeaeea

53、eFxF若，在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)，2eaeeae2)(xF,ae ,2ea.1, 01)(aaeF,21, 012)(222eeaeeaeF.2122eeae若，在上是減函數(shù)，2ea 2ea)(xF,2ee，1, 01)()(maxaaeFxF.2ea綜上所述.212eea（3）令（或） ，此時，所以，1a 1a ( )ln3f xxx (1)2f 由（1）知在上單調(diào)遞增，當時，( )ln3f xxx (1,)(1,)x，即，對一切成立，( )(1)f xfln10 xx ln1xx(1,)x2,N*nn，則有2211111ln(1)(1)1nnnnnn，要證，2222ln(21)ln(

54、31)ln(41)ln(1)12ln!(2,)nn nnN 只需證22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234nnNn2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()11.234223341nnnn 46. 【解答】：依題意，( )(1) ()(1)() (),xxxfxa xeaxeaa x ea 令，則. ( )()xh xa x ea( )(1)xh xa xe（1）當時，故，所以在不0 x 0 xx e0a ( )( )0h xfx( )fx(,0)上存在零點，則函數(shù)在不存在極值點； )(xf(,0)上當時，由，故

55、在單調(diào)遞增. 又0 x ( )(1)0 xh xa xe( )h x0,) 上，2(0)0ha 2( )()(1)0aah aa a eaae所以在有且只有一個零點. ( )( )h xfx0,) 上 又注意到在的零點左側(cè)，在的零點右側(cè)，( )fx( )0fx( )fx( )0fx所以函數(shù)在有且只有一個極值點. )(xf0,)綜上所述，當時，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個極值點. 0a )(xf(,) （2）因為函數(shù)存在兩個極值點,（不妨設(shè)） ，)(xf1x2x12xx所以,是的兩個零點，且由（1）知，必有. 1x2x( )( )h xfx0a 令得；( )(1)0 xh xa xe1x 令得；( )(1)0 xh xa xe1x 令得.( )(1)0 xh xa xe1x 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， ( )( )h xfx(, 1 1,)又因為，2(0)(0)0hfa 所以必有. 1210 xx 令，解得，