《最短路徑問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)（陳小峰）

1、 人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì) 蘄春縣檀林中學(xué) 陳小峰一、教學(xué)內(nèi)容利用軸對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)研究生活中遇到的某些最短路徑問(wèn)題.二、教學(xué)目標(biāo)1、 認(rèn)知目標(biāo)：（1）能利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段和最小問(wèn)題。（2）能通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短。（3）在探索最短路徑的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。2、能力目標(biāo)：（1）經(jīng)歷問(wèn)題探究的過(guò)程，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的能力。（2）在解決問(wèn)題過(guò)程中，養(yǎng)成良好的作圖的習(xí)慣。（3）感受圖形變換、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、模型等思想方法。3、 情感目標(biāo)：通過(guò)逐步講解，運(yùn)用合適的教學(xué)手段，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

2、，歸納出方法和規(guī)律，積累解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的合作交流的意識(shí)，消除學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的陌生感和恐懼感，提高學(xué)生解決問(wèn)題的信心和能力。三、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段和最小問(wèn)題。難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段和最小問(wèn)題。四、教學(xué)過(guò)程1復(fù)習(xí)回顧問(wèn)題1：如圖，從A點(diǎn)到B點(diǎn)有三條線(xiàn)路，哪條最短？說(shuō)說(shuō)你的理由.師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題，說(shuō)出理由：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短.(讓學(xué)生回顧“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，為引入新課作準(zhǔn)備) 問(wèn)題2：如圖，點(diǎn)A是直線(xiàn) l 外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線(xiàn)的所有線(xiàn)路中，最短的是？說(shuō)說(shuō)你的理由.師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題，說(shuō)出理由：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，垂線(xiàn)段最短.（

3、讓學(xué)生回顧“連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短”，為引入新課做準(zhǔn)備.） 問(wèn)題3：如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線(xiàn)l兩側(cè)的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€(xiàn)l上找一點(diǎn)C,使AC+BC最短。師生活動(dòng)：學(xué)生回答，連接AB，線(xiàn)段AB與l的交點(diǎn)即為C點(diǎn)的位置（讓學(xué)生進(jìn)一步感受“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，為把“同側(cè)的兩點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“異側(cè)的兩點(diǎn)”做鋪墊） 2新知探究 <將軍飲馬問(wèn)題> 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪(fǎng)海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線(xiàn)全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的

4、海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將軍飲馬問(wèn)題”你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，然后各小組總結(jié)歸納:（1）將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線(xiàn)；（2）在直線(xiàn)l上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最?。?（通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手操作，在感知軸對(duì)稱(chēng)圖形特征的基礎(chǔ)上，抽象出軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念） 如圖，點(diǎn)A，B 在直線(xiàn)l 的同側(cè)，在直線(xiàn)l上找到一點(diǎn)C，使AC 與BC的和最??？ 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試畫(huà)圖，相互交流.教師作適時(shí)提示：（1）如果點(diǎn)B在點(diǎn)A的異側(cè)，如何在直線(xiàn)l上找到一點(diǎn)C，使AC 與BC的和最小（2）現(xiàn)在點(diǎn)B與點(diǎn)A在同側(cè)，能否將點(diǎn)B

5、移到l 的另一側(cè)點(diǎn)處，且滿(mǎn)足直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)C，都能保持?（3）你能根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，找到（2）中符合條件的點(diǎn)嗎？師生共同完成作圖，作法如下：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線(xiàn)l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線(xiàn)l 相交于點(diǎn)C則點(diǎn)C 即為所求（逐步引導(dǎo)學(xué)生，如何將同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)，為問(wèn)題的解決提供思路，滲透轉(zhuǎn)化思想.）問(wèn)題4 ： 你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，相互交流，師生共同完成證明過(guò)程.追問(wèn)1：證明AC +BC最短時(shí)，為什么要在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)（與點(diǎn)C但不重合）？師生活動(dòng)：學(xué)生相互交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥，最后達(dá)成共識(shí)：若直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重

6、合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC +BC，就說(shuō)明AC +BC最小(讓學(xué)生體會(huì)作法的正確性，提高邏輯思維能力)追問(wèn)2：回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？ 師生活動(dòng)：學(xué)生回答，相互補(bǔ)充:通過(guò)將BC轉(zhuǎn)化為BC,將原題中直線(xiàn)同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的直線(xiàn)異側(cè)兩點(diǎn).(讓學(xué)生在反思中，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).)練習(xí)如圖牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再回到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑。              師生活動(dòng):學(xué)生分析解題思路，獨(dú)立完成畫(huà)圖，教師適時(shí)點(diǎn)撥：利用二次對(duì)稱(chēng). (讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問(wèn)題的基本策略和基本方法.)3.歸納小結(jié)這節(jié)課我學(xué)到了什么？將軍飲馬問(wèn)題軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短。這節(jié)課我掌握了什么數(shù)學(xué)方法？在解決最短路徑