《一元二次方程》典型例題及解析

1、一元二次方程典型例題一例 指出下列方程中哪些是一元二次方程？(1)+6 = 3x(2x + l) 8x2 = x(4) 4x2 = 3y(5) -x2=0(6) x(5x-1) = x(x + 3) + 4x2解:(1)整理得：5x2+6 = 6x2+3x移項(xiàng)，合并得：x2+3x-6 = 0/是一元二次方程(2)移項(xiàng)得：8x2-x = 0，是一元二次方程3x:方程的分母中含有未知數(shù)，它不是一元二次方程(4) 4x2 -3y = 0方程中含有兩個(gè)未知數(shù),它不是一元二次方程(5) -x2=0:4 = 1 工0,它是一元二次方程(6)整理得：5x2-x = x2+3x + 4x2移次，合并得：4x

2、= 0,二次項(xiàng)系數(shù)合并后為0,它不是一元二次方程說明：對方程要先進(jìn)行整理，然后再根據(jù)條件:整式方程只含有一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)為2只有當(dāng)這三個(gè)條件抉一不可時(shí)，才能判斷為一元二次方程.一元二次方程典型例題二例 若/一3工+2一 = 0是關(guān)于的一元二次方程，則().(A) 為任意實(shí)數(shù)(B ) p = 0(0 ”0(D) = 0或 1分析與解：顯然方程.一一3工+2 一 = 0是關(guān)于X的整式方程，且方程中含有一個(gè) 未知數(shù)x,若想讓它滿足一元二次方程的定義，需使未知數(shù)的最高次數(shù)為2的系數(shù)。0, 故應(yīng)選(C).一元二次方程典型例題三例 關(guān)于X的方程(2/+?-3) x,z+5x = 13是不是一元二

3、次方程？分析：此方程是不是一元二次方程，可直接根據(jù)定義判斷，看它是否同時(shí)滿足一元二次 方程定義的條件：(1)是整式方程：(2)只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 觀察方程易知它已滿足(1)、(2)兩條，能否滿足條件：in + 1 = 2俞聾 <2nr + "7 3 W 0由于 m = 1 時(shí)，2/ + ? - 3 = 0所以不存在/的值同時(shí)滿足"7 + 1 = 2且2/7?2 +?一3。0故關(guān)于x的方程(2/+?-3) £向+5x = 13不是一元二次方程.一元二次方程典型例題四例 把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再指出其二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)

4、系數(shù)及常 數(shù)項(xiàng).(1) 5x2 = 3x(2)(顯一 1口 + /-3 = 0(3) (7x-1)2-3 = 0y x(-1)(4-1) = 0(5) (6?一5)(2? + 1) = ?2解：(1)整理，得 5x2-3x = 0二次項(xiàng)系數(shù)5,一次項(xiàng)一3,常數(shù)項(xiàng)0(2)整理，得：，/+(、歷一1)工一3 = 0二次項(xiàng)系數(shù)：1, 一次項(xiàng)系數(shù)：41 - 1,常數(shù)項(xiàng)：一3(3)整理，得：49x2-14x-2 = 0二次項(xiàng)系數(shù)：49, 一次項(xiàng)系數(shù)：一14,常數(shù)項(xiàng)：一2.(4)整理得：-x2-l = 04二次項(xiàng)系數(shù)：1, 一次項(xiàng)系數(shù)：0,常數(shù)項(xiàng)：一14(5)整理得：11/一 4？ -5 二 0二次項(xiàng)系數(shù)

5、：11, 一次項(xiàng)系數(shù)：一4,常數(shù)項(xiàng)：一5說明：在移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)時(shí)，易出現(xiàn)符號錯(cuò)誤，需格外小心.特別要小心當(dāng)某項(xiàng)的 系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指出各項(xiàng)系數(shù)時(shí)千萬不要丟負(fù)號.一元二次方程典型例題五例 把下列關(guān)于X的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng) 系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).(1) abx2 =cx + d (。工0)(2) (p-q)x2 = p + q (Wg)(3) 3-px+2x2 = p2x-p-(4) (/+ 3)x2 -kx= 2x2 -1解：(1) abx2 -cx-d =0 (ab,0)二次項(xiàng)系數(shù)：ab9 一次項(xiàng)系數(shù)：c,常數(shù)項(xiàng)：-d(2)(-加2 -( + 9)=。(&quo

6、t;4)二次項(xiàng)系數(shù)：p q,一次項(xiàng)系數(shù)：0常數(shù)項(xiàng)：_p_q(3) 2x2 - p2x-px+ p + 4 = 02x2 一(/+ p)x+ p + 4 = 0二次項(xiàng)系數(shù)：2,一次項(xiàng)系數(shù)：一2一 常數(shù)項(xiàng)：p + 4(4) (7 + 3優(yōu)一2/一人,+1 = 0(? + 3 - 2)/ -kx+ = 0(m + )x2 -kx+ = 0二次項(xiàng)系數(shù)：2 + 1, 一次項(xiàng)系數(shù)：一攵，常數(shù)項(xiàng)：1說明：對于字母系數(shù)的方程的整理，應(yīng)先明確其未知數(shù)，再確定各項(xiàng)的系數(shù)，特別要 注意，一定要討論所除的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,因?yàn)橐辉畏匠讨挥性谶@個(gè)條件下才是有 意義的.一元二次方程典型例題六例 一元二次方程2/+4

7、x 1 = 0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之和 為.分析與解：該一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為2、4、-1,所 以它們的和為5,故填5.說明：根據(jù)一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)式先確定各項(xiàng)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，然后相加即得所求，要 注意常數(shù)項(xiàng)包括符號，即為一1一元二次方程典型例題七例 方程(m 2)x" -+ (m 3)x + 5 = 0(1) 取何值時(shí)，是一元二次方程，并求此方程的解:(2)加取何值時(shí)，方程是一元一次方程.分析：此題應(yīng)注意對x項(xiàng)的指數(shù)與系數(shù)的討論.解：(1)當(dāng) 72一5? + 8 = 2且?一2工0時(shí)，方程為一元二次方程.由J - 5m + 8 = 2,解得”=297M2 = 3,又:， 一 2 W 0,得 m * 2.：."7 = 3時(shí)方程為一元二次方程.將7 = 3代入原方程，得X? + 5 = 0,方程無實(shí)數(shù)解.(2)由2 2 = 0,得？ = 2,且，7 3 W 0