2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章相似三角形定理與圓冪定理1.2.3弦切角定理學(xué)案新人教

1、1. 2.3 弦切角定理讀教材填要點(diǎn)1.弦切角頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角. 2弦切角定理弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.3弦切角定理的推論 弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角.小問題大思維一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角是弦切角嗎？ 提示：不一定弦切角必須同時(shí)具備三點(diǎn)：頂點(diǎn)在圓上；一邊和圓相交；一邊和圓相切.高頻考點(diǎn)贖組化 r 名師一點(diǎn)就通對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P23弦切角的定義例 1如圖，AB CB分別切O0于D E,試寫出圖中所有的弦切角. 思路點(diǎn)撥本題考查弦切角的定義.解答本題需要明確構(gòu)成弦切角的 三個(gè)條件，然后依據(jù)定義作出判斷.精解詳析由弦切角的定義可知，/ADE

2、ZBDE/BED/CED都是弦切角.厶世總解決此類問題的關(guān)鍵是把握弦切角的三個(gè)要素:(1)頂點(diǎn)在圓上(頂點(diǎn)為圓切線的切點(diǎn))；“iy“啟對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P22BAWO2(2) 邊和圓相切(一邊所在直線為圓的切線)；(3) 邊和圓相交(一邊為圓的過切點(diǎn)的弦).三者缺一不可，例如上圖中，/CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因?yàn)锳D與圓相交,/BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圓于點(diǎn)A,才能確定它是弦切角.1如圖，NA與O0切于點(diǎn)A AB和AD是OO的弦，AC為直徑，試指出圖中有哪幾個(gè)弦切角？解：弦切角分三類：如題圖：(1) 圓心在角的外部；(2) 圓心在角的一邊上；(3) 圓心在角的內(nèi)部.即/BA

3、N/CAN/DAh為弦切角例 2 已知：AB切OO于A,0B交O0于C, ADL 0B于D.求證：/DAC=ZCAB思路點(diǎn)撥 本題考查弦切角定理的應(yīng)用.解答本題需要根據(jù)題意畫出圖形，然后利用相關(guān)定理解決.精解詳析 法一：如圖(1)，延長AD交OO于 E,AB切O0于/ CDLAE又/DAC勺度數(shù)=ICE的度數(shù).1/CAB勺度數(shù)=了AC的度數(shù).2 -/DAC=/CAB法二：如圖，延長BC交O0于E連接AE則/CAE=90.又ADLCE弦切角定理及其推論H3/DAC=/E. AB是O0的切線，4/ CAB=Z E.:丄DAC=/CAB法三：如圖，連接OA AB切OO于AOALAB/CABWZOAC

4、互余.又ADLOB/DAC與/ ACC互余./ OA= OC / OAC=Z ACO/DAC=/CAB法四：如圖，過C作OO的切線交AB于G AB是OO的切線，/CAGZACG又OCL CG ADLOBCG/ AD/ ACG=/DAC即/DAC=Z CAB么觀皿總盤.(1)由弦切角定理及其推論可直接得到角相等，在與弦切角有關(guān)的幾何問題中，往往還需要借助其它幾何知識(shí)來綜合解答，由弦切角得到的角相等只是推理論證中的一個(gè)條件.(2)借助弦切角定理及其推論和圓的其他性質(zhì)(如等弧所對(duì)的弦相等)以及三角形有關(guān)知識(shí)我們可以得到特殊三角形或全等三角形，從而證得線段相等.2.如圖，ABD的邊AB為直徑，作OO交

5、AD于C,過點(diǎn)C的切線CE和BD互相垂直，垂足為E證明：AB= BD證明：如圖所示，連接BC延長EC至F./ CE是圓的切線，/FCA=ZCBA/FCA=ZDCE/DCE=ZCBA/ AB是直徑，ADLBC5/BAC=90/CBA又CEL BD/D=90/DCE6:丄D=ZBAC AB= BD應(yīng)用虧酈礙涇、|處汀隹T,宇口占pT：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P24、選擇題1.如圖，OO內(nèi)切于ABC切點(diǎn)分別為 D, E,F.已知/B=50,/C= 60,連接OE OF DE DF,那么/EDF勺值為(A. 40C.65解析：/B= 50, / C= 60 ,/A= 70, /EOF=110 ,EDF=55.答

6、案：B2.如圖，AB是OO的直徑,AB=6,則AC的長為（）A. 2C. 2 3D.解析：連接BC構(gòu)造出弦切角所對(duì)的圓周角，由已知有厶ADAC與AACB相似，所以可得AC=AB代入數(shù)值得關(guān)于AC的方程.答案：C3.在圓O的直徑CB的延長線上取一點(diǎn)A,AP與圓O切于點(diǎn)P,且/APB=30 ,AP=3則CP=()A. ,3C. 2 .3 1B. 2 . 3D. 2,3 + 1解析：如圖，連接OP貝U OPL PAD.7又/APB=30,./POB=60,在 RtOPA中,AP=3，易知，PB= OP=1,在 RtPCB中,由PB=1，/PBC=60，得PC=3.答案：A4.如圖所示，經(jīng)過OO上的點(diǎn)

7、A的切線和弦BC的延長線相交于點(diǎn)P,若/CAP=40,/ACP=100,則/BAC所對(duì)的弧的度數(shù)為（）A. 40B. 100C. 120D. 60解析：AP是OO的切線，/ABC=/CAP=40,又/ACP=100,/BAC=/ACP-/ABC=60,即/BAC所對(duì)的弧的度數(shù)為 120.答案：C二、填空題5. 如圖，AB為OO直徑，CD切OO于D, AB延長線交CD于點(diǎn)C,若/CAD=25，則/C等于_解析：連接BDTAB為直徑,/ BDA=90.又C為OO切線，切點(diǎn)為D,由弦切角定理知/BDC=/CAD=25CDA=90+ 25= 115.在厶ACD中,/C= 180-/ A- /CD= 1

8、80 25- 115= 40答案：406.如圖所示，ACBOO于點(diǎn)A,/BAC=25,則/B的度數(shù)為A8解析：/BAC=1 /AOB/AOB=2X25=50,/B= 1x(180 -50)=65答案：657.如圖，PA PB是OO的兩條切線，A B為切點(diǎn)，C是|AB上的一點(diǎn)，已知OO的半徑為r，PO=2r，設(shè)/PAQ/PB=a，/APB=B,貝y a和3的大小關(guān)系為_解析：連接AB AO OC OB/ PAC=Z ABC/PB(=ZBAC a = /PAOZPBC=/ABO/BAC=1( /AOQ/BOC= 1(180。/APB/AO= r,PA切OO于A, ACLPAMPO=2r, /APO

9、30. /APB=2/AP= 60. a =1(180 60)=60=3.答案：a=38.如圖，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A,B,且PB=7,C是圓上一點(diǎn)使得BC= 5，/BAC=/APB則AB=_.解析：由PA為OO的切線，BA為弦，得/PAB=/BCA又/BACPB AB二AB=北而PB=7 ,BO5,故AB=PB BC=7X5=35,即AB=. 35. 答案：35三、解答題=/APB于是APBACAB所以99.人。是厶ABC中/BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的OO與BC切于點(diǎn)D,與AB AC分別相交于E、F.求證：EF/ BC證明：連接DF/ AD是/BAC的平分線，/BAD-Z

10、DAC/EFD-ZBAD ZEFD-ZDACO O切BC于D,/FDC=ZDACZEFD-ZFDCEF/BC10.如圖，已知圓上的弧|AC=BD, 的延長線交于E點(diǎn)，證明：ZACE=ZBCD(2)BC=BE- CD證明：因?yàn)锳C=IBD,所以ZBCD-ZABC又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C,故ZACE=ZABC所以ZACE=ZBCD(2)因?yàn)閆ECB=ZCDBZEBC=ZBCD所以BDCoECBBC CD /故BE-BC即BC=BE- CD11.如圖所示,ABC內(nèi)接于OO, AB= AC,直線PQ切OO于點(diǎn)C, BD/PQ AC BD相 交于E.(1) 求證：ABEAACD(2) 若AB=6 cm ,BC=4 cm ,求AE的長.10解：如圖所示:11證明：因?yàn)镻Q是O0的切線，所以/ 1 =Z2. 因?yàn)锽D/PQ所以/ 1 =Z