淺談中學(xué)數(shù)學(xué)因式分解的幾種方法

1、淺談中學(xué)數(shù)學(xué)因式分解的兒種方法淺談中學(xué)數(shù)學(xué)因式分解的幾種方法【摘要】:因式分解是屮學(xué)數(shù)學(xué)重要組成部分，學(xué)好它既可以培 養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以捉高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn) 題的能力。中學(xué)教材已經(jīng)給出了提公因式法、運(yùn)用公式法以及分組分 解法等許多最基本最重要的一些方法，為了更好的幫助學(xué)生提高因式 分解的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，我特別地增加了十字相乘法、雙十字相乘法、求 根公式法、配方法、待定系數(shù)法、觀察法等方法，突出因式分解的思 想及其應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從觀察一實(shí)踐一應(yīng)用的綜合能 力。我在下筆之前除認(rèn)真研究中學(xué)教材相關(guān)知識(shí)之外還參閱了高等 數(shù)學(xué)初等數(shù)論以及數(shù)學(xué)通報(bào)等書(shū)籍。文中提到的各種方法 我在教

2、學(xué)過(guò)程中曾經(jīng)和學(xué)生一起研究、交流過(guò)，通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)這些方 法對(duì)學(xué)生們?cè)诮鉀Q一些有關(guān)因式分解的問(wèn)題中收到了很好的效果，也 為他們?cè)趯?duì)數(shù)、式處理方面提供了有力的幫助。關(guān)鍵詞：因式分解、方法、應(yīng)用因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn) 之一，我通過(guò)多年教學(xué)對(duì)因式分解有比較深刻的認(rèn)識(shí)，要學(xué)好因式 分解，首先必須理解什么是因式分解，如何進(jìn)行因式分解，因式分 解有什么作用等等。那么什么是因式分解呢？因式分解就是將一個(gè) 多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積的形式，因式分解也稱(chēng)分解因式。關(guān)于這 個(gè)概念要弄明白三點(diǎn)：1、左邊是一個(gè)多項(xiàng)式的形式；2、化得的結(jié) 果必須是乘積形式；3、是整式。例:判斷下列式子是否為因式

3、分解：(1) m (a+b) =ma 4- mb(2) x'+x+l 二 x (x+1) +1(3) x+l 二 x(l +丄)分析：(1)等式的左邊是一個(gè)乘積式，右邊是一個(gè)多項(xiàng)式，這正好與因式分解的定義相反，所以不是因式分解。(2) 等式的左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊也是一個(gè)多項(xiàng)式，所 以也不是因式分解。(3) 等式的左邊雖然是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊也是一個(gè)乘積式,但它不是整式，所以也不是因式分解。解：由以上分析知(1) (2) (3)都不是因式分解。要想學(xué)好因式分解除了理解其定義外還必須掌握因式分解與 整式乘法的關(guān)系，什么又是整式的乘法呢？整式的乘法就是將幾個(gè)整式乘積的形式化為多項(xiàng)式的形式，通

4、過(guò)比 較我們不難發(fā)現(xiàn)整式的乘法與因式分解其實(shí)是一種互逆運(yùn)算，例如 m(a+b) =ma+mb,從左邊到右邊是整式的乘法，而從右邊到左邊是因式分解。如何將一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解呢？下面我著重介紹因式分解的 幾種方法：一、提公因式法在介紹這種方法之前必須理解什么是公因式？如果一個(gè)多項(xiàng)式每 一項(xiàng)都有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因 式。公因式可以是一個(gè)數(shù)，一個(gè)字母，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式。例如: 多項(xiàng)式ma+mb+mc,這個(gè)式子每項(xiàng)都含有字母m,因此這個(gè)m就是這個(gè) 式子的公因式。如果一個(gè)多項(xiàng)式中含有公因式，將這個(gè)公因式提取岀來(lái)放在括號(hào)的 前面從而將一個(gè)多項(xiàng)式化為兩個(gè)整式乘積的形式，這種

5、因式分解的 方法叫做提公因式法。例1把下列多項(xiàng)式因式分解：(1) -8ax+6a<(2) 6fy2+3xy(3) (ab)2-3(ba)解：(1) -8ax+6a*2二-(8ax-6ax?)二-2ax(4-3x)(2) 6x2y2+3xy=3xy(2xy+l)(3) (ab)2 -3 (b-a) = (ab)2 +3 (ab) = ( a.-b) (ab+3)注意：(1)因?yàn)槭醉?xiàng)為負(fù)一般先提取負(fù)號(hào)從而將其化為正。(2) 公因式3xy提取之后第二項(xiàng)為1,并不能誤認(rèn)為為0(3) 公因式是一個(gè)多項(xiàng)式(a-b)提公因式法可以概括為：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”， 某項(xiàng)提出莫漏1,括號(hào)里

6、面分到底。二、運(yùn)用公式法 這里的公式指的平方差、完全平方差、完全平方和、立方差以及立 方和公式。(1) 平方差a2-b2 = (a+b) (a-b)(2) 完全平方差a2-2ab+b2 = (a-b)2(3) 完全平方和a2+2ab+b2 = (a+b)2(4) 立方差a3+b3= (a+b) (a2-ab+b2)(5) 立方和a3-b3= (ab) (a2 +ab+b2 )滿(mǎn)足什么樣的條件用這些公式呢？因此必須掌握這些公式的 特征，平方差公式的特征是：(一)只有兩項(xiàng)；(二)兩項(xiàng)都是平 方項(xiàng)；(三)符號(hào)相反完全平方公式的特征：(一)有三項(xiàng)；(二)兩項(xiàng)是平方項(xiàng)且 符號(hào)相同，另一項(xiàng)等于這兩個(gè)數(shù)乘積

7、的二倍；(三)若另一項(xiàng)的符 號(hào)與平方項(xiàng)符號(hào)相同則是完全平方和，否則是完全平方差。例1:把多項(xiàng)式#-1進(jìn)行因式分解分析：屮可以寫(xiě)成(/) 2,1可以寫(xiě)成12,所以恰好符合平方差公 式。解：屮 一1二(/) 2_2二(/+1) (°2_1)二(/+) (a+1) (a-l)注意：1、分解要徹底2、分解要注意數(shù)域范圍，如果在復(fù)數(shù)域分解因式，則還可 以繼續(xù)分解即a4-l=(a2+l) (a2-l)二(a+i) (a-i) (a+1) (at)例2、把下列各式分解因式：(1) 9x212xy+4y2(2) -a2-6a9解(1) 9x2-12xy+4y2=(3x2y)2(2) -a2-6a-9

8、=-(a+3)2在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)了不少學(xué)生經(jīng)常會(huì)混淆平方差公式與完全平方差公式，因此在此有必要進(jìn)行比較這兩個(gè)公式。相同點(diǎn)：這兩個(gè)公式名稱(chēng)非常相似。不同點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)不同:平方差只有兩項(xiàng)，而完全平方差有 三項(xiàng)；(2)符號(hào)不同:平方差公式中兩項(xiàng)符號(hào)相反，完全平方差公式中兩平方項(xiàng)符號(hào)相同三、十字相乘法十字相乘法主要解決二次三項(xiàng)式這一類(lèi)問(wèn)題，有些問(wèn)題用十 字相乘法就顯得非常簡(jiǎn)便。具體操作如下：1、十字形的左邊是把 二次項(xiàng)分解成兩個(gè)因式的乘積，右邊是把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的 乘積，使得交叉相乘乘積的和等于一次項(xiàng)的系數(shù)；2、書(shū)寫(xiě)時(shí)要橫 著寫(xiě)且十字形左邊的未知數(shù)常常省略。例1、將下列多項(xiàng)式因式分解(1) x2

9、-9x+20(2) 2x2-7xy-15y2解：(1) x2-9x+20=(x4) (x5)v4a.5(2) 2x2-7xy-15y2= (x-5y)(2x+3y)'v5as(注：這里只把x看成未知數(shù)，則把y看成已知字母)四、雙十字相乘法十字相乘法分解因式主要解決二次三項(xiàng)式，如果遇到比較復(fù)雜 的多項(xiàng)式，例如2x2-5xy+3y2+5x-8y-3就難以解決，對(duì)于這樣的二 次六項(xiàng)式可以用雙十字相乘法分解因式。具體操作如下：兩個(gè)十字 形，第一個(gè)十字的左邊是疋項(xiàng)系數(shù)的兩個(gè)因數(shù)，右邊是y2項(xiàng)系數(shù)的 兩個(gè)因數(shù)，笫二個(gè)十字形左邊的數(shù)就是笫一個(gè)十字形右邊的數(shù)，第 二個(gè)十字形右邊的數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)，

10、使得第一個(gè)十字交叉相 乘乘積的和等于xy項(xiàng)的系數(shù)，第二個(gè)十字交叉相乘乘積的和等于y 項(xiàng)前面的系數(shù)，第一列與第三列交叉相乘乘積的和等于x項(xiàng)前面的 系數(shù)。例:2x2 5xy+3y2+5x-8y-3解：2x2-5xy+3y2 +5x8y-3=(x-y+3) (2x-3y-l)五、分組分解法平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法一般只能解決項(xiàng)數(shù)為二 項(xiàng)或者三項(xiàng)這些情況，對(duì)于四項(xiàng)或四項(xiàng)以上只能采用分組分解法， 下面主要介紹項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)的分組分解法，四項(xiàng)分組有兩種可能，一 種是將某兩項(xiàng)放在一起，另外兩項(xiàng)放在起這種分組稱(chēng)“二、二分 組”，另一種是將某一項(xiàng)單獨(dú)作為一項(xiàng)，另三項(xiàng)放在一起作為一項(xiàng) 這種分組成“一、三

11、分組”。那么什么時(shí)候采用“二、二分組”， 什么時(shí)候采用“一、三分組”呢？如果采用“二、二分組”到底把哪兩項(xiàng)放在一起呢?采用“一、三 分組”又將哪一項(xiàng)單獨(dú)作為-項(xiàng)、哪三項(xiàng)放在起呢？一般地，如果四項(xiàng)之中有三項(xiàng)平方項(xiàng)則采用“一、三分組”，否則 采用“二、二分組”，在“一、三分組”中把有一項(xiàng)平方項(xiàng)的符號(hào) 與另外兩項(xiàng)平方項(xiàng)符號(hào)相反的一項(xiàng)單獨(dú)作為一項(xiàng)，其余的三項(xiàng)作為 一項(xiàng)，在“二、二分組”中有一個(gè)嘗試過(guò)程只要最終能化為幾個(gè)整 式乘積形式即可。例1:把下列多項(xiàng)式因式分解：(1) mn-m-n+l(2) a2-2ab+b2-l分析：因?yàn)?1)屮四項(xiàng)只有1可以寫(xiě)成平方項(xiàng)，其余都不能寫(xiě)成平 方項(xiàng)，所以只能采用“二

12、、一分組”,這題既可以將“一、二倆 項(xiàng)放在一起“三、四”兩項(xiàng)放在一起，也可以將“一、三”兩項(xiàng)放 在一起“二、以”兩項(xiàng)放在一起。(2) a2. b 1都可以寫(xiě)成平方形式所以采用“一、三分組”因?yàn)閍2> b2前面的符號(hào)都是正號(hào)而1前面是負(fù)號(hào)，因此將-1單獨(dú)作 為一項(xiàng)。解：(1) mnm-n+l=(nm-in) -(nt)=m(n-l)-(n-l)二(n-1) (m-1)(2) a2-2ab+b2-l= (a2-2ab+b2)-l = (a-b)2-l二(a-b+1)(a-b-1)下面是關(guān)于因式分解在證明題中的具體應(yīng)用：例2：三角形abc的三邊分別為a、b、c且a2+2ab-c2-2bc=0求

13、證： 這個(gè)三角形是等腰三角形分析：此題實(shí)際上是對(duì)等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.證明： a2 +2ab-c2-2bc=0(a2 _c2) + (2ab2bc) =0(a+c)(ac)+2b(ac)=0(ac) (a+c+2b)二0a、b、c為zxabc的三邊a、b、c>0 a+c+2b>0a-c=0 a=c所以三角形是等要三角形。六、求根公式法十字相乘法、完全平方公式主要解決一些簡(jiǎn)單而且特殊的一些 二次三項(xiàng)式，對(duì)于般的二次三項(xiàng)式就很難解決，為了解決一般的 二次三項(xiàng)式下面介紹求根公式法：對(duì)于一般的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c=a(x-xj) (x-x2) 其屮aho, x, 、x?為對(duì)應(yīng)

14、方程即ax'+bx+c二0的兩個(gè)根。例1、把多項(xiàng)式x2-x-l進(jìn)行因式分解解：設(shè)x2-x-l=0由求根公式得x| =牢2x2-x-l=(仝)2例2、把多項(xiàng)式2x2-3x-7因式分解解：設(shè) 2x2-3x-7-0市求根公式得x3 + v65x2曲-3心“呼)3-7654注意:用求根公式法必須先求出對(duì)應(yīng)方程的根再代入公式，它適用范 圍是一元二次方程有根情形，如果方程無(wú)根則不能用求根公式法。七、配方法配方法也是解決二次三項(xiàng)式的一種行之有效的方法，對(duì)于上面例1也可以運(yùn)用配方法來(lái)解決。x2-xl=x2-x + - 一丄t二(x_丄)2 - = (x-) 2 -() $ 二(x_ 1 +) ( x4

15、424222_7)2八、待定系數(shù)法例：把多項(xiàng)式x2-3x-5因式分解解:設(shè) x2-3x5= (x-a)(xb)有整式乘法知(x-a) (x-b)= x2-(a+b)x+ab/ a + b = 3有比較系數(shù)法知 ab =_53 + v29a =解之得i b亠后2所以 x?-3x-5= (x-士也i) (x-上迺)2 2九、觀察法觀察法是解決高次多項(xiàng)式的一種重要方法例：把x'+3x-4進(jìn)行因式分解 分析：觀察三項(xiàng)的系數(shù)分別為1、3、-4所以x二1是對(duì)應(yīng)方程x3+3x-4=0 的根，因此(x-1)是多項(xiàng)式x34-3x-4的一個(gè)因式，有整式的除法可以 求得另一個(gè)多項(xiàng)式為(x'+x-4 )解：x'+3x-4二(x-1)(x2 +x-4 )當(dāng)然