平面解幾中的點(diǎn)線對(duì)稱

1、對(duì)稱問(wèn)題對(duì)稱問(wèn)題 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修軸對(duì)稱軸對(duì)稱講授新課講授新課把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與如果它能夠與另一個(gè)圖形重合另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱直線對(duì)稱,這條直線叫做這條直線叫做對(duì)稱軸對(duì)稱軸,折疊后重合的點(diǎn)折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn),叫做叫做對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)。定義定義 ：兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱講授新課講授新課AABCBCDDMN對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線交點(diǎn)在對(duì)稱軸上對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線交點(diǎn)在對(duì)稱軸上P講授新課講授新課世界如

2、此美麗世界如此美麗中心對(duì)稱中心對(duì)稱講授新課講授新課講授新課講授新課講授新課講授新課 把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)180180，如果旋，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形互相重合原來(lái)的圖形互相重合，那么這，那么這個(gè)圖形叫做個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形；這個(gè)點(diǎn)叫做它的；這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱對(duì)稱中心中心；互相重合的點(diǎn)叫做；互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn). . 講授新課講授新課特征：特征：成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都的連線都經(jīng)經(jīng) 過(guò)過(guò)對(duì)稱中心對(duì)稱中心，且被，且被對(duì)稱中心對(duì)稱中心平分平分.A AB BC CBBAACCO O判定

3、：判定：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)， 并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這 一點(diǎn)對(duì)稱一點(diǎn)對(duì)稱. . 講授新課講授新課軸對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱有一條對(duì)稱軸有一條對(duì)稱軸 :直線直線有一個(gè)對(duì)稱中心有一個(gè)對(duì)稱中心:點(diǎn)點(diǎn)定定義義沿軸翻轉(zhuǎn)沿軸翻轉(zhuǎn)180繞繞中心旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180翻轉(zhuǎn)后重合翻轉(zhuǎn)后重合旋轉(zhuǎn)后重合旋轉(zhuǎn)后重合性性質(zhì)質(zhì)1、兩個(gè)圖形是全等形、兩個(gè)圖形是全等形2、對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連、對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線線的垂直平分線3、對(duì)稱線段或延長(zhǎng)線相、對(duì)稱線段或延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)在對(duì)稱軸上交，交點(diǎn)在對(duì)稱軸上1、兩個(gè)圖形

4、是全等形、兩個(gè)圖形是全等形2、對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)、對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。中心平分。講授新課講授新課對(duì)稱問(wèn)題對(duì)稱問(wèn)題中心對(duì)稱問(wèn)題中心對(duì)稱問(wèn)題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱線關(guān)于線的對(duì)稱線關(guān)于線的對(duì)稱講授新課講授新課例例1. 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(5,8) ，B(4 ，1) ，試求，試求A點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱解題要點(diǎn)：解題要點(diǎn)：中點(diǎn)公式的運(yùn)用中點(diǎn)公式的運(yùn)用A(x0,y0)一般地，點(diǎn)一般地，點(diǎn) A(x0,y0)關(guān)關(guān)于點(diǎn)于點(diǎn) 課

5、堂練習(xí)課堂練習(xí)點(diǎn)A(6,-3)關(guān)于點(diǎn)P(1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是( )-4,-1講授新課講授新課例例2.求直線求直線l 1 : 3x-y-4=0關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(2,-1)對(duì)稱的對(duì)稱的直線直線l 2的方程。的方程。二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 法一：法一： l 2上的任意一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在上的任意一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在l 1上上 l1M(x,y)法二：法二： l 1 / l 2且且P到兩直線等距。到兩直線等距。課堂練習(xí)課堂練習(xí)求直線2x-3y+6=0關(guān)于點(diǎn)A（1，2）對(duì)稱的直線方程講授新課講授新課例例3.已知點(diǎn)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-4,4)，直線，直線l 的方的方 程為程為3x+y-2=0

6、,求點(diǎn)求點(diǎn)M關(guān)于直線關(guān)于直線l 的的 對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 三、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱三、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱解題要點(diǎn)：解題要點(diǎn)： k kMM = -1 MM中點(diǎn)在中點(diǎn)在l 上上 l講授新課講授新課例例4. 試求直線試求直線l1:x-y-2=0關(guān)于直線關(guān)于直線 l2:3x-y+3=0 對(duì)稱的直線對(duì)稱的直線l 的方程。的方程。四、直線關(guān)于直線對(duì)稱四、直線關(guān)于直線對(duì)稱解題要點(diǎn)：由線關(guān)于線對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱解題要點(diǎn)：由線關(guān)于線對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱思考：思考：若若l1/l2, 如何求如何求l1 關(guān)于關(guān)于l2的對(duì)稱直線方程？的對(duì)稱直線方程？C1lC2l1l2l1課堂練習(xí)課堂練習(xí)求直線求直線l：4x-5

7、y+1=0關(guān)于直線關(guān)于直線y=-x+2對(duì)稱的直線方程對(duì)稱的直線方程講授新課講授新課點(diǎn)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于下列點(diǎn)或線的對(duì)稱點(diǎn)分別為：關(guān)于下列點(diǎn)或線的對(duì)稱點(diǎn)分別為：關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn):_; 關(guān)于關(guān)于x軸軸:_;關(guān)于關(guān)于y軸軸: _; 關(guān)于直線關(guān)于直線y=x:_;關(guān)于直線關(guān)于直線y=-x:_; 關(guān)于直線關(guān)于直線x=a:_.直線直線 f (x,y)=0關(guān)于下列點(diǎn)或直線對(duì)稱的直關(guān)于下列點(diǎn)或直線對(duì)稱的直線方程分別為：線方程分別為：關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn):_; 關(guān)于關(guān)于x軸軸:_;關(guān)于關(guān)于y軸軸: _; 關(guān)于直線關(guān)于直線y=x:_;關(guān)于直線關(guān)于直線y=-x:_; 關(guān)于直線關(guān)于直線x=a:_.(-x,-y)(x,-y)

8、(-x,y)(y,x)(-y,-x)(2a-x,y)f (-x,-y)=0f (x,-y)=0f (-x,y)=0f (y,x)=0f (-y,-x)=0f (2a-x,y)=0課堂練習(xí)課堂練習(xí)已知點(diǎn)A（-4，6），則(1) A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A/坐標(biāo)是 （ ）(2) A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A/坐標(biāo)是 （ ）(3) A關(guān)于直線y=x軸的對(duì)稱點(diǎn)A/坐標(biāo)是 （ ）6，-4-4，-64，6講授新課講授新課設(shè)直線設(shè)直線則則 關(guān)于軸對(duì)稱的直線是關(guān)于軸對(duì)稱的直線是關(guān)于軸對(duì)稱的直線是關(guān)于軸對(duì)稱的直線是關(guān)于對(duì)稱的直線是關(guān)于對(duì)稱的直線是關(guān)于對(duì)稱的直線是關(guān)于對(duì)稱的直線是llll0:CByAxlxyxy xy 0)(

9、CyBAx0)( CByxA0 CAyBx0)()( CxByA講授新課講授新課軸對(duì)稱應(yīng)用軸對(duì)稱應(yīng)用例例5：已知已知ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A（4, 1）,B（4, 5）,角角B的的內(nèi)角平分線內(nèi)角平分線BE所在直線的方程為所在直線的方程為 ，求，求BC邊所在直線方程。邊所在直線方程。01 yxB(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE解決三角形中的角平分線問(wèn)題解決三角形中的角平分線問(wèn)題講授新課講授新課變式：變式：ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)是A（3，-1），）， B, C的內(nèi)角平分線的內(nèi)角平分線所在的直線方程分別為所在的直線方程分別為x=0和和y=x,求頂點(diǎn)求頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)坐標(biāo)。xyOxy

10、0 xA（3,-1）A1(-3,-1)A2(-1,3)B(0,5)C(-5,-5)y=2x+5講授新課講授新課：一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，3），），射到直線射到直線x+y+1=0上，反射后，穿過(guò)點(diǎn)上，反射后，穿過(guò)點(diǎn)Q（1，1），），求光線的入射線和求光線的入射線和反射線的方程。反射線的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1) 31,32SR(-4,-3)32( 0245 xyx)32( 0154 xyx解決物理光學(xué)方面的問(wèn)題解決物理光學(xué)方面的問(wèn)題講授新課講授新課例例7：光線從點(diǎn)光線從點(diǎn)P（3，4）射出，到達(dá)射出，到達(dá)x軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)Q后，后，被被x軸反射到軸反射到y(tǒng)軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)M ，又被又被y軸反射，這時(shí)反射軸反射，這時(shí)反射光線恰好經(jīng)過(guò)光線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)D（1，6）求求QM所在直線方程。所在直線方程。xOP(-3,4)D(-1,6)yD(1,6)P(-3,-4)MQ講授新課講授新課例例8：已知已知x,y滿足滿足x+y=0，求求的最小值。的最小值。2222)3()2()1()3(