高一數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座抽象函數(shù)（教師用）

1、抽象函數(shù)專(zhuān)題講座 鄭嚴(yán)抽象函數(shù)是指沒(méi)有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊條件的函數(shù)。一.抽象函數(shù)定義域1已知的定義域，求的定義域其解法是：若的定義域?yàn)椋瑒t在中，從中解得的取值范圍即為的定義域例1.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的定義域解：的定義域?yàn)?，故函?shù)的定義域?yàn)?、已知的定義域，求的定義域其解法是：若的定義域?yàn)椋瑒t由確定的的范圍即為的定義域例2已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域解：由，得令，則，故的定義域?yàn)槎?抽象函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)值1. 換元法.例3. 已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x)解:令t=1+ x2 原式即為：2.待定系數(shù)法：如果抽象函數(shù)的類(lèi)型是確定的，可用待定系

2、數(shù)法來(lái)解答有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題。例4.已知f(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多項(xiàng)式，設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a0)代入比較系數(shù)得過(guò)且過(guò):a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 3.賦值法：有些抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過(guò)賦特殊值法使問(wèn)題得以解決。例5.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，均滿(mǎn)足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,則f(2001)=_.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2,三、抽象函數(shù)的模型構(gòu)造1、線(xiàn)性函數(shù)型抽象函數(shù)

3、f（x）kx（k0）-f（x±y）f（x）±f（y）例6、已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間2，1上的值域。解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，為增函數(shù)在條件中，令yx，則，再令xy0，則， ，故，為奇函數(shù)，又，的值域?yàn)?，2。2、指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy）例7定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，（1）試求的值；（2）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（3）試舉出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)解：（1）在中，令得：因?yàn)?，所以，?）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè)在已知條件中，若取，則已知條件可化為：由于，所以為比較的大小，只需考慮的

4、正負(fù)即可在中，令，則得 時(shí)， 當(dāng)時(shí)，又，所以，綜上，可知，對(duì)于任意，均有 函數(shù)在R上單調(diào)遞減（3）如3、對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）logax（a>0且a1）-f（x·y）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）例8、已知函數(shù)滿(mǎn)足定義域在上的函數(shù)，對(duì)于任意的，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，（1）設(shè)，求證；（2）設(shè)，若，試比較與的大?。唬?）解關(guān)于的不等式證明：（1），（2），即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，（3）令代入得，關(guān)于的不等式為，由（2）可知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，由得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)成立；當(dāng)，此時(shí)成立。4、冪函數(shù)型的抽象函數(shù) -，；例9.已知定義在上的函數(shù)f(x)對(duì)

5、任何x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),有f(x)<1.（1）判斷f(x)的奇偶性（2）判斷并證明f(x)在(0,+)上的單調(diào)性.（3）求解不等式f()1解:（1）令y1，則，再令xy1，則， ，再令xy-1，則， ，故，為偶函數(shù)，（2）所以f(x1)>f(x2),故f(x)在R+上為減函數(shù).(3)由（2）知函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的不等式f()即為學(xué)生練習(xí)：一填空題1. 若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?2.若函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域?yàn)?3、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，?duì) 任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)= f(x)+f(y) 且f(4)=2

6、 ，則 4（1）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足， = ；（2）已知，= ；答案：（1） （2）（或）。5.已知是定義在R上的偶函數(shù),且在是增函數(shù),則不等式的解集是_.解:由已知O 1 2 3 xy.6.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖像如右圖所示，那么不等式的解集是_；7._ 20008設(shè)f (x)是定義在R上的函數(shù)。對(duì)任意x1，x2，都有f (x1x2)f (x1)·f (x2)，且f(1)a0的值為_(kāi) 解： 由知：0，x0，1 ，f (1)a0，二、解答題9、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>2，f(3) 5，求不等式

7、的解.解：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；再求出f（1）3；最后脫去函數(shù)符號(hào).得10.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x),滿(mǎn)足當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2解:(1)先證f(x)>0,且單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0時(shí)f(x)>1,所以f(0)=1.f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,與已知矛盾，故f(x)>0任取x1,x2R且x1<x2,則x2-x1>0,f(x2-x1)>1,所以f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-

8、f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-1>0.所以xR時(shí),f(x)為增函數(shù). 解得:x|1<x<2(2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化為:f(x)2+4f(x)-5=0,解得f(x)=1或f(x)=-5（舍)由(1)得x=0.11.函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿(mǎn)足以下條件:對(duì)任意,有>0;對(duì)任意,有;.(1)求的值;(2)求證: 在R上是單調(diào)增函數(shù);(3)若且,求證:. (1)解: 對(duì)任意,有>0, 令得,(2)任取任取,則令,故 函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿(mǎn)足以下條件:對(duì)任意,有>0;對(duì)任意,有;函數(shù)是R上

9、的單調(diào)增函數(shù).(3) 由（1）（2）知，而12.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當(dāng)x0時(shí)f(x)0恒成立.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)證明f(x)為減函數(shù)；若函數(shù)f(x)在-3，3）上總有f(x)6成立，試確定f(1)應(yīng)滿(mǎn)足的條件；解:（1）由已知對(duì)于任意xR，yR，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0對(duì)于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函數(shù).（2）設(shè)任意x1，x2

10、R且x1x2，則x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知f(x)在(-，+)上是減函數(shù).f(x)在-3，3上的最大值為f(-3).要使f(x)6恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a）（10分）由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax